Démonstration. Soit $(y_n)$ une suite d’éléments de $f(E)$. On pose $\forall n\in \mathbb{N}$, $x_n=f(y_n)$. $E$ est compact, donc il existe une extractrice $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ telle que $x_{\phi (n)}{⟶}_{n\to +\infty }x$ où $x\in E$. Par continuité, $$y_{\phi (n)}=f(x_{\phi (n)}){⟶}_{n\to +\infty }f(x)\in f(E)$$ $f(E)$ est ainsi séquentiellement compact, donc est compact. ◻

Démonstration.

• Fermée : Soit $(a_n)$ une suite d’éléments de $A$ qui converge vers $a\in E$. Par compacité, il existe une extractrice $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ telle que $a_{\phi (n)}{⟶}_{n\to +\infty }{a}^{\prime }$ où $a^{\prime }\in A$. Par unicité de la limite dans un espace métrique, $a^{\prime }=a\in A$. Par la caractérisation séquentielle des fermés, $A$ est bien fermée.

• Bornée : Soit $a\in A$. On pose $B=\{d(a,x)\mid x\in A\}$ et on suppose par l’absurde que $B$ est non borné. Il existe une suite $(a_n)$ telle que $$\forall n\in \mathbb{N},d(a,a_n)\ge n$$ Par compacité, il existe une extractrice $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ telle que $a_{\phi (n)}{⟶}_{n\to +\infty }\ell$ où $\ell \in A$. Par continuité, $$d(a,a_{\phi (n)}){⟶}_{n\to +\infty }d(a,\ell )$$ Mais, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $d(a,a_{\phi (n)})\ge \phi (n)\ge n$ : absurde. Donc $B$ est borné : il existe $r\ge 0$ tel que $d(a,x)\le r$ pour tout $x\in A$.

 ◻

Démonstration. La Proposition 2 montre que les parties compactes sont fermées et bornées. Pour montrer la réciproque, prenons $r>0$. Notons que l’intervalle $[-r,r]$ est compact : si $(a_k)$ est une suite d’éléments de $[-r,r]$, on peut extraire une sous-suite monotone et bornée qui est alors convergente dans $[-r,r]$ car $[-r,r]$ est fermé. Le théorème de Tykhonov nous dit que le produit $[-r,r{]}^n$ est alors compact.

Posons $$\phi :\begin{array}{ccc}([-r,r{]}^n,\Vert .{\Vert }_{\infty })& \to & (E,\Vert .{\Vert }_{\infty })\\ ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)& \mapsto & {\sum }_{k=1}^n{\alpha }_k{e}_k\end{array}$$ où $(e_1,\dots ,e_n)$ désigne une base de $E$ associée à la norme infinie $\Vert .{\Vert }_{\infty }$. Alors, par la Proposition 1, $\phi ([-r,r{]}^n)=\overline{B}(0,r)$ est compact.

Soit maintenant $A$ une partie fermée bornée de $E$. Alors il existe $r>0$ tel que $A\subseteq \overline{B}(0,r)$. Donc, si $(a_n)$ est une suite d’éléments de $A$, par compacité de $\overline{B}(0,r)$, on a l’existence d’une sous-suite convergente vers $a\in \overline{B}(0,r)$. Comme $A$ est fermée, $a\in A$. $A$ est ainsi séquentiellement compacte, donc est compacte. ◻

Démonstration.

• $⟸$ : Soit $\Vert .\Vert$ une norme sur $E$ et soit $\phi$ une forme linéaire quelconque sur $E$. On définit la norme suivante sur $E$ : $$\Vert .{\Vert }_{\phi }:x\mapsto |\phi (x)|+\Vert x\Vert$$ Alors, pour tout $x\in E$, $|\phi (x)|=\Vert x{\Vert }_{\phi }-\Vert x\Vert \le \Vert x{\Vert }_{\phi }$ : $\phi$ est continue pour $\Vert .{\Vert }_{\phi }$ donc pour $\Vert .\Vert$ aussi par équivalence des normes.

  Supposons par l’absurde $E$ de dimension infinie. Soit $(e_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite infinie de vecteurs linéairement indépendantes. On pose $V=\mathrm{Vect}(e_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Soient $W$ un supplémentaire de $V$ dans $E$ et $p:E\to V$ la projection sur $V$ parallèlement à $W$. On définit $\psi$ une forme linéaire sur $V$ par $\forall n\in \mathbb{N}$, $\psi (e_n)=n\Vert e_n\Vert$. Alors, $\varphi =\psi \circ p$ est une forme linéaire sur $E$ qui n’est pas continue. En effet : $$\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\varphi (x)|}{\Vert x\Vert }=+\infty$$ C’est absurde.

• $⟹$ : Soient $(e_1,\dots ,e_n)$ une base de $E$ et $x={\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i\in E$. Si $\Vert .\Vert$ est une norme sur $E$, on a : $$\Vert x\Vert \le \underset{=\alpha }{\underbrace{\left(\sum _{i=1}^n\Vert e_i\Vert \right)}}\Vert x{\Vert }_{\infty }$$ Donc $\Vert .{\Vert }_{\infty }$ est plus fine que $\Vert .\Vert$.

  L’application $\Vert .\Vert :(E,\Vert .{\Vert }_{\infty })\to ({\mathbb{R}}^{+},|.|)$ est continue car lipschitzienne ($\forall x,y\in E,|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |\le \Vert x-y\Vert$), donc est bornée et atteint ses bornes sur la sphère $S(0,1)=\{x\in E\mid \Vert x{\Vert }_{\infty }=1\}$ (qui est fermée bornée, donc compacte par la Proposition 3). On note $x_0\in E$ ce minimum : $$\forall x\in E\text{ tel que }\Vert x{\Vert }_{\infty }=1,\text{ on a }\Vert x\Vert \ge \underset{=\beta }{\underbrace{\Vert x_0\Vert }}$$ Ainsi, $$\forall x\in E,\Vert \frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\infty }}\Vert \ge \beta \text{ ie. }\Vert x\Vert \ge \beta \Vert x{\Vert }_{\infty }$$ Donc $\Vert .\Vert$ est plus fine que $\Vert .{\Vert }_{\infty }$ : les normes $\Vert .\Vert$ et $\Vert .{\Vert }_{\infty }$ sont équivalentes. Comme la relation d’équivalence sur les normes d’un espace vectoriel est transitive, on en déduit que toutes les normes sur $E$ sont équivalentes.

 ◻

Démonstration.

1. C’est une conséquence directe de la Proposition 3 et du Théorème 4.

2. Soit $(x_n)$ une suite de Cauchy d’un espace vectoriel normé $(E,\Vert .\Vert )$. Notons que :

   • $(x_n)$ est bornée. En effet, il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que $\forall p>q\ge N$, $\Vert x_p-x_q\Vert <1$. Donc, $\forall p\ge N$, $\Vert x_p\Vert <1+\Vert x_N\Vert$. Ainsi, $$M=\max (\Vert x_0\Vert ,\dots ,\Vert x_{N-1}\Vert ,\Vert x_N\Vert )$$ majore la suite $(x_n)$.

   • $(x_n)$ admet au plus une valeur d’adhérence, et si c’est le cas, elle converge vers cette valeur d’adhérence. En effet, si $(x_n)$ converge, alors sa limite est son unique valeur d’adhérence. Soit maintenant $x$ une valeur d’adhérence de $(x_n)$. Soit $ϵ>0$, $$\exists N\in \mathbb{N}\text{ tel que }\forall p>q\ge N,\Vert x_p-x_q\Vert <\frac{ϵ}{2}$$ Soit $q\ge N$. Par définition de la valeur d’adhérence, $$\exists p\ge q\text{ tel que }\Vert x_p-x\Vert <\frac{ϵ}{2}$$ Donc : $$\Vert x_q-x\Vert \le \Vert x_p-x_q\Vert +\Vert x_p-x\Vert <ϵ$$ ce que l’on voulait.

   Supposons $E$ de dimension finie. Par le premier point, $(x_n)$ est bornée, donc incluse dans une boule fermée $B$, qui est compacte par le Point 1, donc elle admet une valeur d’adhérence $\ell \in B$. Par le second point, $(x_n)$ converge vers $\ell$.

3. Soient $(E,\Vert .\Vert )$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. Soit $(x_n)$ une suite de $F$ qui converge vers $x\in E$. Notons que $(x_n)$ est de Cauchy. En effet, soit $ϵ>0$, $$\exists N\in \mathbb{N}\text{ tel que }\forall p>q\ge N,\Vert x_p-x_q\Vert <\frac{ϵ}{2}$$ Soient $p>q\ge N$. $$\begin{array}{rl}\Vert x_p-x_q\Vert & \le \Vert x_p-x\Vert +\Vert x-x_q\Vert \\ & <ϵ\end{array}$$ Donc $(x_n)$ est une suite de Cauchy de $F$, qui est de dimension finie, donc complet par le Point 2. $(x_n)$ converge donc dans $F$, et par unicité de la limite, on a $x\in F$. Par la caractérisation séquentielle des fermés, $F$ est bien fermé dans $E$.

4. Soit $f\in L(E,F)$. On définit une norme sur $E$ par $$\Vert .\Vert :x\mapsto \Vert x{\Vert }_E+\Vert f(x){\Vert }_F$$ Or, $\forall x\in E$, $$\begin{array}{rl}\Vert f(x){\Vert }_F& =\Vert x{\Vert }_E-\Vert x\Vert \\ & \le \Vert x{\Vert }_E-M\Vert x{\Vert }_E\end{array}$$ où $M>0$, par le Théorème 4. Ainsi, $$\Vert f(x){\Vert }_F=(1-M)\Vert x{\Vert }_E$$ $f$ est une application linéaire bornée, donc continue.

 ◻

Démonstration. Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. L’ensemble $\mathbb{C}[M]=\{P(M)\mid P\in \mathbb{C}[X]\}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ qui est de dimension finie, donc $\mathbb{C}[M]$ l’est aussi et est en particulier fermé par le Corollaire 5 Point 2.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $P_n={\sum }_{k=0}^n\frac{M^k}{k!}\in \mathbb{C}[M]$ de sorte que $P_n{⟶}_{n\to +\infty }\exp (M)$. Comme $\mathbb{C}[M]$ est fermé, on en déduit que $\exp (M)\in \mathbb{C}[M]$. Donc $\exists P\in \mathbb{C}[X]$ tel que $\exp (M)=P(M)$. ◻