101 Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

algebra

Soit un groupe.

Actions de groupe

Soit un ensemble.

Cas général

Définition 1. On appelle action (à gauche) de sur toute application satisfaisant les conditions suivantes :

  1. , , .

  2. , .

Remarque 2. On peut de même définir une action à droite de sur .

Exemple 3.

  • Le groupe des bijections de dans opère naturellement sur par la relation pour tout et pour tout .

  • Pour un espace vectoriel , le groupe opère sur .

On supposera par la suite que agit sur à gauche via l’action .

Théorème 4. On a une correspondance bijective entre les actions de sur et les morphismes de dans . En effet, si désigne une action de sur , on peut y faire correspondre le morphisme

Définition 5. On définit pour tout :

  • l’orbite de .

  • le stabilisateur de .

On dit que l’action de sur est :

  • Libre si pour tout .

  • Transitive si n’admet qu’une seule orbite.

Exemple 6. L’action du groupe diédral sur les sommets d’un triangle équilatéral est transitive mais n’est pas libre.

Proposition 7. La relation définie sur par est une relation d’équivalence dont les classes d’équivalence sont les orbites des éléments de sous l’action de .

Application 8. Toute permutation s’écrit comme produit de cycles de longueur dont les supports sont deux-à-deux disjoints. Cette décomposition est unique à l’ordre près.

Définition 9. Une action une action de sur est dite fidèle si .

Proposition 10. Soit une action de sur . Alors,

Corollaire 11. Une action libre est fidèle.

Proposition 12. Soit . L’application est une bijection.

Remarque 13. Attention cependant, n’est pas un groupe en général.

Cas fini

On suppose ici que et sont finis.

Proposition 14. Soit . Alors :

  • .

  • .

Théorème 15 (Formule des classes). Soit un système de représentants associé à la relation de la Proposition 7. Alors,

Définition 16. On définit :

  • l’ensemble des points de laissés fixes par tous les éléments de .

  • l’ensemble des points de laissés fixes par .

Théorème 17 (Formule de Burnside). Le nombre d’orbites de sous l’action de est donné par

Corollaire 18. Soit un nombre premier. Si est un -groupe (ie. l’ordre de est une puissance de ), alors,

Corollaire 19. Soit un nombre premier. Le centre d’un -groupe non trivial est non trivial.

Corollaire 20. Soit un nombre premier. Un groupe d’ordre est toujours abélien.

Application 21 (Théorème de Cauchy). On suppose non trivial et fini. Soit un premier divisant l’ordre de . Alors il existe un élément d’ordre dans .

Action d’un groupe sur un groupe

Action par translation

Proposition 22. agit sur lui-même par translation (à gauche) via l’action De plus, cette action est fidèle et transitive.

Application 23 (Théorème de Cayley). Tout groupe fini d’ordre est isomorphe à un sous-groupe de .

Proposition 24. Soit . Alors agit sur via l’action De plus, cette action est transitive.

Proposition 25. Soit . Soit le morphisme de l’action par translation de sur . Alors,

Application 26. On suppose que est de cardinal infini et que possède un sous-groupe d’indice fini distinct de . Alors n’est pas simple.

Action par conjugaison

Proposition 27. agit sur lui-même par conjugaison via l’action

Définition 28.

  • L’orbite de sous l’action par conjugaison de sur lui-même s’appelle la classe de conjugaison de .

  • Le stabilisateur de sous l’action par conjugaison de sur lui-même s’appelle le centralisateur de .

  • Deux éléments de qui appartiennent à la même classe de conjugaison sont dits conjugués.

Exemple 29.

  • Si est un -cycle, et si , alors

  • Par conséquent, dans , les -cycles sont conjugués.

  • Pour , les -cycles sont conjugués dans .

Proposition 30. Soit . Alors appartient au centre de (noté ) si et seulement si sa classe de conjugaison est réduite à un seul élément.

Corollaire 31. est l’union des classes de conjugaison de taille .

Proposition 32. Soit un système de représentants associé à la relation de la Proposition 7 pour l’action par conjugaison. On note . Alors,

Application 33 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

Proposition 34. agit sur ses sous-groupes par conjugaison via l’action

Proposition 35. Soit . Alors est distingué dans si et seulement si est un point fixe pour l’action de la Proposition 34.

Action d’un groupe sur un espace vectoriel

Action par conjugaison sur les espaces de matrices

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps .

Proposition 36. L’application définit une action de sur .

Définition 37. Deux matrices qui sont dans la même orbite pour cette action sont dites semblables.

Remarque 38. Deux matrices semblables représentes la même application linéaire dans deux bases de .

C’est cette remarque qui justifie que l’on va étudier l’action par conjugaison de sur .

Théorème 39. Soient et deux matrices semblables. Alors :

  • .

  • .

  • .

  • .

  • .

Contre-exemple 40. Les matrices et ont la même trace, le même déterminant, le même polynôme caractéristique, mais ne sont pas semblables.

Théorème 41. Soient une extension de et . On suppose infini et semblables sur . Alors et sont semblables sur .

Notation 42. Soient et . On note le polynôme unitaire engendrant l’idéal et .

Lemme 43. Soit .

  1. Si , alors est un sous-espace vectoriel de de dimension , dont une base est .

  2. Soit . Si , alors est un sous-espace vectoriel de de dimension , dont une base est .

Lemme 44. Soit . Il existe tel que .

Théorème 45 (Frobenius). Soit . Il existe des sous-espaces vectoriels de tous stables par tels que :

  1. .

  2. , la restriction est un endomorphisme cyclique de .

  3. Si est le polynôme minimal de , on a .

La suite ne dépend que de et non du choix de la décomposition (elle est donc unique). On l’appelle suite des invariants de .

Corollaire 46. Deux endomorphismes sont semblables si et seulement s’ils ont les mêmes invariants de similitude.

Représentations linéaires et caractères

Dans cette partie, on suppose que est d’ordre fini.

Définition 47.

  • Une représentation linéaire est un morphisme de dans désigne un espace-vectoriel de dimension finie sur .

  • On dit que est le degré de .

  • On dit que est irréductible si et si aucun sous-espace vectoriel de n’est stable par pour tout , hormis et .

Exemple 48. Soit le morphisme structurel d’une action de sur un ensemble de cardinal . On obtient une représentation de sur en posant c’est la représentation par permutations de associé à l’action. Elle est de degré .

Définition 49. La représentation par permutations de associée à l’action par translation à gauche de sur lui-même est la représentation régulière de , on la note .

Définition 50. On peut associer à toute représentation linéaire , son caractère . On dit que est irréductible si est irréductible.

Proposition 51.

  1. Les caractères sont des fonctions constantes sur les classes de conjugaison.

  2. Il y a autant de caractères irréductibles que de classes de conjugaisons.

Définition 52. Soit une représentation linéaire de . On suppose avec et stables par pour tout . On dit alors que est somme directe de et de .

Théorème 53 (Maschke). Toute représentation linéaire de est somme directe de représentations irréductibles.

Théorème 54. Les sous-groupes distingués de sont exactement les

Corollaire 55. est simple si et seulement si , , .