102 Groupe des nombres complexes de module $1$ . Racines de l’unité. Applications.

Groupe des nombres complexes de module $1$ . Racines de l’unité. Applications.

algebra

Nombres complexes de module $1$

Le groupe $U$

Définition 1. On définit $U = {z \in C ∣ ∣ z ∣ = 1}$ le groupe abélien des nombres complexes de module $1$ .

Proposition 2. L’application $exp (i θ) \mapsto (cos (θ) - sin (θ) sin (θ) cos (θ))$ (où $exp$ est définie dans la sous-section suivante) définit un isomorphisme de $U$ dans $SO_{2} (R)$ .

[FGN3]
p. 51

Proposition 3. Un sous-groupe additif de $R$ est soit dense dans $R$ , soit de la forme $n Z$ .

Corollaire 4. Un sous-groupe de $U$ est soit fini, soit dense dans $U$ .

Corollaire 5. Soit $θ \in / 2 π Q$ . ${e^{in θ} ∣ n \in N}$ est dense dans $U$ .

Application 6. ${sin (n) ∣ n \in N}$ est dense dans $[- 1, 1]$ .

[GOU20]
p. 44

Proposition 7. $U$ est un sous-groupe compact et connexe de $C^{*}$ .

Application 8. Soit $f : U \to R$ continue. Alors il existe deux points diamétralement opposés de $U$ qui ont la même image par $f$ .

L’exponentielle complexe

[QUE]
p. 4

Définition 9. On définit la fonction exponentielle complexe pour tout $z \in C$ par $n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !}$ on note cette somme $e^{z}$ ou parfois $exp (z)$ .

Remarque 10. Cette somme est bien définie pour tout $z \in C$ d’après le critère de d’Alembert.

Proposition 11.

$\forall z, z^{'} \in C, e^{z + z^{'}} = e^{z} e^{z^{'}}$ .
$exp$ est holomorphe sur $C$ , de dérivée elle-même.
$exp$ ne s’annule jamais.

Proposition 12. La fonction $φ : t \mapsto e^{i t}$ est un morphisme surjectif de $R$ sur $U$ .

Proposition 13. En reprenant les notations précédentes, $Ker (φ)$ est un sous-groupe fermé de $R$ , de la forme $Ker (φ) = a Z$ . On note $a = 2 π$ .

Trigonométrie

Définition 14. Les fonctions $sin$ et $cos$ sont définies sur $R$ par

$cos (t) = Re (e^{i t}) = \frac{e ^{i t} + e ^{- i t}}{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{t ^{2 n}}{( 2 n )!}$ .
$sin (t) = Im (e^{i t}) = \frac{e ^{i t} - e ^{- i t}}{2 i} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{t ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$ .

Proposition 15. Ces fonctions sont réelles, $2 π$ -périodiques, et admettent un développement en série entière de rayon de convergence infini. On peut en particulier les prolonger sur le plan complexe entier.

[R-R]
p. 259

Proposition 16. Tout nombre complexe $z \in C$ peut s’écrire de la manière suivante : $z = ∣ z ∣ e^{i θ} = cos (θ) + i sin (θ)$

Proposition 17 (Formule de Moivre). $\forall n \in N, \forall θ \in R, (cos (θ) + i sin (θ))^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$

[GOU20]
p. 271

Application 18 (Calcul du noyau de Dirichlet). $\forall n \in N^{*}, \forall x \in R ∖ 2 π Z, k = - n \sum n \frac{sin ( \frac{( 2 n + 1 ) x}{2} )}{sin ( \frac{x}{2} )}$

Le groupe des racines de l’unité

Soit $n \in N^{*}$ .

Racines $n$ -ièmes de l’unité

[R-R]
p. 259

Définition 19. Étant donnés $α \in C$ , on appelle :

Racine $n$ -ième de $α$ tout nombre $z \in C$ tel que $z^{n} = α$ .
Racine $n$ -ième de l’unité toute racine $n$ -ième de $1$ . On note $μ_{n}$ cet ensemble.

Exemple 20. Les racines cubiques de l’unité sont $1$ , $j = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}$ et $\overline{j}$ .

Proposition 21. Pour tout $n \in N^{*}$ , il y a $n$ racines $n$ -ièmes de l’unité, données par $e^{\frac{2 ikπ}{n}} = cos (\frac{2 ikπ}{n}) + i sin (\frac{2 ikπ}{n})$ où $k$ parcourt les entiers de $0$ à $n - 1$ .

Corollaire 22. Pour tout $n \in N^{*}$ , $X^{n} - 1 = k = 0 \prod n - 1 (X - e^{\frac{2 ikπ}{n}})$

Corollaire 23. Tout nombre complexe non nul $α$ écrit $α = r e^{i θ}$ admet exactement $n$ racines $n$ -ièmes données par $n r e^{i \frac{θ}{n}} e^{\frac{2 ikπ}{n}}$ où $k$ parcourt les entiers de $0$ à $n - 1$ .

[GOZ]
p. 67

Proposition 24. $μ_{n}$ est un groupe, et l’application $Z / n Z k \to \mapsto μ_{n} e^{\frac{2 ikπ}{n}}$ est un isomorphisme.

[ROM21]
p. 36

Proposition 25. $C^{*}$ admet exactement un sous-groupe d’ordre $n$ : $μ_{n}$ .

Générateurs et polynômes cyclotomiques

[GOZ]
p. 67

Définition 26. L’ensemble des générateurs de $μ_{n}$ , noté $μ_{n}^{*}$ , est formé des racines primitives $n$ -ièmes de l’unité.

Proposition 27.

$μ_{n}^{*} = {e^{\frac{2 ikπ}{n}} ∣ k \in [[0, n - 1]], pgcd (k, m) = 1}$ .
$∣ μ_{n}^{*} ∣ = φ (n)$ , où $φ$ désigne l’indicatrice d’Euler.

Définition 28. On appelle $n$ -ième polynôme cyclotomique le polynôme $Φ_{n} = ξ \in μ_{n}^{*} \prod (X - ξ)$

Théorème 29.

$X^{n} - 1 = \prod_{d ∣ n} Φ_{d}$ .
$Φ_{n} \in Z [X]$ .
$Φ_{n}$ est irréductible sur $Q$ .

Corollaire 30. Le polynôme minimal sur $Q$ de tout élément $ξ$ de $μ_{n}^{*}$ est $Φ_{n}$ . En particulier, $[Q (ξ) : Q] = φ (m)$

Application 31 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

[GOU21]
p. 99

theoreme-de-dirichlet-faible

Application 32 (Dirichlet faible). Pour tout entier $n$ , il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $n$ .

Applications en algèbre

Une application géométrique

p. 153

Proposition 33 (Déterminant circulant). Soient $n \in N^{*}$ et $a_{1}, \dots, a_{n} \in C$ . On pose $ω = e^{\frac{2 iπ}{n}}$ . Alors $a_{0} a_{n - 1} ⋮ a_{1} a_{1} a_{0} ⋮ a_{2} \dots \dots ⋱ \dots a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{0} = j = 0 \prod n - 1 P (ω^{j})$ où $P = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} X^{k}$ .

[I-P]
p. 389

Application 34 (Suite de polygones). Soit $P_{0}$ un polygone dont les sommets sont ${z_{0, 1}, \dots, z_{0, n}}$ . On définit la suite de polygones $(P_{k})$ par récurrence en disant que, pour tout $k \in N^{*}$ , les sommets de $P_{k + 1}$ sont les milieux des arêtes de $P_{k}$ .

Alors la suite $(P_{k})$ converge vers l’isobarycentre de $P_{0}$ .

Racines de polynômes

p. 279

theoreme-de-kronecker

Théorème 35 (Kronecker). Soit $P \in Z [X]$ unitaire tel que toutes ses racines complexes appartiennent au disque unité épointé en l’origine (que l’on note $D$ ). Alors toutes ses racines sont des racines de l’unité.

Corollaire 36. Soit $P \in Z [X]$ unitaire et irréductible sur $Q$ tel que toutes ses racines complexes soient de module inférieur ou égal à $1$ . Alors $P = X$ ou $P$ est un polynôme cyclotomique.

Dual d’un groupe

Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$ .

[PEY]
p. 2

Définition 37. Un caractère est un morphisme de $G$ dans $C^{*}$ . On note $G$ l’ensemble des caractères, qu’on appelle dual de $G$ .

Proposition 38. $G$ est un groupe pour la multiplication.

Proposition 39.

$G$ est constitué des morphismes de $G$ dans $μ_{n}$ .
$\forall g \in G$ , $∣ χ (g) ∣ = 1$ .
$\forall g \in G$ , $χ (g^{- 1}) = χ (g)^{- 1} = \overline{χ (g)}$ .

Proposition 40. Si $G = ⟨ g_{0} ⟩$ , en notant $ω$ une racine primitive $n$ -ième de l’unité, les éléments de $G$ sont de la forme $g_{0}^{k} \mapsto (ω^{j})^{k}$ pour $j \in [[0, n - 1]]$ .

Corollaire 41. Si $G$ est cyclique, $G ≅ G$ .

Transformée de Fourier discrète

p. 64

Soit $N \in N^{*}$ .

Notation 42. Soit $f$ un vecteur de $C^{N}$ . On note $f [k]$ sa $k$ -ième composante pour tout $k \in [[1, N]]$ .

Définition 43. Soit $f$ un vecteur de $C^{N}$ . La transformée de Fourier discrète de $f$ est $f = n = 0 \sum N - 1 f [n] ω_{N}^{- nk}$ pour $k \in [[0, N - 1]]$ où l’on a noté $ω_{N} = e^{\frac{2 iπ}{N}}$ une racine primitive $N$ -ième de l’unité. On note $F : C^{N} f \to \mapsto C^{N} f$

Proposition 44 (Transformée de Fourier inverse). $\forall n \in [[0, N - 1]], f [n] = \frac{1}{N} k = 0 \sum N - 1 f [k] ω_{N}^{nk}$

Corollaire 45. Soit $f$ un vecteur de $C^{N}$ . En notant $f_{1}$ le vecteur défini par $f_{1} [0] = \frac{1}{N} f [0] et \forall n \in [[1, \dots, N - 1]], f_{1} [n] = \frac{1}{N} f [N - n]$ on a $F^{- 1} (f) = F (f_{1})$