Démonstration. On note $m$ la dimension de $F$. Considérons $G$, un supplémentaire de $F$ dans $E$. Soient ${\mathcal{B}}_F$ et ${\mathcal{B}}_G$ des bases respectives de $F$ et de $G$. Alors, la matrice de $g$ dans la base de $E$ constituée de l’union disjointe de ${\mathcal{B}}_F$ et ${\mathcal{B}}_G$ est de la forme $$M=\left(\begin{array}{cc}A& \ast \\ 0& \ast \end{array}\right)$$ avec $A\in {\mathcal{M}}_m(\mathbb{K})$, qui est la matrice de l’endomorphisme induit $g_{|F}$. On constate clairement que ${\chi }_{g_{|F}}={\chi }_A\mid {\chi }_M={\chi }_g$. ◻

Démonstration. $g$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$. Dans ce cas, le polynôme caractéristique de sa restriction à $F$ l’est aussi au vu du Lemme 1. ◻

Démonstration. $f$ est trigonalisable, donc $f$ admet une valeur propre $\lambda \in \mathbb{K}$ (cf. première colonne de la matrice de $f$ dans une base de trigonalisation). Le sous-espace propre $E_{\lambda }=\mathrm{Ker}(f-\lambda {\mathrm{id}}_E)$ est alors stable par $g$ : $$\forall x\in E_{\lambda },(f-\lambda {\mathrm{id}}_E)(g(x))=g((f-\lambda {\mathrm{id}}_E)(x))$$ car $f$, $g$ et $\lambda {\mathrm{id}}_E$ commutent. Ainsi, $$\forall x\in E_{\lambda },(f-\lambda {\mathrm{id}}_E)(g(x))=0$$ Par le Lemme 2, la restriction de $g$ à $E_{\lambda }$ est trigonalisable. Donc, $g_{|E_{\lambda }}$ admet un vecteur propre $x\in E_{\lambda }$ qui est, par construction, un vecteur propre commun à $f$ et $g$. ◻

Démonstration. On va procéder par récurrence sur $n$.

• Si $n=1$ : c’est évident.

• Supposons le résultat vrai au rang $n-1$. Pour tout $\phi \in E^{\ast }$, $$\begin{array}{rl}({}^{t}f\circ {}^{t}g)(\phi )& ={}^{t}f(\phi \circ g)\\ & =\phi \circ g\circ f\\ & =\phi \circ f\circ g\\ & =({}^{t}g\circ {}^{t}f)(\phi )\end{array}$$ ie. ${}^{t}f{}^{t}g={}^{t}f{}^{t}g$. De plus, ${}^{t}f$ et ${}^{t}g$ sont trigonalisables (car possèdent les mêmes polynômes caractéristiques que $f$ et $g$). Par le Lemme 3 appliqué à ${}^{t}f$ et ${}^{t}g$, il existe un vecteur propre $\psi \in E^{\ast }$ commun à ces deux endomorphismes. Le sous-espace vectoriel $\mathrm{Vect}(\psi )$ est ainsi stable par ${}^{t}f$ et ${}^{t}g$. Notons $$H=\mathrm{Vect}(\psi {)}^{\circ }=\{x\in E\mid \psi (x)=0\}=\mathrm{Ker}(\psi )$$ c’est un hyperplan de $E$ (donc de dimension $n-1$), qui est de plus stable par $f$ et $g$. En effet, en notant $\lambda \in \mathbb{K}$ la valeur propre de $f$ associée à $\psi$, on a : $$\forall x\in H,\psi (f(x))={}^{t}f(\psi )(x)=\lambda \psi (x)=0$$ et un même calcul montre la stabilité par $g$. D’après l’hypothèse de récurrence appliquée aux endomorphismes induits $f_{|H}$ et $g_{|H}$, on obtient une base ${\mathcal{B}}_H$ de $H$ de cotrigonalisation pour $f_{|H}$ et $g_{|H}$. On la complète en une base quelconque $\mathcal{B}$ de $E$, dans laquelle on obtient $$\mathrm{Mat}(f,\mathcal{B})=\left(\begin{array}{cccc}& & & \ast \\ & \mathrm{Mat}(f_{|H},{\mathcal{B}}_H)& & ⋮\\ & & & \ast \\ 0& \dots & 0& \ast \end{array}\right)\text{ et }\mathrm{Mat}(g,\mathcal{B})=\left(\begin{array}{cccc}& & & \ast \\ & \mathrm{Mat}(g_{|H},{\mathcal{B}}_H)& & ⋮\\ & & & \ast \\ 0& \dots & 0& \ast \end{array}\right)$$ où $\mathrm{Mat}(f_{|H},{\mathcal{B}}_H)$ et $\mathrm{Mat}(g_{|H},{\mathcal{B}}_H)$ sont triangulaires supérieures d’ordre $n-1$.

 ◻