103 Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

algebra

Soit $G$ un groupe.

Conjugaison dans un groupe

Action de conjugaison

Lemme 1. On a une action de $G$ sur lui-même : $\forall g, h \in G, g \cdot h = g h g^{- 1}$

Définition 2. L’action précédente est appelée action de conjugaison. Le morphisme structurel de $G$ dans $S (G)$ est noté $Int$ : $\forall g, h \in G, Int (g) (h) = g h g^{- 1}$ L’image de $G$ par ce morphisme $Int (G)$ est le groupe des automorphismes intérieurs de $G$ .

[ULM21]
p. 20

Exemple 3. Le groupe additif d’un espace vectoriel est un groupe abélien dont le seul automorphisme intérieur est l’identité.

[GOU21]
p. 21

Proposition 4. Muni de la composition, l’ensemble des automorphismes intérieurs de $G$ est un groupe.

Orbites et stabilisateurs

[PER]
p. 15

Définition 5. On considère l’action de conjugaison de $G$ .

Ses orbites sont les classes de conjugaison de $G$ .
Le stabilisateur d’un élément est le centralisateur de celui-ci.
Deux éléments sont dits conjugués s’ils appartiennent à la même classe de conjugaison.

Exemple 6. Les cycles de même ordre sont conjugués dans $S_{n}$ .

p. 12

Définition 7. On définit le centre de $G$ noté $Z (G)$ par $Z (G) = {g \in G ∣ \forall h \in H, g h = h g}$ Autrement dit, $Z (G)$ est l’intersection des centralisateurs des éléments de $G$ .

Exemple 8. Si $G$ est abélien, alors $Z (G) = G$ .

[ULM21]
p. 36

Proposition 9. Soit $g \in G$ . Alors, $g \in Z (G)$ si et seulement si sa classe de conjugaison est réduite à un élément.

Ainsi, $Z (G)$ est l’union des classes de conjugaison de taille $1$ .

Sous-groupes distingués et groupes quotients

Classes à gauche et à droite

p. 24

Proposition 10. Soit $H < G$ . On définit la relation $\sim_{H}$ sur $G$ par $g_{1} \sim_{H} g_{2} ⟺ g_{1}^{- 1} g_{2} \in H$ . Alors :

$\sim_{H}$ est une relation d’équivalence.
La classe d’équivalence d’un élément $g \in G$ pour $\sim_{H}$ est $\overline{g} = g H = {g h ∣ h \in H}$ appelée classe à gauche de $g$ modulo $H$ .

Remarque 11. On définit de la même manière la classe à droite d’un élément $g \in G$ modulo $H$ que l’on note $H g$ .

Exemple 12. Soit $n > 2$ . On considère $D_{n} = ⟨ r, s ⟩$ le groupe diédral d’ordre $2 n$ . Alors, $r ⟨ s ⟩ = {r, rs} \neq = {r, sr} = ⟨ s ⟩ r$

Proposition 13. Soit $H < G$ . Alors, $\forall g \in G, ∣ h G ∣ = ∣ G h ∣ = ∣ H ∣$

Sous-groupes distingués

[ROM21]
p. 3

Définition 14. Soit $H < G$ . On dit que $H$ est distingué dans $G$ si, $\forall g \in G, g H = H g$ On note cela $H ⊲ G$ .

Exemple 15.

${e_{G}} ⊲ G, G ⊲ G et Z (G) ⊲ G$ .
L’intersection de deux sous-groupes distingués dans $G$ est distinguée dans $G$ .
Si $G$ est abélien, tout sous-groupe de $G$ est distingué dans $G$ .

[GOU21]
p. 20

Remarque 16. Le symbole $⊲$ n’est pas transitif.

Proposition 17. $H ⊲ G ⟺ \forall g \in G, g H g^{- 1} \subseteq H$

[ULM21]
p. 16

Proposition 18. Soient $G_{1}$ et $G_{2}$ deux groupes, et soient $H_{1}$ et $H_{2}$ deux sous-groupes respectivement de $G_{1}$ et de $G_{2}$ . Soit $φ : G_{1} \to G_{2}$ un morphisme. Alors :

Si $H_{1} ⊲ G_{1}$ , alors $φ (H_{1}) ⊲ φ (G_{1})$ .
Si $H_{2} ⊲ G_{2}$ , alors $φ^{- 1} (H_{2}) ⊲ G_{1}$ .

En particulier, $Ker (φ) ⊲ G_{1}$ .

p. 43

Proposition 19. Soient $K < H < G$ une suite de sous-groupes. Alors, $K ⊲ G ⟹ K ⊲ H$

p. 25

Proposition 20. Soit $H < G$ . Si $(G : H) = 2$ (voir sous-section suivante), alors $H ⊲ G$ .

Groupes quotients

Définition 21. Soit $H < G$ .

On appelle ensemble quotient de $G$ par la relation d’équivalence $\sim_{H}$ de la Proposition 10, et on note $G / H$ , l’ensemble des classes à gauche de $G$ modulo $H$ .
On appelle indice de $G$ dans $H$ , et on note $(G : H)$ , le cardinal de $G / H$ .

Proposition 22. Soit $H < G$ . L’ensemble des classes à droite de $G$ modulo $H$ est aussi de cardinal égal à $(G : H)$ .

p. 44

Théorème 23. Un sous-groupe $H$ de $G$ est distingué si et seulement si $*$ définit une loi de groupe sur $G / H$ par : $\forall g_{1}, g_{2} \in G, g_{1} H * g_{2} H = (g_{1} g_{2}) H$ telle que la surjection canonique $π_{H} : G g \to \mapsto G / H g H$ soit un morphisme de groupes. Dans ce cas, $π_{H}$ est un morphisme surjectif de noyau $H$ .

Définition 24. Soit $H ⊲ G$ . On appelle groupe quotient le groupe $(G / H, *)$ définit dans le théorème précédent.

Exemple 25. Soit $m \in N^{*}$ . $m Z$ est un sous-groupe du groupe abélien $Z$ . On peut définir le groupe quotient $Z / m Z$ : c’est un groupe cyclique d’ordre $m$ .

Théorèmes d’isomorphisme

[ULM21]
p. 51

Théorème 26 (Premier théorème d’isomorphisme). Soient $G_{1}$ et $G_{2}$ deux groupes et soit $φ : G_{1} \to G_{2}$ un morphisme. Alors $φ$ induit un isomorphisme $\overline{φ} : G_{1} / Ker (φ) g Ker (φ) \to \mapsto φ (G_{1}) φ (g)$

Exemple 27.

Tout groupe cyclique d’ordre $n$ est isomorphe à $Z / n Z$ .
$G / Z (G) ≅ Int (G)$ .

p. 80

Théorème 28 (Deuxième théorème d’isomorphisme). Soient $H < G$ et $K ⊲ G$ . On pose $N = H \cap K$ . Alors, $N ⊲ H et H / N ≅ HK / K$

Exemple 29. On note $V$ le sous-groupe de $S_{4}$ d’ordre $4$ isomorphe au groupe de Klein. Alors, $V / S_{4} ≅ S_{3}$

p. 51

Théorème 30 (Troisième théorème d’isomorphisme). Soient $H, K ⊲ G$ tels que $H \subset K$ . Alors, $K / H ⊲ G / H et (G / H) / (K / H) ≅ G / K$

Exemple 31. $(Z /10 Z) / (2 Z /10 Z) ≅ Z /2 Z$

Applications

Application aux $p$ -groupes

[ROM21]
p. 22

Soit $G$ un groupe fini opérant sur un ensemble fini $X$ .

Définition 32. On dit que $G$ est un $p$ -groupe s’il est d’ordre une puissance d’un nombre premier $p$ .

Théorème 33 (Formule des classes). Soit $Ω$ un système de représentants des orbites de l’action de $G$ sur $X$ . Alors, $∣ X ∣ = ω \in Ω \sum ∣ G \cdot ω ∣ = ω \in Ω \sum (G : Stab_{G} (ω)) = ω \in Ω \sum \frac{∣ G ∣}{∣ Stab _{G} ( ω ) ∣}$

Corollaire 34. Soit $p$ un nombre premier. Si $G$ est un $p$ -groupe opérant sur $X$ , alors, $∣ X^{G} ∣ \equiv ∣ X ∣ mod p$ où $X^{G}$ désigne l’ensemble des points fixes de $X$ sous l’action de $G$ .

Corollaire 35. On note $G \cdot h_{1}, \dots, G \cdot h_{r}$ les classes de conjugaison de $G$ . Alors, $∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + i = 1 ∣ G \cdot h_{i} ∣ = 2 \sum r ∣ G \cdot h_{i} ∣ = ∣ Z (G) ∣ + i = 1 ∣ G \cdot h_{i} ∣ = 2 \sum r \frac{∣ G ∣}{∣ Stab _{G} ( h _{i} ) ∣}$

Corollaire 36. Soit $p$ un nombre premier. Le centre d’un $p$ -groupe non trivial est non trivial.

Corollaire 37. Soit $p$ un nombre premier. Un groupe d’ordre $p^{2}$ est toujours abélien.

Application 38 (Théorème de Cauchy). On suppose $G$ non trivial et fini. Soit $p$ un premier divisant l’ordre de $G$ . Alors il existe un élément d’ordre $p$ dans $G$ .

[GOU21]
p. 44

theoreme-de-sylow

Application 39 (Premier théorème de Sylow). On suppose $G$ fini d’ordre $n p^{α}$ avec $n, α \in N$ et $p$ premier tel que $p ∤ n$ . Alors, il existe un sous-groupe de $G$ d’ordre $p^{α}$ .

Application au groupe symétrique

[PER]
p. 15

Lemme 40. Les $3$ -cycles sont conjugués dans $A_{n}$ pour $n \geq 5$ .

[ROM21]
p. 49

Lemme 41. Le produit de deux transpositions est un produit de $3$ -cycles.

Proposition 42. $A_{n}$ est engendré par les $3$ -cycles pour $n \geq 3$ .

[PER]
p. 28

simplicite-du-groupe-alterne

Théorème 43. $A_{n}$ est simple pour $n \geq 5$ .

Corollaire 44. Pour $n \geq 5$ , les sous-groupes distingués de $S_{n}$ sont $S_{n}$ , $A_{n}$ et ${id}$ .

[ULM21]
p. 92

Application 45. $A_{5}$ est le seul groupe simple d’ordre $60$ à isomorphisme près.

Application au groupe linéaire d’un espace vectoriel

Dans cette partie, $E$ désignera un espace vectoriel sur un corps $K$ de dimension finie $n$ .

Centre

[PER]
p. 97

Définition 46. Soit $H$ un hyperplan de $E$ et soit $u \in SL (E) ∖ {id_{E}}$ . Posons $D = Im (u - id_{E})$ . On dit que $u$ est une transvection d’hyperplan $H$ et de droite $D$ si $u_{∣ H} = id_{H}$ (et dans ce cas, $D \subset H$ ).

Proposition 47. $u \in GL (E)$ est une transvection de droite $D$ si et seulement si $u_{∣ D} = id_{D}$ et le morphisme induit $\overline{u} : E / D \to E / D$ est l’identité.

Proposition 48. Soit $τ$ une transvection de droite $D$ et d’hyperplan $H$ et soit $u \in GL (E)$ . Alors $uτ u^{- 1}$ est une transvection de droite $u (D)$ et d’hyperplan $u (H)$ .

Corollaire 49.

$Z (GL (E)) = {λ id_{E} ∣ λ \in K^{*}}$ .
$Z (SL (E)) = Z (GL (E)) \cap SL (E) ≅ μ_{n} (K)$ .

Conjugaison

Définition 50. Soit $H$ un hyperplan de $E$ et soit $u \in GL (E) ∖ SL (E)$ . Posons $D = Im (u - id_{E})$ . On dit que $u$ est une dilatation de droite $D$ et d’hyperplan $H$ si $u_{∣ H} = id_{H}$ .

Le rapport de cette dilatation est le scalaire $det (u)$ .

Proposition 51. Deux dilatations sont conjuguées dans $GL (E)$ si et seulement si elles ont le même rapport.

Proposition 52. Deux transvections sont toujours conjuguées dans $GL (E)$ . Si $n \geq 3$ , elles le sont aussi dans $SL (E)$ .

Groupe projectif

Définition 53. Le quotient de $GL (E)$ par son centre est appelé groupe projectif linéaire et est noté $PGL (E)$ . De même, le quotient de $SL (E)$ par son centre est noté $PSL (E)$ .

Remarque 54. Soit $h_{λ} : x \mapsto λ x$ , on a $det h_{λ} = λ^{n}$ , de sorte qu’on a une suite exacte : ${\overline{id_{E}}} \to PSL (E) \to PGL (E) \overline{d e t} K^{*} / K^{* n} \to {\overline{id_{E}}}$ où on a posé $K^{* n} = {λ \in K^{*} ∣ \exists μ \in K^{*}, λ = μ^{n}}$ . En particulier, si $K$ est algébriquement clos, $PSL (E) ≅ PGL (E)$ .

Théorème 55. Le groupe $PSL (E)$ est simple sauf si $n = 2$ et $K = F_{2}$ ou $F_{3}$ .

Représentations linéaires de groupes finis

[ULM21]
p. 144

Dans cette partie, on suppose que $G$ est d’ordre fini.

Définition 56.

Une représentation linéaire $ρ$ est un morphisme de $G$ dans $GL (V)$ où $V$ désigne un espace-vectoriel de dimension finie $n$ sur $C$ .
On dit que $n$ est le degré de $ρ$ .
On dit que $ρ$ est irréductible si $V \neq = {0}$ et si aucun sous-espace vectoriel de $V$ n’est stable par $ρ (g)$ pour tout $g \in G$ , hormis ${0}$ et $V$ .

Exemple 57. Soit $φ : G \to S_{n}$ le morphisme structurel d’une action de $G$ sur un ensemble de cardinal $n$ . On obtient une représentation de $G$ sur $C^{n} = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ en posant $ρ (g) (e_{i}) = e_{φ (g) (i)}$ c’est la représentation par permutations de $G$ associé à l’action. Elle est de degré $n$ .

Définition 58. La représentation par permutations de $G$ associée à l’action par translation à gauche de $G$ sur lui-même est la représentation régulière de $G$ , on la note $ρ_{G}$ .

p. 150

Définition 59. On peut associer à toute représentation linéaire $ρ$ , son caractère $χ = trace \circ ρ$ . On dit que $χ$ est irréductible si $ρ$ est irréductible.

Proposition 60.

Les caractères sont des fonctions constantes sur les classes de conjugaison.
Il y a autant de caractères irréductibles que de classes de conjugaisons.

Définition 61. Soit $ρ : G \to GL (V)$ une représentation linéaire de $G$ . On suppose $V = W \oplus W_{0}$ avec $W$ et $W_{0}$ stables par $ρ (g)$ pour tout $g \in G$ . On dit alors que $ρ$ est somme directe de $ρ_{W}$ et de $ρ_{W_{0}}$ .