104 Groupes finis. Exemples et applications.

Groupes finis. Exemples et applications.

algebra

Outils d’étude de groupes finis

Soit $G$ un groupe.

Ordre d’un groupe, ordre d’un élément

Définition 1. L’ordre du groupe $G$ , noté $∣ G ∣$ est le cardinal de l’ensemble sous-jacent $G$ . Si $G$ est fini de cardinal $n$ , on dit que $G$ est d’ordre $n$ . Sinon, on dit que $G$ est d’ordre infini.

Exemple 2. Les multiplicatifs des corps $Q$ , $R$ et $C$ sont d’ordre infini.

p. 6

Définition 3. On appelle ordre d’un élément $g \in G$ , l’ordre du sous-groupe $⟨ g ⟩$ qu’il engendre.

Exemple 4. L’élément $i$ est d’ordre $4$ dans $C^{*}$ .

Proposition 5. Soit $g \in G$ d’ordre $n$ . Alors,

$n$ est le plus petit entier strictement positif ayant la propriété $g^{n} = e_{G}$ .
$⟨ g ⟩ = {e_{G}, g, \dots, g^{n - 1}}$ .
Pour $k \in Z$ , $g^{k} = e_{G}$ si et seulement si $n ∣ k$ .

Exemple 6. Pour $n \in Z$ , on a $⟨ n ⟩ = {nk ∣ k \in Z}$ et on note ce groupe $n Z$ .

p. 18

Théorème 7. Soit $g \in G$ . Alors,

$g$ est d’ordre infini si et seulement si $⟨ g ⟩$ est isomorphe à $(Z, +)$ . Dans ce cas $g^{i} \neq = g^{j}$ dès que $i \neq = j$ et $⟨ g ⟩ = {\dots, g^{- 1}, e_{G}, g, \dots}$ .
$g$ est d’ordre fini si et seulement si $g, \dots, g^{n - 1}$ sont tous distincts et si $g^{n} = e_{G}$ .

p. 25

Théorème 8 (Lagrange). On suppose $G$ fini. Soit $H < G$ . Alors, $∣ H ∣ ∣ ∣ G ∣$ En particulier, l’ordre d’un élément de $G$ divise toujours l’ordre de $G$ .

Groupes cycliques

p. 6

Définition 9. On dit que $G$ est cyclique s’il est engendré par un seul élément.

p. 26

Proposition 10. Un groupe fini d’ordre premier est cyclique.

Théorème 11. On suppose $G$ fini d’ordre $n$ . Alors,

Si $G$ est abélien et s’il existe au plus un sous-groupe d’ordre $d$ pour tout diviseur $d$ de $n$ , alors $G$ est cyclique.
Si $G$ est cyclique, tous ses sous-groupes le sont aussi.
$G$ est cyclique si et seulement si pour tout diviseur $d$ de $n$ , $G$ admet exactement un sous-groupe d’ordre $d$ .

[ROM21]
p. 25

Théorème 12. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique.

Corollaire 13. L’ensemble des racines $n$ -ièmes de l’unité d’un corps est un sous-groupe cyclique de son groupe multiplicatif.

Actions de groupes

[ULM21]
p. 29

Soit $X$ un ensemble.

Définition 14. On appelle action (à gauche) de $G$ sur $X$ toute application $G \times X (g, x) \to \mapsto X g \cdot x$ satisfaisant les conditions suivantes :

$\forall g, h \in G$ , $\forall x \in X$ , $g \cdot (h \cdot x) = (g h) \cdot x$ .
$\forall x \in X$ , $e_{G} \cdot x = x$ .

Remarque 15. On peut de même définir une action à droite de $G$ sur $X$ .

Définition 16. On définit pour tout $x \in X$ :

$G \cdot x = {g \cdot x ∣ g \in G} \subseteq X$ l’orbite de $x$ .
$Stab_{G} (x) = {g \in G ∣ g \cdot x = x} < G$ le stabilisateur de $x$ .

On suppose ici que $G$ et $X$ sont finis.

p. 71

Proposition 17. Soit $x \in X$ . Alors :

$∣ G \cdot x ∣ = (G : Stab_{G} (x))$ .
$∣ G ∣ = ∣ Stab_{G} (x) ∣∣ G \cdot x ∣$ .
$∣ G \cdot x ∣ = \frac{∣ G ∣}{∣ Stab _{G} ( x ) ∣}$

Théorème 18 (Formule des classes). Soit $Ω$ un système de représentants des orbites de l’action de $G$ sur $X$ . Alors, $∣ X ∣ = ω \in Ω \sum ∣ G \cdot ω ∣ = ω \in Ω \sum (G : Stab_{G} (ω)) = ω \in Ω \sum \frac{∣ G ∣}{∣ Stab _{G} ( ω ) ∣}$

Définition 19. On définit :

$X^{G} = {x \in X ∣ \forall g \in G, g \cdot x = x}$ l’ensemble des points de $X$ laissés fixes par tous les éléments de $G$ .
$X^{g} = {x \in X ∣ g \cdot x = x}$ l’ensemble des points de $X$ laissés fixes par $g \in G$ .

Corollaire 20 (Formule de Burnside). Le nombre $r$ d’orbites de $X$ sous l’action de $G$ est donné par $r = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ X^{g} ∣$

Corollaire 21. Soit $p$ un nombre premier. Si $G$ est un $p$ -groupe (ie. l’ordre de $G$ est une puissance de $p$ ), alors, $∣ X^{G} ∣ \equiv ∣ X ∣ mod p$ où $X^{G}$ désigne l’ensemble des points fixes de $X$ sous l’action de $G$ .

Corollaire 22. Soit $p$ un nombre premier. Le centre d’un $p$ -groupe non trivial est non trivial.

Corollaire 23. Soit $p$ un nombre premier. Un groupe d’ordre $p^{2}$ est toujours abélien.

Application 24 (Théorème de Cauchy). On suppose $G$ non trivial et fini. Soit $p$ un premier divisant l’ordre de $G$ . Alors il existe un élément d’ordre $p$ dans $G$ .

[GOU21]
p. 44

theoreme-de-sylow

Application 25 (Premier théorème de Sylow). On suppose $G$ fini d’ordre $n p^{α}$ avec $n, α \in N$ et $p$ premier tel que $p ∤ n$ . Alors, il existe un sous-groupe de $G$ d’ordre $p^{α}$ .

Groupes abéliens finis

Un exemple fondamental : $Z / n Z$

[ULM21]
p. 45

Proposition 26. $n Z$ est un sous-groupe distingué de $(Z, +)$ , si bien que l’on peut définir le quotient $Z / n Z$ .

Proposition 27. $Z / n Z$ est cyclique d’ordre $n$ .

Proposition 28. On peut définir une structure d’anneau sur $Z / n Z$ . Le groupe multiplicatif de cet anneau est alors d’ordre $φ (n)$ .

Corollaire 29. $Z / p Z$ est un corps si et seulement si $p$ est premier.

[ROM21]
p. 14

Proposition 30. Dans le cas du Théorème 7 Point 2, $⟨ g ⟩$ est alors isomorphe à $Z / n Z$ .

Exemple 31. $μ_{n} ≅ Z / n Z$ où $μ_{n}$ désigne le groupe cyclique des racines de l’unité de $C^{*}$ .

Décomposition cyclique

[ULM21]
p. 81

Théorème 32 (Chinois). Soient $n$ et $m$ deux entiers premiers entre eux. Alors, $Z / nm Z \equiv Z / n Z \times Z / m Z$

p. 112

Théorème 33 (Kronecker). Soit $G$ un groupe abélien d’ordre $n \geq 2$ . Il existe une suite d’entiers $n_{1} \geq 2$ , $n_{2}$ multiple de $n_{1}$ , …, $n_{k}$ multiple de $n_{k - 1}$ telle que $G$ est isomorphe au groupe produit $i = 1 \prod k Z / n_{i} Z$

Exemple 34. Soit $G = Z /5 Z \times Z /5 Z \times Z /90 Z$ . Alors, $G ≅ Z /5 Z \times Z /5 Z \times (Z /2 Z \times Z / 3^{2} Z \times Z /5 Z) ≅ Z /2 Z \times Z / 3^{2} Z \times (Z /5 Z \times Z /5 Z \times Z /5 Z)$

Groupes non abéliens finis

Les groupes qui suivent sont, sauf cas particuliers, des groupes non abéliens.

Groupes symétrique et alterné

p. 55

Définition 35. L’ensemble des permutations de $[[1, n]]$ est un groupe pour la composition des applications : c’est le groupe symétrique, noté $S_{n}$ .

Remarque 36. $S_{n}$ est fini, d’ordre $n!$ .

Théorème 37 (Cayley). Tout groupe fini d’ordre $n$ est isomorphe à un sous-groupe de $S_{n}$ .

Définition 38. Soient $l \in N^{*}$ et $i_{1}, \dots, i_{l} \in [[1, n]]$ des éléments distincts. La permutation $γ \in S_{n}$ définie par $γ (j) = ⎩ ⎨ ⎧ j i_{k + 1} i_{1} si j \in / {i_{1}, \dots, i_{l}} si j = i_{k} avec k < l si j = i_{l}$ et notée $(i_{1} \dots i_{l})$ est appelée cycle de longueur $l$ et de support ${i_{1}, \dots, i_{l}}$ . Un cycle de longueur $2$ est une transposition.

Exemple 39. $γ = (1425) = (4251) = (2514) = (5142)$ est un cycle de $S_{5}$ de longueur $4$ .

Théorème 40. Toute permutation de $S_{n}$ s’écrit de manière unique (à l’ordre près) comme produit de cycles dont les supports sont deux à deux disjoints.

Exemple 41. $(122435415366) = (124) (35)$

Définition 42. On appelle type d’une permutation $σ \in S_{n}$ et on note $[l_{1}, \dots, l_{m}]$ la liste des cardinaux $l_{i}$ des orbites dans $[[1, n]]$ de l’action du groupe $⟨ σ ⟩$ sur $[[1, n]]$ , rangée dans l’ordre croissant.

Proposition 43. Une permutation de type $[l_{1}, \dots, l_{m}]$ a pour ordre $ppcm (l_{1}, \dots, l_{m})$ .

Exemple 44. La permutation de l’Exemple 41 est d’ordre $6$ .

Définition 45.

Soit $σ \in S_{n}$ . On appelle signature de $σ$ , notée $ϵ (σ)$ l’entier $ϵ (σ) = \prod_{i \neq = j} \frac{σ ( i ) - σ ( j )}{i - j}$ .
$σ \mapsto ϵ (σ)$ est un morphisme de $S_{n}$ dans ${\pm 1}$ , on note $A_{n}$ son noyau.

[PER]
p. 15

Lemme 46. Les $3$ -cycles sont conjugués dans $A_{n}$ pour $n \geq 5$ .

[ROM21]
p. 49

Lemme 47. Le produit de deux transpositions est un produit de $3$ -cycles.

Proposition 48. $A_{n}$ est engendré par les $3$ -cycles pour $n \geq 3$ .

[PER]
p. 28

simplicite-du-groupe-alterne

Théorème 49. $A_{n}$ est simple pour $n \geq 5$ .

Groupe linéaire sur un corps fini

[ULM21]
p. 119

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$ .

Définition 50.

Le groupe linéaire de $V$ , $GL (V)$ est le groupe des applications linéaires de $V$ dans lui-même qui sont inversibles.
Le groupe spécial linéaire de $V$ , $SL (V)$ est le sous-groupe de $GL (V)$ constitué des applications de déterminant $1$ .
Les quotients de ces groupes par leur centre sont respectivement notés $PGL (V)$ et $PSL (V)$ .

p. 124

Proposition 51. On se place dans le cas où $K = F_{q}$ . Alors, les groupes précédents sont finis, et :

$∣ GL (V) ∣ = q^{\frac{n ( n - 1 )}{2}} ((q^{n} - 1) \dots (q - 1))$ .
$∣ PGL (V) ∣ = ∣ SL (V) ∣ = \frac{∣ GL ( V ) ∣}{q - 1}$ .
$∣ PSL (V) ∣ = ∣ SL (V) ∣ = \frac{∣ GL ( V ) ∣}{( q - 1 ) pgcd ( n , q - 1 )}$ .

Groupe diédral

p. 8

Définition 52. Pour un entier $n \geq 1$ , le groupe diédral $D_{n}$ est le sous-groupe, de $GL_{2} (R)$ engendré par la symétrie axiale $s$ et la rotation d’angle $θ = \frac{2 π}{n}$ définies respectivement par les matrices $S = (10 0 - 1) et R = (cos (θ) sin (θ) - sin (θ) cos (θ))$

Exemple 53. $D_{1} = {id, s}$ .

Proposition 54.

$D_{n}$ est un groupe d’ordre $2 n$ .
$r^{n} = s^{2} = id$ et $sr = r^{- 1} s$ .

p. 28

Proposition 55. Un groupe non cyclique d’ordre $4$ est isomorphe à $D_{2}$ .

p. 65

Exemple 56. $S_{2}$ est isomorphe à $D_{2}$ .

p. 28

Proposition 57. Un groupe fini d’ordre $2 p$ avec $p$ premier est soit cyclique, soit isomorphe à $D_{p}$ .

Exemple 58. $S_{3}$ est isomorphe à $D_{3}$ .

p. 47

Proposition 59. Les sous-groupes de $D_{n}$ sont soit cyclique, soit isomorphes à un $D_{m}$ où $m ∣ n$ .

Représentations linéaires de groupes finis

p. 144

Dans cette partie, $G$ désigne un groupe d’ordre fini.

Définition 60.

Une représentation linéaire $ρ$ est un morphisme de $G$ dans $GL (V)$ où $V$ désigne un espace-vectoriel de dimension finie $n$ sur $C$ .
On dit que $n$ est le degré de $ρ$ .
On dit que $ρ$ est irréductible si $V \neq = {0}$ et si aucun sous-espace vectoriel de $V$ n’est stable par $ρ (g)$ pour tout $g \in G$ , hormis ${0}$ et $V$ .

Exemple 61. Soit $φ : G \to S_{n}$ le morphisme structurel d’une action de $G$ sur un ensemble de cardinal $n$ . On obtient une représentation de $G$ sur $C^{n} = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ en posant $ρ (g) (e_{i}) = e_{φ (g) (i)}$ c’est la représentation par permutations de $G$ associé à l’action. Elle est de degré $n$ .

Définition 62. La représentation par permutations de $G$ associée à l’action par translation à gauche de $G$ sur lui-même est la représentation régulière de $G$ , on la note $ρ_{G}$ .

p. 150

Définition 63. On peut associer à toute représentation linéaire $ρ$ , son caractère $χ = trace \circ ρ$ . On dit que $χ$ est irréductible si $ρ$ est irréductible.

Proposition 64.

Les caractères sont des fonctions constantes sur les classes de conjugaison.
Il y a autant de caractères irréductibles que de classes de conjugaisons.

Définition 65. Soit $ρ : G \to GL (V)$ une représentation linéaire de $G$ . On suppose $V = W \oplus W_{0}$ avec $W$ et $W_{0}$ stables par $ρ (g)$ pour tout $g \in G$ . On dit alors que $ρ$ est somme directe de $ρ_{W}$ et de $ρ_{W_{0}}$ .