Théorème des deux carrés de Fermat

Théorème des deux carrés de Fermat

algebra

Nous démontrons le théorème des deux carrés de Fermat (qui donne des conditions sur la décomposition en facteurs premiers d’un entier pour que celui-ci soit somme de deux carrés) à l’aide de l’anneau des entiers de Gauss .

Lemme 1. Soit un nombre premier. Alors est un carré si et seulement si .

Démonstration. On pose , et on note l’ensemble des carrés de . Comme un polynôme de degré sur possède au plus racines, on a .

D’autre part, si , on peut écrire et on a donc car . Donc, .

Pour conclure, calculons le cardinal de . Pour cela, considérons le morphisme dont le noyau est qui est de cardinal . En appliquant le premier théorème d’isomorphisme, et en considérant les cardinaux ; on obtient . Donc . ◻

Introduisons maintenant des notations qui seront utiles pour la suite.

Notation 2. On note et l’ensemble des entiers qui sont somme de deux carrés.

Remarque 3. .

Lemme 4. Voici quelques propriétés sur et dont nous aurons besoin :

  1. est multiplicative.

  2. .

  3. est euclidien de stathme .

Démonstration.

  1. On a , (par multiplicativité de et de ). Et n’est que la restriction de à . Il est également tout-à-fait possible de montrer cette propriété par un calcul direct.

  2. Soit . On a . Comme est à valeurs dans , on a . En écrivant , on a , d’où ou . Réciproquement, et sont bien inversibles dans et de module .

  3. Soient . On pose avec . Soient tels que :

    • .

    • .

    (Ces nombres existent bien, ne pas hésiter à faire un dessin pour s’en convaincre.) On pose , et on a On pose alors , et on a bien

 ◻

Lemme 5. Soit un nombre premier. Si n’est pas irréductible dans , alors .

Démonstration. On suppose que n’est pas irréductible dans . On peut donc écrire avec non inversibles. Ainsi, Par la 3, . ◻

Théorème 6 (Deux carrés de Fermat). Soit . Alors si et seulement si est pair pour tout premier tel que (où désigne la valuation -adique de ).

Démonstration. Sens direct : On écrit avec . Soit tel que . Montrons que . On suppose par l’absurde que l’on peut écrire avec . On va discerner les cas :

  • Si , alors (et de même pour ).

  • Si , alors (et de même pour ).

Donc : absurde. En particulier, par le Lemme 5 (en prenant la contraposée), est irréductible dans . Comme est euclidien (cf. Lemme 4), est un élément premier de . Mais, . Donc ou . Dans les deux cas, on a et . Ainsi, donc de deux choses l’une ; on a : Il suffit alors d’itérer le processus (en remplaçant par ) fois jusqu’à ce que ne divise plus . On a alors avec . D’où .

Réciproque : Soit premier tel que . Alors est un carré, donc .

Soit maintenant premier tel que ou . Alors en conséquence du Lemme 1 (le cas étant trivial), est un carré de ie. tel que . Donc . Oui mais, ne divise ni , ni . Donc n’est pas un élément premier de et n’est donc pas irréductible dans (toujours parce que est euclidien, cf. Lemme 4). En vertu du Lemme 5, .

Comme est multiplicative, par la 3, on en déduit que est stable par multiplication. Donc (en décomposant en produit de facteurs premiers). ◻

Remarque 7. Le fait qu’un élément irréductible d’un anneau euclidien est premier est une conséquence directe du lemme d’Euclide, vrai dans les anneaux factoriels (donc à fortiori aussi dans les anneaux euclidiens).