Théorème des deux carrés de Fermat

algebra

Nous démontrons le théorème des deux carrés de Fermat (qui donne des conditions sur la décomposition en facteurs premiers d’un entier pour que celui-ci soit somme de deux carrés) à l’aide de l’anneau des entiers de Gauss $Z [i]$ .

[I-P]
p. 137

Lemme 1. Soit $p \geq 3$ un nombre premier. Alors $x \in F_{p}^{*}$ est un carré si et seulement si $x^{\frac{p - 1}{2}} = 1$ .

Démonstration. On pose $X = {x \in F_{p} ∣ x^{\frac{p - 1}{2}} = 1}$ , et on note $S$ l’ensemble des carrés de $F_{p}^{*}$ . Comme un polynôme de degré $d$ sur $F_{p}$ possède au plus $d$ racines, on a $∣ X ∣ \leq de g (X^{\frac{p - 1}{2}} - 1) = \frac{p - 1}{2}$ .

D’autre part, si $x \in S$ , on peut écrire $x = y^{2}$ et on a donc $x^{\frac{p - 1}{2}} = y^{p - 1} = 1$ car $∣ F_{p}^{*} ∣ = p - 1$ . Donc, $S \subseteq X$ .

Pour conclure, calculons le cardinal de $S$ . Pour cela, considérons le morphisme $F_{p}^{*} x \to \mapsto S x^{2}$ dont le noyau est ${x \in F_{p}^{*} ∣ x^{2} = 1} = {\pm 1}$ qui est de cardinal $2$ . En appliquant le premier théorème d’isomorphisme, et en considérant les cardinaux ; on obtient $∣ S ∣ = \frac{p - 1}{2}$ . Donc $S = X$ . ◻

Introduisons maintenant des notations qui seront utiles pour la suite.

Notation 2. On note $N : Z [i] a + ib \to \mapsto N a^{2} + b^{2}$ et $Σ$ l’ensemble des entiers qui sont somme de deux carrés.

Remarque 3. $n \in Σ ⟺ \exists z \in Z [i] tel que N (z) = n$ .

Lemme 4. Voici quelques propriétés sur $N$ et $Z [i]$ dont nous aurons besoin :

$N$ est multiplicative.
$Z [i]^{*} = {z \in Z [i] ∣ N (z) = 1} = {\pm 1, \pm i}$ .
$Z [i]$ est euclidien de stathme $N$ .

Démonstration.

On a $\forall z, z^{'} \in C$ , $∣ z z^{'} ∣^{2} = ∣ z ∣^{2} ∣ z^{'} ∣^{2}$ (par multiplicativité de $(.)^{2}$ et de $∣.∣$ ). Et $N$ n’est que la restriction de $∣. ∣^{2}$ à $Z [i]$ . Il est également tout-à-fait possible de montrer cette propriété par un calcul direct.
Soit $z \in Z [i]^{*}$ . On a $N (z) N (z^{- 1}) = N (z z^{- 1}) = N (1) = 1$ . Comme $N$ est à valeurs dans $N$ , on a $N (z) = N (z^{- 1}) = 1$ . En écrivant $z = a + ib$ , on a $N (z) = a^{2} + b^{2} = 1$ , d’où $a = \pm 1$ ou $b = \pm 1$ . Réciproquement, $\pm 1$ et $\pm i$ sont bien inversibles dans $Z [i]$ et de module $1$ .
Soient $z, t \in Z [i]$ . On pose $\frac{z}{t} = x + i y \in C$ avec $x, y \in R$ . Soient $a, b \in Z$ tels que :
- $∣ x - a ∣ \leq \frac{1}{2}$ .
- $∣ y - b ∣ \leq \frac{1}{2}$ .
(Ces nombres existent bien, ne pas hésiter à faire un dessin pour s’en convaincre.) On pose $q = a + ib \in Z [i]$ , et on a $\frac{z}{t} - q = (x - a)^{2} + (y - b)^{2} \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{4} < 1$ On pose alors $r = z - qt$ , et on a bien $z = tq + r et N (r) = r^{2} = ∣ t^{2} ∣ \frac{z}{t} - q^{2} < ∣ t ∣^{2} = N (t)$

◻

Lemme 5. Soit $p$ un nombre premier. Si $p$ n’est pas irréductible dans $Z [i]$ , alors $p \in Σ$ .

Démonstration. On suppose que $p$ n’est pas irréductible dans $Z [i]$ . On peut donc écrire $p = uv$ avec $u, v \in Z [i]$ non inversibles. Ainsi, $p^{2} = N (p) = N (uv) = \neq = 1 N (u) \neq = 1 N (v) ⟹ p premier N (u) = N (v) = p$ Par la Remarque 3, $p \in Σ$ . ◻

Théorème 6 (Deux carrés de Fermat). Soit $n \in N^{*}$ . Alors $n \in Σ$ si et seulement si $v_{p} (n)$ est pair pour tout $p$ premier tel que $p \equiv 3 mod 4$ (où $v_{p} (n)$ désigne la valuation $p$ -adique de $n$ ).

Démonstration. Sens direct : On écrit $n = a^{2} + b^{2}$ avec $a, b \in Z$ . Soit $p ∣ n$ tel que $p \equiv 3 mod 4$ . Montrons que $p \in / Σ$ . On suppose par l’absurde que l’on peut écrire $p = c^{2} + d^{2}$ avec $c, d \in Z$ . On va discerner les cas :

Si $c \equiv \pm 1 mod 4$ , alors $c^{2} \equiv 1 mod 4$ (et de même pour $d^{2}$ ).
Si $c \equiv \pm 2 mod 4$ , alors $c^{2} \equiv 0 mod 4$ (et de même pour $d^{2}$ ).

Donc $p = c^{2} + d^{2} \equiv 0, 1 ou 2 mod 4$ : absurde. En particulier, par le Lemme 5 (en prenant la contraposée), $p$ est irréductible dans $Z [i]$ . Comme $Z [i]$ est euclidien (cf. Lemme 4), $p$ est un élément premier de $Z [i]$ . Mais, $p ∣ n = (a + ib) (a - ib)$ . Donc $p ∣ a + ib$ ou $p ∣ a - ib$ . Dans les deux cas, on a $p ∣ a$ et $p ∣ b$ . Ainsi, $(\frac{a}{p})^{2} + (\frac{b}{p})^{2} = \frac{n}{p ^{2}}$ donc de deux choses l’une ; on a : $p^{2} ∣ n et \frac{n}{p ^{2}} \in Σ$ Il suffit alors d’itérer le processus (en remplaçant $n$ par $\frac{n}{p ^{2}}$ ) $k$ fois jusqu’à ce que $p$ ne divise plus $\frac{n}{p ^{2 k}}$ . On a alors $n = p^{2 k} u$ avec $p ∤ u$ . D’où $v_{p} (n) = 2 k$ .

Réciproque : Soit $p$ premier diviseur de $n$ tel que $p \equiv 3 mod 4$ . Alors $p^{v_{p} (n)} = (p^{\frac{v _{p} ( n )}{2}})^{2}$ est un carré, donc $p^{v_{p} (n)} \in Σ$ .

Soit maintenant $p$ premier tel que $p = 2$ ou $p \equiv 1 mod 4$ . Alors en conséquence du Lemme 1 (le cas $p = 2$ étant trivial), $- 1$ est un carré de $F_{p}$ ie. $\exists a \in Z$ tel que $- 1 \equiv a^{2} mod p$ . Donc $p ∣ a^{2} + 1 = (a - i) (a + i)$ . Oui mais, $p$ ne divise ni $a - i$ , ni $a + i$ . Donc $p$ n’est pas un élément premier de $Z [i]$ et n’est donc pas irréductible dans $Z [i]$ (toujours parce que $Z [i]$ est euclidien, cf. Lemme 4). En vertu du Lemme 5, $p \in Σ$ .

Comme $N$ est multiplicative, par la Remarque 3, on en déduit que $Σ$ est stable par multiplication. Donc $n \in Σ$ (en décomposant $n$ en produit de facteurs premiers). ◻

[PER]
p. 48

Remarque 7. Le fait qu’un élément irréductible d’un anneau euclidien est premier est une conséquence directe du lemme d’Euclide, vrai dans les anneaux factoriels (donc à fortiori aussi dans les anneaux euclidiens).