Extrema liés

algebra, analysis

Rédaction propre et la plus détaillée possible de l’existence et l’unicité des multiplicateurs de Lagrange liant les différentielles de plusieurs fonctions sous certaines hypothèses.

[GOU20]
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Théorème 1 (Extrema liés). Soit $U$ un ouvert de $R^{n}$ et soient $f, g_{1}, \dots, g_{r} : U \to R$ des fonctions de classe $C^{1}$ . On note $Γ = {x \in U ∣ g_{1} (x) = \dots = g_{r} (x) = 0}$ . Si $f_{∣Γ}$ admet un extremum relatif en $a \in Γ$ et si les formes linéaires $d (g_{1})_{a}, \dots, d (g_{r})_{a}$ sont linéairement indépendantes, alors il existe des uniques $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ appelés multiplicateurs de Lagrange tels que $d f_{a} = λ_{1} d (g_{1})_{a} + \dots + λ_{r} d (g_{r})_{a}$

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Démonstration. Soit $s = n - r$ . Identifions $R^{n}$ à $R^{s} \times R^{r}$ et écrivons les éléments $(x, y)$ de $R^{n}$ sous la forme $(x, y) = (x_{1}, \dots, x_{s}, y_{1}, \dots, y_{r})$ . On notera également par la suite $a = (α, β)$ avec $α \in R^{s}$ et $β \in R^{r}$ . On a déjà plusieurs informations :

Déjà, $r \leq n$ , car les formes linéaires $d (g_{i})_{a}$ forment une famille libre de $(R^{n})^{*}$ , qui est de dimension $n$ .
De plus, si $r = n$ , la démonstration est triviale car $(d (g_{i})_{a})_{i \in [[1, n]]}$ est alors une base de $(R^{n})^{*}$ .

Pour ces raisons, nous supposerons dans la suite $r \leq n - 1$ (ie. $s \geq 1$ ).

Comme $(d (g_{i})_{a})_{i \in [[1, r]]}$ est une famille libre, la matrice $((\frac{\partial g _{i}}{\partial x _{j}} (a))_{i \in [[1, r]] j \in [[1, s]]} (\frac{\partial g _{i}}{\partial y _{j}} (a))_{i \in [[1, r]] j \in [[1, r]]})$ est de rang $r$ . On peut donc extraire une sous-matrice de taille $r \times r$ inversible. Quitte à changer le nom des variables, on peut supposer que c’est la sous-matrice de droite, ie. $det ((\frac{\partial g _{i}}{\partial y _{j}} (a))_{i, j \in [[1, r]]}) \neq = 0 (*)$ On va appliquer le théorème des fonctions implicites à la fonction $g = (g_{1}, \dots, g_{r})$ . Pour cela, on vérifie les hypothèses :

$g$ est de classe $C^{1}$ .
$g (α, β) = 0$ car $(α, β) = a \in Γ$ .
La différentielle partielle $d_{y} g_{a}$ est inversible par $(*)$ .

Ainsi, il existe :

$U^{'}$ voisinage de $α$ dans $R^{s}$ .
$V^{'}$ voisinage de $β$ dans $R^{r}$ .
$φ : U^{'} \to V^{'}$ de classe $C^{1}$ telle que $φ (α) = β$ et $\forall (x, y) \in U^{'} \times V^{'}$ , $(x, y) \in Γ ⟺ g (x, y) = 0 ⟺ y = φ (x)$ .

En d’autres termes, sur un voisinage de $a$ , les éléments de $Γ$ s’écrivent $(x, φ (x))$ . On pose maintenant $u : x \mapsto (x, φ (x))$ et $h = f \circ u$ . Par composition, $h$ est différentiable en $α$ et $0 = α extremum de h d h_{α} = d (f \circ u)_{α} = d f_{u (α)} \circ d u_{α} = d f_{a} \circ d u_{α}$ En termes de matrices, cela donne : $0 ⋮ 0 = ((\frac{\partial f}{\partial x _{j}} (a))_{j \in [[1, s]]} (\frac{\partial f}{\partial y _{j}} (a))_{j \in [[1, r]]}) I_{s} (\frac{\partial φ _{i}}{\partial x _{j}} (α))_{i \in [[1, r]] j \in [[1, s]]} = \frac{\partial f}{\partial x _{1}} (a) + \sum_{k = 1}^{r} \frac{\partial f}{\partial y _{k}} (a) \frac{\partial φ _{k}}{\partial x _{1}} (α) ⋮ \frac{\partial f}{\partial x _{s}} (a) + \sum_{k = 1}^{r} \frac{\partial f}{\partial y _{k}} (a) \frac{\partial φ _{k}}{\partial x _{s}} (α)$ On aboutit à la relation suivante : $\forall i \in [[1, s]], \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) + k = 1 \sum r \frac{\partial f}{\partial y _{k}} (a) \frac{\partial φ _{k}}{\partial x _{i}} (α) = 0 (* *)$ Comme $\forall j \in [[1, r]]$ , $g_{j} (α, φ (α)) = g_{j} (a) = 0$ , on peut aboutir de la même manière à la relation suivante : $\forall i \in [[1, s]], \forall j \in [[1, r]], \frac{\partial g _{j}}{\partial x _{i}} (a) + k = 1 \sum r \frac{\partial g _{j}}{\partial y _{k}} (a) \frac{\partial φ _{k}}{\partial x _{i}} (α) = 0 (* * *)$ On considère maintenant la matrice $M$ suivante : $M = (\frac{\partial f}{\partial x _{j}} (a))_{j \in [[1, s]]} (\frac{\partial g _{i}}{\partial x _{j}} (a))_{i \in [[1, r]] j \in [[1, s]]} (\frac{\partial f}{\partial y _{j}} (a))_{j \in [[1, r]]} (\frac{\partial g _{i}}{\partial y _{j}} (a))_{i \in [[1, r]] j \in [[1, r]]}$ Par $(* *)$ et $(* * *)$ , les $s$ premiers vecteurs colonnes de cette matrice s’expriment linéairement en fonction de ses $r$ derniers. Donc $rang (M) \leq r$ . Mais, le rang des vecteurs lignes d’une matrice est égal au rang de ses vecteurs colonnes. Donc les $r + 1$ vecteurs lignes de $M$ forment une famille liée. Mais par hypothèse, les $r$ dernières lignes sont libres. Donc la première ligne est combinaison linéaire des $r$ dernières, ce qui se réécrit : $\exists λ_{1}, \dots, λ_{r} \in R tels que d f_{a} = λ_{1} d (g_{1})_{a} + \dots + λ_{r} d (g_{r})_{a}$ L’unicité est claire car $(d (g_{i})_{a})_{i \in [[1, r]]}$ est une famille libre. ◻

Attention à la rigueur et à la propreté dans cette démonstration. On peut très vite se perdre si l’on va trop vite ou si l’on ne prend pas le temps de bien écrire chaque donnée.

[BMP]
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Remarque 2. Il paraît que le jury n’aime pas beaucoup cette démonstration. Si vous la proposez en développement, soyez sûr de pouvoir en donner une interprétation géométrique : grâce à la condition d’indépendance des $d (g_{i})_{a}$ , $Γ$ est une sous-variété de $R^{n}$ autour du point $a$ . D’autre part, $d f_{a} = λ_{1} d (g_{1})_{a} + \dots + λ_{r} d (g_{r})_{a} ⟺ i = 1 ⋂ r Ker (d (g_{i})_{a}) \subseteq Ker (d f_{a}) (*)$ En particulier, $d f_{a}$ est nulle sur $⋂_{i = 1}^{r} Ker (d (g_{i})_{a})$ . Or, l’espace tangent en $a$ à la sous-variété ${x proche de a ∣ g_{1} (x) = \dots = g_{r} (x) = 0}$ est justement ${h \in R^{n} ∣ d (g_{1})_{a} (h) = \dots = d (g_{r})_{a} (h) = 0}$ .

Bref, la condition $(*)$ exprime que $d f_{a}$ est nulle sur le plan tangent à $Γ$ en $a$ . Ceci équivaut aussi à ce que $\nabla f_{a}$ soit orthogonal à l’espace tangent à $Γ$ en $a$ . Ainsi, la seule manière de rendre $f$ plus petit serait de sortir de $Γ$ .