101 Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

algebra

Soit $G$ un groupe.

Actions de groupe

Soit $X \neq = \emptyset$ un ensemble.

Cas général

Définition 1. On appelle action (à gauche) de $G$ sur $X$ toute application $G \times X (g, x) \to \mapsto X g \cdot x$ satisfaisant les conditions suivantes :

$\forall g, h \in G$ , $\forall x \in X$ , $g \cdot (h \cdot x) = (g h) \cdot x$ .
$\forall x \in X$ , $e_{G} \cdot x = x$ .

Remarque 2. On peut de même définir une action à droite de $G$ sur $X$ .

Exemple 3.

Le groupe $S_{X}$ des bijections de $X$ dans $X$ opère naturellement sur $X$ par la relation $σ \cdot x = σ (x)$ pour tout $σ \in S_{x}$ et pour tout $x \in X$ .
Pour un espace vectoriel $V$ , le groupe $GL (V)$ opère sur $V$ .

On supposera par la suite que $G$ agit sur $X$ à gauche via l’action $\cdot$ .

Théorème 4. On a une correspondance bijective entre les actions de $G$ sur $X$ et les morphismes de $G$ dans $S_{X}$ . En effet, si $\cdot$ désigne une action de $G$ sur $X$ , on peut y faire correspondre le morphisme $φ : G g \to \mapsto S_{X} (x \mapsto g \cdot x)$

Définition 5. On définit pour tout $x \in X$ :

$G \cdot x = {g \cdot x ∣ g \in G} \subseteq X$ l’orbite de $x$ .
$Stab_{G} (x) = {g \in G ∣ g \cdot x = x} < G$ le stabilisateur de $x$ .

On dit que l’action de $G$ sur $X$ est :

Libre si $Stab_{G} (x) = {e_{G}}$ pour tout $x \in X$ .
Transitive si $G$ n’admet qu’une seule orbite.

Exemple 6. L’action du groupe diédral $D_{3}$ sur les sommets d’un triangle équilatéral est transitive mais n’est pas libre.

Proposition 7. La relation $\sim$ définie sur $X$ par $x \sim y ⟺ x \in G \cdot y$ est une relation d’équivalence dont les classes d’équivalence sont les orbites des éléments de $X$ sous l’action de $G$ .

[PER]
p. 57

Application 8. Toute permutation $σ \in S_{n}$ s’écrit comme produit $σ = γ_{1} \dots γ_{m}$ de cycles $γ_{i}$ de longueur $\geq 2$ dont les supports sont deux-à-deux disjoints. Cette décomposition est unique à l’ordre près.

[ULM21]
p. 33

Définition 9. Une action $φ : G \to S_{X}$ une action de $G$ sur $X$ est dite fidèle si $Ker (φ) = {e_{G}}$ .

Proposition 10. Soit $φ : G \to S_{X}$ une action de $G$ sur $X$ . Alors, $Ker (φ) = x \in X ⋂ Stab_{G} (x)$

Corollaire 11. Une action libre est fidèle.

p. 71

Proposition 12. Soit $x \in X$ . L’application $f : G / Stab_{G} (x) g Stab_{G} (x) \to \mapsto G \cdot x g \cdot x$ est une bijection.

Remarque 13. Attention cependant, $G / Stab_{G} (x)$ n’est pas un groupe en général.

Cas fini

On suppose ici que $G$ et $X$ sont finis.

Proposition 14. Soit $x \in X$ . Alors :

$∣ G \cdot x ∣ = (G : Stab_{G} (x))$ .
$∣ G ∣ = ∣ Stab_{G} (x) ∣∣ G \cdot x ∣$ .
$∣ G \cdot x ∣ = \frac{∣ G ∣}{∣ Stab _{G} ( x ) ∣}$

Théorème 15 (Formule des classes). Soit $Ω$ un système de représentants associé à la relation $\sim$ de la Proposition 7. Alors, $∣ X ∣ = ω \in Ω \sum ∣ G \cdot ω ∣ = ω \in Ω \sum (G : Stab_{G} (ω)) = ω \in Ω \sum \frac{∣ G ∣}{∣ Stab _{G} ( ω ) ∣}$

Définition 16. On définit :

$X^{G} = {x \in X ∣ \forall g \in G, g \cdot x = x}$ l’ensemble des points de $X$ laissés fixes par tous les éléments de $G$ .
$X^{g} = {x \in X ∣ g \cdot x = x}$ l’ensemble des points de $X$ laissés fixes par $g \in G$ .

Corollaire 17 (Formule de Burnside). Le nombre $r$ d’orbites de $X$ sous l’action de $G$ est donné par $r = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ X^{g} ∣$

Corollaire 18. Soit $p$ un nombre premier. Si $G$ est un $p$ -groupe (ie. l’ordre de $G$ est une puissance de $p$ ), alors, $∣ X^{G} ∣ \equiv ∣ X ∣ mod p$

Corollaire 19. Soit $p$ un nombre premier. Le centre d’un $p$ -groupe non trivial est non trivial.

Corollaire 20. Soit $p$ un nombre premier. Un groupe d’ordre $p^{2}$ est toujours abélien.

Application 21 (Théorème de Cauchy). On suppose $G$ non trivial et fini. Soit $p$ un premier divisant l’ordre de $G$ . Alors il existe un élément d’ordre $p$ dans $G$ .

[GOU21]
p. 44

theoreme-de-sylow

Application 22 (Premier théorème de Sylow). On suppose $G$ fini d’ordre $n p^{α}$ avec $n, α \in N$ et $p$ premier tel que $p ∤ n$ . Alors, il existe un sous-groupe de $G$ d’ordre $p^{α}$ .

Action d’un groupe sur un groupe

Action par translation

[ULM21]
p. 34

Proposition 23. $G$ agit sur lui-même par translation (à gauche) via l’action $(g, h) \mapsto g \cdot h = g h$ De plus, cette action est fidèle et transitive.

Application 24 (Théorème de Cayley). Tout groupe fini d’ordre $n$ est isomorphe à un sous-groupe de $S_{n}$ .

Proposition 25. Soit $H < G$ . Alors $G$ agit sur $G / H$ via l’action $(g, h H) \mapsto g \cdot h H = (g h) H$ De plus, cette action est transitive.

Proposition 26. Soit $H < G$ . Soit $φ : G \to S_{G / H}$ le morphisme de l’action par translation de $G$ sur $G / H$ . Alors, $Ker (φ) = g \in G ⋂ g H g^{- 1}$

[PER]
p. 17

Application 27. On suppose que $G$ est de cardinal infini et que $G$ possède un sous-groupe d’indice fini distinct de $G$ . Alors $G$ n’est pas simple.

Action par conjugaison

[ULM21]
p. 36

Proposition 28. $G$ agit sur lui-même par conjugaison via l’action $(g, h) \mapsto g \cdot h = g h g^{- 1}$

Définition 29.

L’orbite de $g \in G$ sous l’action par conjugaison de $G$ sur lui-même s’appelle la classe de conjugaison de $g$ .
Le stabilisateur de $g \in G$ sous l’action par conjugaison de $G$ sur lui-même s’appelle le centralisateur de $g$ .
Deux éléments de $G$ qui appartiennent à la même classe de conjugaison sont dits conjugués.

[PER]
p. 15

Exemple 30.

Si $σ = (a_{1} \dots a_{p}) \in S_{n}$ est un $p$ -cycle, et si $τ \in S_{n}$ , alors $τ σ τ^{- 1} = (τ (a_{1}) \dots τ (a_{p}))$
Par conséquent, dans $S_{n}$ , les $p$ -cycles sont conjugués.
Pour $n \geq 5$ , les $3$ -cycles sont conjugués dans $A_{n}$ .

[ULM21]
p. 36

Proposition 31. Soit $g \in G$ . Alors $g$ appartient au centre de $G$ (noté $Z (G)$ ) si et seulement si sa classe de conjugaison est réduite à un seul élément.

Corollaire 32. $Z (G)$ est l’union des classes de conjugaison de taille $1$ .

[GOU21]
p. 24

Proposition 33. Soit $Ω$ un système de représentants associé à la relation $\sim$ de la Proposition 7 pour l’action par conjugaison. On note $Ω^{'} = Z (G) ∖ Ω$ . Alors, $∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + ω \in Ω^{'} \sum \frac{∣ G ∣}{∣ Stab _{G} ( ω ) ∣}$

p. 100

theoreme-de-wedderburn

Application 34 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

[ULM21]
p. 38

Proposition 35. $G$ agit sur ses sous-groupes par conjugaison via l’action $(g, H) \mapsto g \cdot H = g H g^{- 1}$

Proposition 36. Soit $H < G$ . Alors $H$ est distingué dans $G$ si et seulement si $H$ est un point fixe pour l’action de la Proposition 35.

Action d’un groupe sur un espace vectoriel

Action par conjugaison sur les espaces de matrices

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$ .

[ROM21]
p. 199

Proposition 37. L’application $GL_{n} (K) \times M_{n} (K) (P, A) \to \mapsto M_{n} (K) P A P^{- 1}$ définit une action de $GL_{n} (K)$ sur $M_{n} (K)$ .

Définition 38. Deux matrices qui sont dans la même orbite pour cette action sont dites semblables.

[GOU21]
p. 127

Remarque 39. Deux matrices semblables représentes la même application linéaire dans deux bases de $K^{n}$ .

C’est cette remarque qui justifie que l’on va étudier l’action par conjugaison de $GL_{n} (K)$ sur $M_{n} (K)$ .

[ROM21]
p. 199

Théorème 40. Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables. Alors :

$trace (A) = trace (B)$ .
$det (A) = det (B)$ .
$rang (A) = rang (B)$ .
$χ_{A} = χ_{B}$ .
$π_{A} = π_{B}$ .

[D-L]
p. 137

Contre-exemple 41. Les matrices $(0000)$ et $(0010)$ ont la même trace, le même déterminant, le même polynôme caractéristique, mais ne sont pas semblables.

[GOU21]
p. 167

Théorème 42. Soient $L$ une extension de $K$ et $A, B \in M_{n} (K)$ . On suppose $K$ infini et $A, B$ semblables sur $L$ . Alors $A$ et $B$ sont semblables sur $K$ .

p. 397

Notation 43. Soient $f \in L (E)$ et $x \in E$ . On note $P_{f, x}$ le polynôme unitaire engendrant l’idéal ${P \in K [X] ∣ P (f) (x) = 0}$ et $E_{f, x} = {P (f) (x) ∣ P \in K [X]}$ .

Lemme 44. Soit $f \in L (E)$ .

Si $k = de g (π_{f})$ , alors $K [f]$ est un sous-espace vectoriel de $L (E)$ de dimension $k$ , dont une base est $(f^{i})_{i \in [[0, k - 1]]}$ .
Soit $x \in E$ . Si $l = de g (P_{f, x})$ , alors $E_{x}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $l$ , dont une base est $(f^{i} (x))_{i \in [[0, l - 1]]}$ .

Lemme 45. Soit $f \in L (E)$ . Il existe $x \in E$ tel que $P_{f, x} = π_{f}$ .

Théorème 46 (Frobenius). Soit $f \in L (E)$ . Il existe des sous-espaces vectoriels $F_{1}, \dots, F_{r}$ de $E$ tous stables par $f$ tels que :

$E = ⨁_{i = 1}^{r} F_{i}$ .
$\forall i \in [[1, r]]$ , la restriction $f_{i} = f_{∣ F_{i}}$ est un endomorphisme cyclique de $F_{i}$ .
Si $P_{i} = π_{f_{i}}$ est le polynôme minimal de $f_{i}$ , on a $P_{i + 1} ∣ P_{i}$ $\forall i \in [[1, r - 1]]$ .

La suite $(P_{i})_{i \in [[1, r]]}$ ne dépend que de $f$ et non du choix de la décomposition (elle est donc unique). On l’appelle suite des invariants de $f$ .

Corollaire 47. Deux endomorphismes sont semblables si et seulement s’ils ont les mêmes invariants de similitude.

Représentations linéaires et caractères

[ULM21]
p. 144

Dans cette partie, on suppose que $G$ est d’ordre fini.

Définition 48.

Une représentation linéaire $ρ$ est un morphisme de $G$ dans $GL (V)$ où $V$ désigne un espace-vectoriel de dimension finie $n$ sur $C$ .
On dit que $n$ est le degré de $ρ$ .
On dit que $ρ$ est irréductible si $V \neq = {0}$ et si aucun sous-espace vectoriel de $V$ n’est stable par $ρ (g)$ pour tout $g \in G$ , hormis ${0}$ et $V$ .

Exemple 49. Soit $φ : G \to S_{n}$ le morphisme structurel d’une action de $G$ sur un ensemble de cardinal $n$ . On obtient une représentation de $G$ sur $C^{n} = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ en posant $ρ (g) (e_{i}) = e_{φ (g) (i)}$ c’est la représentation par permutations de $G$ associé à l’action. Elle est de degré $n$ .

Définition 50. La représentation par permutations de $G$ associée à l’action par translation à gauche de $G$ sur lui-même est la représentation régulière de $G$ , on la note $ρ_{G}$ .

p. 150

Définition 51. On peut associer à toute représentation linéaire $ρ$ , son caractère $χ = trace \circ ρ$ . On dit que $χ$ est irréductible si $ρ$ est irréductible.

Proposition 52.

Les caractères sont des fonctions constantes sur les classes de conjugaison.
Il y a autant de caractères irréductibles que de classes de conjugaisons.

Définition 53. Soit $ρ : G \to GL (V)$ une représentation linéaire de $G$ . On suppose $V = W \oplus W_{0}$ avec $W$ et $W_{0}$ stables par $ρ (g)$ pour tout $g \in G$ . On dit alors que $ρ$ est somme directe de $ρ_{W}$ et de $ρ_{W_{0}}$ .

Théorème 54 (Maschke). Toute représentation linéaire de $G$ est somme directe de représentations irréductibles.

[PEY]
p. 231

Théorème 55. Les sous-groupes distingués de $G$ sont exactement les $i \in I ⋂ Ker (ρ_{i}) o \overset{u}{ˋ} I \in P ([[1, r]])$

Corollaire 56. $G$ est simple si et seulement si $\forall i \neq = 1$ , $\forall g \neq = e_{G}$ , $χ_{i} (g) \neq = χ_{i} (e_{G})$ .