Invariants de similitude

algebra

Nous montrons l’existence et l’unicité des invariants de similitude d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie en utilisant la dualité.

[GOU21]
p. 398

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ sur un corps commutatif $K$ . Soit $f \in L (E)$ .

Notation 1. Soit $x \in E$ . On note $P_{x}$ le polynôme unitaire engendrant l’idéal ${P \in K [X] ∣ P (f) (x) = 0}$ (un tel polynôme existe car $K [X]$ est principal et cet idéal est non réduit à ${0}$ ) et $E_{x} = {P (f) (x) ∣ P \in K [X]}$ .

Lemme 2.

Si $k = de g (π_{f})$ , alors $K [f]$ est un sous-espace vectoriel de $L (E)$ de dimension $k$ , dont une base est $(f^{i})_{i \in [[0, k - 1]]}$ .
Soit $x \in E$ . Si $l = de g (P_{x})$ , alors $E_{x}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $l$ , dont une base est $(f^{i} (x))_{i \in [[0, l - 1]]}$ .

p. 61

Démonstration.

Montrons que la famille $(f^{i})_{i \in [[0, k - 1]]}$ est à la fois libre et génératrice.
- Soit $P (f) \in K [f]$ . On fait la division euclidienne de $P$ par $π_{f}$ dans $K [X]$ pour écrire $P = π_{f} Q + R$ avec $Q, R \in K [X]$ et $de g (R) < k = de g (π_{f})$ . En évaluant en $f$ , cela donne $P (f) = R (f) \in Vect (id_{E}, \dots, f^{k - 1})$ . Donc la famille est génératrice.
- Si $\sum_{i = 0}^{k - 1} λ_{i} f^{i} = 0$ , alors le polynôme $P = \sum_{i = 0}^{k - 1} λ_{i} X^{i}$ vérifie $P (f) = 0$ . Donc $π_{f} ∣ P$ , et comme $de g (P) < de g (π_{f})$ , on a $P = 0$ . Donc $λ_{0} = \dots = λ_{k - 1} = 0$ . Donc la famille est libre.
La deuxième assertion se montre sensiblement de la même manière.

◻

p. 290

Lemme 3. Il existe $x \in E$ tel que $P_{x} = π_{f}$ .

Remarque 4. La démonstration est un peu trop longue pour être incluse ici : c’est un résultat qui demande du temps pour le démontrer (et pourrait constituer un vrai développement à part entière). Nous vous renvoyons vers [GOU21] p. 178 pour la démonstration.

Théorème 5 (Frobenius). Il existe des sous-espaces vectoriels $F_{1}, \dots, F_{r}$ de $E$ tous stables par $f$ tels que :

$E = ⨁_{i = 1}^{r} F_{i}$ .
$\forall i \in [[1, r]]$ , la restriction $f_{i} = f_{∣ F_{i}}$ est un endomorphisme cyclique de $F_{i}$ .
Si $P_{i} = π_{f_{i}}$ est le polynôme minimal de $f_{i}$ , on a $P_{i + 1} ∣ P_{i}$ $\forall i \in [[1, r - 1]]$ .

La suite $(P_{i})_{i \in [[1, r]]}$ ne dépend que de $f$ et non du choix de la décomposition (elle est donc unique). On l’appelle suite des invariants de $f$ .

Démonstration.

Existence : Soit $k = de g (π_{f})$ . Par le Lemme 3, il existe $x \in E$ tel que $P_{x} = π_{f}$ . Par le Lemme 2, le sous-espace $F = E_{x}$ est de dimension $k$ et est stable par $f$ et comme $de g (P_{x}) = k$ , la famille de vecteurs $(= e_{1} x, \dots, = e_{k} f^{k - 1} (x))$ forme une base de $F$ . Complétons cette base en une base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ . En désignant par $(e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*})$ la base duale associée et en notant $Γ = {e_{k}^{*} \circ f^{i} ∣ i \in N}$ , on pose $G = Γ^{\circ} = {x \in E ∣ \forall i \in N, (e_{k}^{*} \circ f^{i}) (x) = 0}$ Ainsi, $G$ est l’ensemble des $x \in E$ tel que la $k$ -ième coordonnée de $f^{i} (x)$ (dans la base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ ) est nulle $\forall i \in N$ ; $G$ est donc un sous-espace de $E$ stable par $f$ . Montrons que $F \oplus G = E$ .

Montrons que $F \cap G = {0}$ . Soit $y \in F \cap G$ . Si $y \neq = 0$ , on peut écrire $y = λ_{1} e_{1} + \dots + λ_{p} e_{p}$ avec $λ_{p} \neq = 0$ et $p \leq k$ . En composant par $e_{k}^{*} \circ f^{k - p}$ , on obtient $0 y \in G = e_{k}^{*} \circ f^{k - p} (y) = e_{k}^{*} (λ_{1} f^{k - p} (e_{1}) + \dots + λ_{p} f^{k - p} (e_{p})) = e_{k}^{*} (λ_{1} f^{k - p} (x) + \dots + λ_{p} f^{k - p} (x)) = λ_{p}$ Ce qui est absurde.

Montrons que $dim (F) + dim (G) = n$ . Cela revient à montrer que $dim (G) = n - k$ . On sait que $G = Γ^{\circ} = (Vect (Γ))^{\circ}$ et $dim (Vect (Γ)) + dim (Vect (Γ)^{\circ}) = n$ . Montrons donc que $dim (Vect (Γ)) = k$ . Posons $φ : K [f] g \to \mapsto Vect (Γ) e_{k}^{*} \circ g$ Par définition de $Γ$ , $φ$ est surjective. Soit $g \in Ker (φ)$ . On a alors $e_{k}^{*} \circ g = 0$ , et comme $g \in K [f]$ , $g = λ_{1} id + \dots λ_{p} f^{p - 1} avec λ_{p} \neq = 0 et p \leq k$ On a donc $0 = e_{k}^{*} \circ g (f^{k - p} (x)) = λ_{p} \neq = 0$ . Ainsi, $g = 0$ et $ϕ$ est un isomorphisme. Donc $dim (Vect (Γ)) = dim (K [f]) = k$ par le Lemme 2, ce que l’on voulait.

Soit $P_{1}$ le polynôme minimal de $f_{∣ F}$ (qui est le polynôme minimal de $f$ car $P_{1} = π_{f_{∣ F}} = π_{f} = P_{x} = π_{f}$ ). Soit $P_{2}$ le polynôme minimal de $f_{∣ G}$ . Comme $G$ est stable par $f$ , on a $P_{1} (f_{∣ G}) = π_{f} (f_{∣ G}) = 0$ , donc $P_{2} ∣ P_{1}$ . Il suffit alors de réitérer en remplaçant $f$ par $f_{∣ G}$ et $E$ par $G$ pour obtenir la décomposition voulu.
Unicité : Soient $F_{1}, \dots, F_{r}$ et $G_{1}, \dots G_{s}$ des sous-espaces vectoriels stables par $f$ qui vérifient le Point 1, le Point 2 et le Point 3. On note pour tout $i$ , $P_{i} = π_{f_{∣ F_{i}}}$ et $Q_{i} = π_{f_{∣ G_{i}}}$ . On suppose par l’absurde $(P_{1}, \dots, P_{r}) \neq = (Q_{1}, \dots, Q_{s})$ . Soit $j = min {i ∣ P_{i} \neq = Q_{i}}$ . Comme $E = ⨁_{i = 1}^{r} F_{i}$ (où $\forall i \in [[1, r]]$ , $F_{i}$ est stable par $f$ et $\forall k \geq j \geq 1$ , $P_{j} (f) (F_{k}) = 0$ ) : $P_{j} (f) (F_{1}) \oplus \dots \oplus P_{j} (f) (F_{j - 1}) = P_{j} (f) (E) (*)$ De même, $P_{j} (f) (G_{1}) \oplus \dots \oplus P_{j} (f) (G_{j - 1}) \oplus P_{j} (f) (G_{j}) \oplus \dots \oplus P_{j} (f) (G_{s}) = P_{j} (f) (E) (* *)$ Notons que l’on a $\forall i \in [[1, j - 1]]$ , $dim (P_{j} (f) (F_{i})) = dim (P_{j} (f) (G_{i}))$ . En effet, on peut trouver une base $B_{i}$ de $F_{i}$ et une base $B_{i}^{'}$ de $G_{i}$ telles que $Mat (f_{∣ F_{i}}, B_{i}) = Mat (f_{∣ G_{i}}, B_{i}^{'})$ par cyclicité de $f_{∣ F_{i}}$ et $f_{∣ G_{i}}$ . En prenant les dimensions dans $(*)$ et $(* *)$ , on en déduit : $0 = dim (P_{j} (f) (G_{j})) = \dots = dim (P_{j} (f) (G_{s})) ⟹ Q_{j} ∣ P_{j}$ Par symétrie, on a de même $P_{j} ∣ Q_{j}$ . D’où $P_{j} = Q_{j}$ : absurde.

◻