103 Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

algebra

Soit un groupe.

Conjugaison dans un groupe

Action de conjugaison

Lemme 1. On a une action de sur lui-même :

Définition 2. L’action précédente est appelée action de conjugaison. Le morphisme structurel de dans est noté : L’image de par ce morphisme est le groupe des automorphismes intérieurs de .

Exemple 3. Le groupe additif d’un espace vectoriel est un groupe abélien dont le seul automorphisme intérieur est l’identité.

Proposition 4. Muni de la composition, l’ensemble des automorphismes intérieurs de est un groupe.

Orbites et stabilisateurs

Définition 5. On considère l’action de conjugaison de .

  • Ses orbites sont les classes de conjugaison de .

  • Le stabilisateur d’un élément est le centralisateur de celui-ci.

  • Deux éléments sont dits conjugués s’ils appartiennent à la même classe de conjugaison.

Exemple 6. Les cycles de même ordre sont conjugués dans .

Définition 7. On définit le centre de noté par Autrement dit, est l’intersection des centralisateurs des éléments de .

Exemple 8. Si est abélien, alors .

Proposition 9. Soit . Alors, si et seulement si sa classe de conjugaison est réduite à un élément.

est l’union des classes de conjugaison de taille .

Application aux -groupes

Définition 10. On dit que est un -groupe s’il est d’ordre une puissance d’un nombre premier .

Proposition 11. Soit un nombre premier. Si est un -groupe opérant sur un ensemble , alors, désigne l’ensemble des points fixes de sous l’action de .

Corollaire 12. On note les classes de conjugaison de . Alors,

Corollaire 13. Soit un nombre premier. Le centre d’un -groupe non trivial est non trivial.

Corollaire 14. Soit un nombre premier. Un groupe d’ordre est toujours abélien.

Application 15 (Théorème de Cauchy). On suppose non trivial et fini. Soit un premier divisant l’ordre de . Alors il existe un élément d’ordre dans .

Sous-groupes distingués et groupes quotients

Classes à gauche et à droite

Proposition 16. Soit . On définit la relation sur par . Alors :

  1. est une relation d’équivalence.

  2. La classe d’équivalence d’un élément pour est appelée classe à gauche de modulo .

Remarque 17. On définit de la même manière la classe à droite d’un élément modulo que l’on note .

Exemple 18. Soit . On considère le groupe diédral d’ordre . Alors,

Proposition 19. Soit . Alors,

Sous-groupes distingués

Définition 20. Soit . On dit que est distingué dans si, On note cela .

Exemple 21.

  • .

  • L’intersection de deux sous-groupes distingués dans est distinguée dans .

  • Si est abélien, tout sous-groupe de est distingué dans .

Remarque 22. Le symbole n’est pas transitif.

Proposition 23.

Proposition 24. Soient et deux groupes, et soient et deux sous-groupes respectivement de et de . Soit un morphisme. Alors :

  1. Si , alors .

  2. Si , alors .

En particulier, .

Proposition 25. Soient une suite de sous-groupes. Alors,

Proposition 26. Soit . Si , alors .

Groupes quotients

Définition 27. Soit .

  • On appelle ensemble quotient de par la relation d’équivalence de la Proposition 16, et on note , l’ensemble des classes à gauche de modulo .

  • On appelle indice de dans , et on note , le cardinal de .

Proposition 28. Soit . L’ensemble des classes à droite de modulo est aussi de cardinal égal à .

Théorème 29. Un sous-groupe de est distingué si et seulement si définit une loi de groupe sur par : telle que la surjection canonique soit un morphisme de groupes. Dans ce cas, est un morphisme surjectif de noyau .

Définition 30. Soit . On appelle groupe quotient le groupe définit dans le théorème précédent.

Exemple 31. Soit . est un sous-groupe du groupe abélien . On peut définir le groupe quotient : c’est un groupe cyclique d’ordre .

Théorèmes d’isomorphisme

Théorème 32 (Premier théorème d’isomorphisme). Soient et deux groupes et soit un morphisme. Alors induit un isomorphisme

Exemple 33.

  • Tout groupe cyclique d’ordre est isomorphe à .

  • .

Théorème 34 (Deuxième théorème d’isomorphisme). Soient et . On pose . Alors,

Exemple 35. On note le sous-groupe de d’ordre isomorphe au groupe de Klein. Alors,

Théorème 36 (Troisième théorème d’isomorphisme). Soient tels que . Alors,

Exemple 37.

Applications

Application au groupe symétrique

Lemme 38. Les -cycles sont conjugués dans pour .

Lemme 39. Le produit de deux transpositions est un produit de -cycles.

Proposition 40. est engendré par les -cycles pour .

Théorème 41. est simple pour .

Corollaire 42. Pour , les sous-groupes distingués de sont , et .

Application 43. est le seul groupe simple d’ordre à isomorphisme près.

Application au groupe linéaire d’un espace vectoriel

Dans cette partie, désignera un espace vectoriel sur un corps de dimension finie .

Centre

Définition 44. Soit un hyperplan de et soit . Posons . On dit que est une transvection d’hyperplan et de droite si (et dans ce cas, ).

Proposition 45. est une transvection de droite si et seulement si et le morphisme induit est l’identité.

Proposition 46. Soit une transvection de droite et d’hyperplan et soit . Alors est une transvection de droite et d’hyperplan .

Corollaire 47.

  1. .

  2. .

Conjugaison

Définition 48. Soit un hyperplan de et soit . Posons . On dit que est une dilatation de droite et d’hyperplan si .

Le rapport de cette dilatation est le scalaire .

Proposition 49. Deux dilatations sont conjuguées dans si et seulement si elles ont le même rapport.

Proposition 50. Deux transvections sont toujours conjuguées dans . Si , elles le sont aussi dans .

Groupe projectif

Définition 51. Le quotient de par son centre est appelé groupe projectif linéaire et est noté . De même, le quotient de par son centre est noté .

Remarque 52. Soit , on a , de sorte qu’on a une suite exacte : où on a posé . En particulier, si est algébriquement clos, .

Théorème 53. Le groupe est simple sauf si et ou .

Représentations linéaires de groupes finis

Dans cette partie, on suppose que est d’ordre fini.

Définition 54.

  • Une représentation linéaire est un morphisme de dans désigne un espace-vectoriel de dimension finie sur .

  • On dit que est le degré de .

  • On dit que est irréductible si et si aucun sous-espace vectoriel de n’est stable par pour tout , hormis et .

Exemple 55. Soit le morphisme structurel d’une action de sur un ensemble de cardinal . On obtient une représentation de sur en posant c’est la représentation par permutations de associé à l’action. Elle est de degré .

Définition 56. La représentation par permutations de associée à l’action par translation à gauche de sur lui-même est la représentation régulière de , on la note .

Définition 57. On peut associer à toute représentation linéaire , son caractère . On dit que est irréductible si est irréductible.

Proposition 58.

  1. Les caractères sont des fonctions constantes sur les classes de conjugaison.

  2. Il y a autant de caractères irréductibles que de classes de conjugaisons.

Définition 59. Soit une représentation linéaire de . On suppose avec et stables par pour tout . On dit alors que est somme directe de et de .

Théorème 60 (Maschke). Toute représentation linéaire de est somme directe de représentations irréductibles.

Théorème 61. Les sous-groupes distingués de sont exactement les

Corollaire 62. est simple si et seulement si , , .

Annexes

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Illustration du premier théorème d’isomorphisme par un diagramme.