Démonstration. $|z_1{z}_2-u_1{u}_2|=|z_1(z_2-u_2)+u_2(z_1-u_1)|\le |z_1-u_1|+|z_2-u_2|$. On procède ensuite par récurrence pour montrer le résultat. ◻

Démonstration. Pour la suite, on note $\forall n\in \mathbb{N},m_n={\max }_{k\in [[1,N_n]]}{p}_{n,k}$. On calcule $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{S_n}(t)& =\mathbb{E}\left(e^{it{S}_n}\right)\\ & =\mathbb{E}\left(e^{it{\sum }_{k=1}^{N_n}{1}_{A_{n,k}}}\right)\\ & =\mathbb{E}\left(\prod _{k=1}^{N_n}{e}^{it{1}_{A_{n,k}}}\right)\\ & =\prod _{k=1}^{N_n}\mathbb{E}\left(e^{it{1}_{A_{n,k}}}\right)\text{ par indeˊpendance}\\ & =\prod _{k=1}^{N_n}\left((1-p_{n,k})+e^{it}{p}_{n,k}\right)\\ & =\prod _{k=1}^{N_n}\left(p_{n,k}(e^{it}-1)+1\right)\end{array}$$ l’avant-dernière égalité étant justifiée par le fait que $$\mathbb{P}(e^{it{1}_{A_{n,k}}}=e^{it})=\mathbb{P}(A_{n,k}=1)=p_{n,k}\text{ et }\mathbb{P}(e^{it{1}_{A_{n,k}}}=1)=\mathbb{P}(A_{n,k}=0)=1-p_{n,k}$$ Soient $P_{n,k}$ des variables aléatoires indépendantes suivant les lois de Poisson de paramètres respectifs $p_{n,k}$. On pose $$S_n^{\prime }=\sum _{k=1}^{N_n}{P}_{n,k}$$ et on calcule la fonction caractéristique de cette nouvelle variable aléatoire : $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{S_n^{\prime }}(t)& =\prod _{k=1}^{N_n}{\varphi }_{P_{n,k}}(t)\text{ par indeˊpendance}\\ & =\prod _{k=1}^{N_n}\exp (p_{n,k}(e^{it}-1)))\\ & =\exp (s_n(e^{it}-1))\end{array}$$ Par différence, on obtient $$|{\varphi }_{S_n}(t)-{\varphi }_{S_n^{\prime }}(t)|=\left|\prod _{k=1}^{N_n}\left(p_{n,k}(e^{it}-1)+1\right)-\prod _{k=1}^{N_n}\exp (p_{n,k}(e^{it}-1)))\right|$$ ce qui, après application du Lemme 1, donne l’inégalité $$|{\varphi }_{S_n}(t)-{\varphi }_{S_n^{\prime }}(t)|\le \sum _{k=1}^{N_n}g(p_{n,k}(e^{it}-1))$$ avec $g:z\mapsto |e^z-1-z|$. Mais, par développement en série entière : $$\begin{array}{rl}g(z)& =\left|\sum _{k=2}^{+\infty }\frac{z^k}{k!}\right|\\ & =\left|\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{z^{k+2}}{(k+2)!}\right|\\ & =\left|z^2\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{z^k}{k!}\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right|\\ & \le |z{|}^2\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{|z{|}^k}{k!}\left|\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right|\\ & \le |z{|}^2\frac{e^{|z|}}{2}\end{array}$$ Mais, comme $|p_{n,k}(e^{it}-1)|\le 2p_{n,k}\le 2$, on a : $$\begin{array}{rl}|{\varphi }_{S_n}(t)-{\varphi }_{S_n^{\prime }}(t)|& \le \sum _{k=1}^{N_n}(2p_{n,k}{)}^2\frac{e^2}{2}\\ & =2e^2\sum _{k=1}^{N_n}2p_{n,k}^2\\ & \le 2e^2\underset{⟶\lambda }{\underbrace{s_n}}\underset{⟶0}{\underbrace{m_n}}\\ & ⟶0\end{array}$$ Enfin, $$\begin{array}{rlr}|{\varphi }_{S_n}(t)-\exp (\lambda (e^{it}-1))|& \le |{\varphi }_{S_n}(t)-{\varphi }_{S_n^{\prime }}(t)|+|{\varphi }_{S_n^{\prime }}(t)-\exp (\lambda (e^{it}-1))|& \\ & \le \underset{⟶0}{\underbrace{|{\varphi }_{S_n}(t)-{\varphi }_{S_n^{\prime }}(t)|}}+|\underset{⟶0\text{ car }{s}_n⟶\lambda }{\underbrace{\exp (s_n(e^{it}-1))-\exp (\lambda (e^{it}-1))|}}& ⟶0\end{array}$$ et le théorème de Lévy permet de conclure. ◻