102 Groupe des nombres complexes de module . Racines de l’unité. Applications.

Groupe des nombres complexes de module . Racines de l’unité. Applications.

algebra

Nombres complexes de module

Le groupe

Définition 1. On définit le groupe abélien des nombres complexes de module .

Proposition 2. L’application (où est définie dans la sous-section suivante) définit un isomorphisme de dans .

Proposition 3. Un sous-groupe additif de est soit dense dans , soit de la forme .

Corollaire 4. Un sous-groupe de est soit fini, soit dense dans .

Corollaire 5. Soit . est dense dans .

Application 6. est dense dans .

Proposition 7. est un sous-groupe compact et connexe de .

Application 8. Soit continue. Alors il existe deux points diamétralement opposés de qui ont la même image par .

L’exponentielle complexe

Définition 9. On définit la fonction exponentielle complexe pour tout par on note cette somme ou parfois .

Remarque 10. Cette somme est bien définie pour tout d’après le critère de d’Alembert.

Proposition 11.

  1. .

  2. est holomorphe sur , de dérivée elle-même.

  3. ne s’annule jamais.

Proposition 12. La fonction est un morphisme surjectif de sur .

Proposition 13. En reprenant les notations précédentes, est un sous-groupe fermé de , de la forme . On note .

Trigonométrie

Définition 14. Les fonctions et sont définies sur par

  • .

  • .

Proposition 15. Ces fonctions sont réelles, -périodiques, et admettent un développement en série entière de rayon de convergence infini. On peut en particulier les prolonger sur le plan complexe entier.

Proposition 16. Tout nombre complexe peut s’écrire de la manière suivante :

Proposition 17 (Formule de Moivre).

Application 18 (Calcul du noyau de Dirichlet).

Le groupe des racines de l’unité

Soit .

Racines -ièmes de l’unité

Définition 19. Étant donnés , on appelle :

  • Racine -ième de tout nombre tel que .

  • Racine -ième de l’unité toute racine -ième de . On note cet ensemble.

Exemple 20. Les racines cubiques de l’unité sont , et .

Proposition 21. Pour tout , il y a racines -ièmes de l’unité, données par parcourt les entiers de à .

Corollaire 22. Pour tout ,

Corollaire 23. Tout nombre complexe non nul écrit admet exactement racines -ièmes données par parcourt les entiers de à .

Proposition 24. est un groupe, et l’application est un isomorphisme.

Proposition 25. admet exactement un sous-groupe d’ordre : .

Générateurs et polynômes cyclotomiques

Définition 26. L’ensemble des générateurs de , noté , est formé des racines primitives -ièmes de l’unité.

Proposition 27.

  1. .

  2. , où désigne l’indicatrice d’Euler.

Définition 28. On appelle -ième polynôme cyclotomique le polynôme

Théorème 29.

  1. .

  2. .

  3. est irréductible sur .

Corollaire 30. Le polynôme minimal sur de tout élément de est . En particulier,

Application 31 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

Application 32 (Dirichlet faible). Pour tout entier , il existe une infinité de nombres premiers congrus à modulo .

Applications en algèbre

Une application géométrique

Proposition 33 (Déterminant circulant). Soient et . On pose . Alors .

Application 34 (Suite de polygones). Soit un polygone dont les sommets sont . On définit la suite de polygones par récurrence en disant que, pour tout , les sommets de sont les milieux des arêtes de .

Alors la suite converge vers l’isobarycentre de .

Racines de polynômes

Théorème 35 (Kronecker). Soit unitaire tel que toutes ses racines complexes appartiennent au disque unité épointé en l’origine (que l’on note ). Alors toutes ses racines sont des racines de l’unité.

Corollaire 36. Soit unitaire et irréductible sur tel que toutes ses racines complexes soient de module inférieur ou égal à . Alors ou est un polynôme cyclotomique.

Dual d’un groupe

Soit un groupe fini de cardinal .

Définition 37. Un caractère est un morphisme de dans . On note l’ensemble des caractères, qu’on appelle dual de .

Proposition 38. est un groupe pour la multiplication.

Proposition 39.

  1. est constitué des morphismes de dans .

  2. , .

  3. , .

Proposition 40. Si , en notant une racine primitive -ième de l’unité, les éléments de sont de la forme pour .

Corollaire 41. Si est cyclique, .

Transformée de Fourier discrète

Soit .

Notation 42. Soit un vecteur de . On note ses coordonnées.

Définition 43. Soit un vecteur de . La transformée de Fourier discrète de est pour où l’on a noté une racine primitive -ième de l’unité. On note

Proposition 44 (Transformée de Fourier inverse).

Corollaire 45. Soit un vecteur de . En notant le vecteur défini par on a

Annexes

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La suite de polygones.