Autour de la compacité

Autour de la compacité

analysis

En utilisant la compacité, on montre diverses propriétés des espaces métriques et des espaces vectoriels normés, notamment de dimension finie.

Proposition 1. Soient , deux espaces métriques et continue. Si est compact, alors est compact dans .

Démonstration. Soit une suite d’éléments de . On pose , . est compact, donc il existe une extractrice telle que . Par continuité, est ainsi séquentiellement compact, donc est compact. ◻

Proposition 2. Soit un espace métrique. Si est compacte, alors est fermée et bornée.

Démonstration.

  • Fermée : Soit une suite d’éléments de qui converge vers . Par compacité, il existe une extractrice telle que . Par unicité de la limite dans un espace métrique, . Par la caractérisation séquentielle des fermés, est bien fermée.

  • Bornée : Soit . On pose et on suppose par l’absurde que est non borné. Il existe une suite telle que Par compacité, il existe une extractrice telle que . Par continuité, Mais, pour tout , : absurde. Donc est borné : il existe tel que pour tout .

 ◻

Proposition 3. Soir un espace vectoriel de dimension finie muni de la norme infinie . Les compacts de cet espace vectoriel normé sont les parties fermées et bornées.

Démonstration. La Proposition 2 montre que les parties compactes sont fermées et bornées. Pour montrer la réciproque, prenons . Notons que l’intervalle est compact : si est une suite d’éléments de , on peut extraire une sous-suite monotone et bornée qui est alors convergente dans car est fermé. Le théorème de Tykhonov nous dit que le produit est alors compact.

Posons désigne une base de . Alors, par la Proposition 1, est compact.

Soit maintenant une partie fermée bornée de . Alors il existe tel que . Donc, si est une suite d’éléments de , par compacité de , on a l’existence d’une sous-suite convergente vers . Comme est fermée, . est ainsi séquentiellement compacte, donc est compacte. ◻

Théorème 4. Un espace vectoriel normé est de dimension finie si et seulement si toutes ses normes sont équivalentes.

Démonstration.

  • : Soit une norme sur et soit une forme linéaire quelconque sur . On définit la norme suivante sur : Alors, pour tout , : est continue pour donc pour aussi par équivalence des normes.

    Supposons par l’absurde de dimension infinie. Soit une suite infinie de vecteurs linéairement indépendantes. On pose . Soient un supplémentaire de dans et la projection sur parallèlement à . On définit une forme linéaire sur par , . Alors, est une forme linéaire sur qui n’est pas continue. En effet : C’est absurde.

  • : Soient une base de et . Si est une norme sur , on a : Donc est plus fine que .

    L’application est continue car lipschitzienne (), donc est bornée et atteint ses bornes sur la sphère (qui est fermée bornée, donc compacte par la Proposition 3). On note ce minimum : Ainsi, Donc est plus fine que : les normes et sont équivalentes. Comme la relation d’équivalence sur les normes d’un espace vectoriel est transitive, on en déduit que toutes les normes sur sont équivalentes.

 ◻

Corollaire 5.

  1. Les parties compacts d’un espace vectoriel normé de dimension finie sont les parties fermées bornées.

  2. Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.

  3. Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace vectoriel normé est fermé.

  4. Soient et deux espaces vectoriels avec de dimension finie. Alors, ie. toute application linéaire de dans est continue.

Démonstration.

  1. C’est une conséquence directe de la Proposition 3 et du Théorème 4.

  2. Soit une suite de Cauchy d’un espace vectoriel normé . Notons que :

    • est bornée. En effet, il existe tel que , . Donc, , . Ainsi, majore la suite .

    • admet au plus une valeur d’adhérence, et si c’est le cas, elle converge vers cette valeur d’adhérence. En effet, si converge, alors sa limite est son unique valeur d’adhérence. Soit maintenant une valeur d’adhérence de . Soit , Soit . Par définition de la valeur d’adhérence, Donc : ce que l’on voulait.

    Supposons de dimension finie. Par le premier point, est bornée, donc incluse dans une boule fermée , qui est compacte par le Point 0, donc elle admet une valeur d’adhérence . Par le second point, converge vers .

  3. Soient un espace vectoriel normé et un sous-espace vectoriel de de dimension finie. Soit une suite de qui converge vers . Notons que est de Cauchy. En effet, soit , Soient . Donc est une suite de Cauchy de , qui est de dimension finie, donc complet par le Point 2. converge donc dans , et par unicité de la limite, on a . Par la caractérisation séquentielle des fermés, est bien fermé dans .

  4. Soit . On définit une norme sur par Or, , , par le Théorème 4. Ainsi, est une application linéaire bornée, donc continue.

 ◻

Application 6. , tel que .

Démonstration. Soit . L’ensemble est un sous-espace vectoriel de qui est de dimension finie, donc l’est aussi et est en particulier fermé par le Corollaire 5 Point 2.

Pour tout , on pose de sorte que . Comme est fermé, on en déduit que . Donc tel que . ◻