104 Groupes finis. Exemples et applications.

Groupes finis. Exemples et applications.

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Outils d’étude de groupes finis

Soit un groupe.

Ordre d’un groupe, ordre d’un élément

Définition 1. L’ordre du groupe , noté est le cardinal de l’ensemble sous-jacent . Si est fini de cardinal , on dit que est d’ordre . Sinon, on dit que est d’ordre infini.

Exemple 2. Les multiplicatifs des corps , et sont d’ordre infini.

Définition 3. On appelle ordre d’un élément , l’ordre du sous-groupe qu’il engendre.

Exemple 4. L’élément est d’ordre dans .

Proposition 5. Soit d’ordre . Alors,

  1. est le plus petit entier strictement positif ayant la propriété .

  2. .

  3. Pour , si et seulement si .

Exemple 6. Pour , on a et on note ce groupe .

Théorème 7. Soit . Alors,

  1. est d’ordre infini si et seulement si est isomorphe à . Dans ce cas dès que et .

  2. est d’ordre fini si et seulement si sont tous distincts et si .

Théorème 8 (Lagrange). On suppose fini. Soit . Alors, En particulier, l’ordre d’un élément de divise toujours l’ordre de .

Groupes cycliques

Définition 9. On dit que est cyclique s’il est engendré par un seul élément.

Proposition 10. Un groupe fini d’ordre premier est cyclique.

Théorème 11. On suppose fini d’ordre . Alors,

  1. Si est abélien et s’il existe au plus un sous-groupe d’ordre pour tout diviseur de , alors est cyclique.

  2. Si est cyclique, tous ses sous-groupes le sont aussi.

  3. est cyclique si et seulement si pour tout diviseur de , admet exactement un sous-groupe d’ordre .

Théorème 12. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique.

Corollaire 13. L’ensemble des racines -ièmes de l’unité d’un corps est un sous-groupe cyclique de son groupe multiplicatif.

Actions de groupes

Soit un ensemble.

Définition 14. On appelle action (à gauche) de sur toute application satisfaisant les conditions suivantes :

  1. , , .

  2. , .

Remarque 15. On peut de même définir une action à droite de sur .

Définition 16. On définit pour tout :

  • l’orbite de .

  • le stabilisateur de .

On suppose ici que et sont finis.

Proposition 17. Soit . Alors :

  • .

  • .

Théorème 18 (Formule des classes). Soit un système de représentants d’orbites de l’action de sur . Alors,

Définition 19. On définit :

  • l’ensemble des points de laissés fixes par tous les éléments de .

  • l’ensemble des points de laissés fixes par .

Théorème 20 (Formule de Burnside). Le nombre d’orbites de sous l’action de est donné par

Corollaire 21. Soit un nombre premier. Si est un -groupe (ie. l’ordre de est une puissance de ), alors, désigne l’ensemble des points fixes de sous l’action de .

Corollaire 22. Soit un nombre premier. Le centre d’un -groupe non trivial est non trivial.

Corollaire 23. Soit un nombre premier. Un groupe d’ordre est toujours abélien.

Application 24 (Théorème de Cauchy). On suppose non trivial et fini. Soit un premier divisant l’ordre de . Alors il existe un élément d’ordre dans .

Groupes abéliens finis

Un exemple fondamental :

Proposition 25. est un sous-groupe distingué de , si bien que l’on peut définir le quotient .

Proposition 26. est cyclique d’ordre .

Proposition 27. On peut définir une structure d’anneau sur . Le groupe multiplicatif de cet anneau est alors d’ordre .

Corollaire 28. est un corps si et seulement si est premier.

Proposition 29. Dans le cas du Théorème 7 Point 2, est alors isomorphe à .

Exemple 30. désigne le groupe cyclique des racines de l’unité de .

Décomposition cyclique

Théorème 31 (Chinois). Soient et deux entiers premiers entre eux. Alors,

Théorème 32 (Kronecker). Soit un groupe abélien d’ordre . Il existe une suite d’entiers , multiple de , …, multiple de telle que est isomorphe au groupe produit

Exemple 33. Soit . Alors,

Groupes non abéliens finis

Les groupes qui suivent sont, sauf cas particuliers, des groupes non abéliens.

Groupes symétrique et alterné

Définition 34. L’ensemble des permutations de est un groupe pour la composition des applications : c’est le groupe symétrique, noté .

Remarque 35. est fini, d’ordre .

Théorème 36 (Cayley). Tout groupe fini d’ordre est isomorphe à un sous-groupe de .

Définition 37. Soient et des éléments distincts. La permutation définie par et notée est appelée cycle de longueur et de support . Un cycle de longueur est une transposition.

Exemple 38. est un cycle de de longueur .

Théorème 39. Toute permutation de s’écrit de manière unique (à l’ordre près) comme produit de cycles dont les supports sont deux à deux disjoints.

Exemple 40.

Définition 41. On appelle type d’une permutation et on note la liste des cardinaux des orbites dans de l’action du groupe sur , rangée dans l’ordre croissant.

Proposition 42. Une permutation de type a pour ordre .

Exemple 43. La permutation de l’Exemple 40 est d’ordre .

Définition 44.

  • Soit . On appelle signature de , notée l’entier .

  • est un morphisme de dans , on note son noyau.

Lemme 45. Les -cycles sont conjugués dans pour .

Lemme 46. Le produit de deux transpositions est un produit de -cycles.

Proposition 47. est engendré par les -cycles pour .

Théorème 48. est simple pour .

Groupe linéaire sur un corps fini

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps .

Définition 49.

  • Le groupe linéaire de , est le groupe des applications linéaires de dans lui-même qui sont inversibles.

  • Le groupe spécial linéaire de , est le sous-groupe de constitué des applications de déterminant .

  • Les quotients de ces groupes par leur centre sont respectivement notés et .

Proposition 50. On se place dans le cas où . Alors, les groupes précédents sont finis, et :

  1. .

  2. .

  3. .

Groupe diédral

Définition 51. Pour un entier , le groupe diédral est le sous-groupe, de engendré par la symétrie axiale et la rotation d’angle définies respectivement par les matrices

Exemple 52. .

Proposition 53.

  1. est un groupe d’ordre .

  2. et .

Proposition 54. Un groupe non cyclique d’ordre est isomorphe à .

Exemple 55. est isomorphe à .

Proposition 56. Un groupe fini d’ordre avec premier est soit cyclique, soit isomorphe à .

Exemple 57. est isomorphe à .

Proposition 58. Les sous-groupes de sont soit cyclique, soit isomorphes à un .

Représentations linéaires de groupes finis

Dans cette partie, désigne un groupe d’ordre fini.

Définition 59.

  • Une représentation linéaire est un morphisme de dans désigne un espace-vectoriel de dimension finie sur .

  • On dit que est le degré de .

  • On dit que est irréductible si et si aucun sous-espace vectoriel de n’est stable par pour tout , hormis et .

Exemple 60. Soit le morphisme structurel d’une action de sur un ensemble de cardinal . On obtient une représentation de sur en posant c’est la représentation par permutations de associé à l’action. Elle est de degré .

Définition 61. La représentation par permutations de associée à l’action par translation à gauche de sur lui-même est la représentation régulière de , on la note .

Définition 62. On peut associer à toute représentation linéaire , son caractère . On dit que est irréductible si est irréductible.

Proposition 63.

  1. Les caractères sont des fonctions constantes sur les classes de conjugaison.

  2. Il y a autant de caractères irréductibles que de classes de conjugaisons.

Définition 64. Soit une représentation linéaire de . On suppose avec et stables par pour tout . On dit alors que est somme directe de et de .

Théorème 65 (Maschke). Toute représentation linéaire de est somme directe de représentations irréductibles.

Théorème 66. Les sous-groupes distingués de sont exactement les

Corollaire 67. est simple si et seulement si , , .