105 Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

algebra

Pour toute cette leçon, on fixe un entier .

Généralités

Définitions

Définition 1. Soit un ensemble. On appelle groupe des permutations de le groupe des bijections de dans lui-même. On le note .

Notation 2. Si , on note , le groupe symétrique à éléments.

Notation 3. Soit . On note : pour signifier que est la bijection .

Le théorème suivant justifie que, pour un ensemble à éléments, on peut se contenter d’étudier en lieu et place de .

Théorème 4.

  1. Soient et deux ensembles en bijection. Alors et sont isomorphes.

Théorème 5 (Cayley). Tout groupe est isomorphe à un sous-groupe de .

Orbites et cycles

Définition 6. Soit . On a une action naturelle de sur définie par Les orbites pour cette action sont les . On les note .

Remarque 7.

  • Les orbites selon sont décrites par la relation

  • Une orbite est réduite à un point si et seulement si .

Définition 8. Soient et des éléments distincts. La permutation définie par et notée est appelée cycle de longueur et de support . Un cycle de longueur est une transposition.

Proposition 9. Une permutation est cycle si et seulement s’il n’y a qu’une seule orbite non réduite à un point.

Remarque 10. La composée de deux cycles n’est pas un cycle en général.

Exemple 11. Avec , on a qui n’est pas un cycle.

Proposition 12. L’ordre d’un cycle est égal à sa longueur.

Proposition 13. Soient et deux cycles de dont on note respectivement et les supports. Si , alors et dans ce cas :

  1. .

  2. .

Théorème 14. Toute permutation de s’écrit de manière unique (à l’ordre près) comme produit de cycles dont les supports sont deux à deux disjoints.

Exemple 15.

Définition 16. On appelle type d’une permutation et on note la liste des cardinaux des orbites dans de l’action du groupe sur , rangée dans l’ordre croissant.

Proposition 17. Une permutation de type a pour ordre .

Exemple 18. La permutation de l’Exemple 15 est d’ordre .

Signature

Définition 19. Soit . On appelle signature de , notée le nombre rationnel

Exemple 20.

Proposition 21. est un morphisme de groupes. Pour une permutation , on a les propriétés suivantes :

  1. Si est un transposition, .

  2. Si est le nombre de transpositions qui apparaît dans une décomposition de en produit de transpositions, alors .

  3. Si est de type , alors .

En particulier, si , l’image de est le sous-groupe de .

Proposition 22. Le seul morphisme non trivial de dans est .

Définition 23.

  • Soit . Si , on dit que est paire. Sinon, on dit qu’elle est impaire.

  • Le noyau de (constitué donc des permutations paires) est un sous-groupe distingué de appelé groupe alterné et noté .

Proposition 24. Pour ,

Structure

Conjugaison

Proposition 25. Deux permutations et de sont conjuguées si et seulement si elles sont du même type. En particulier, pour et tout cycle , on a :

Exemple 26. Les types possibles d’une permutation de sont (l’identité), (les transpositions), (les doubles transpositions), (les -cycles) et (les -cycles) : on a classes de conjugaison de tailles respectives , , , et .

Proposition 27. Pour tout , .

Lemme 28. Les -cycles sont conjugués dans pour .

Générateurs

Proposition 29.

  1. est engendré par les transpositions. On peut même se limiter aux transpositions de la forme ou encore (pour ).

  2. est engendré par et .

Exemple 30. Pour , on a .

Proposition 31. est engendré par les -cycles pour .

Simplicité

Lemme 32. Les -cycles sont conjugués dans pour .

Lemme 33. Le produit de deux transpositions est un produit de -cycles.

Théorème 34. est simple pour .

Corollaire 35. Le groupe dérivé de est pour , et le groupe dérivé de est pour .

Corollaire 36. Pour , les sous-groupes distingués de sont , et .

Corollaire 37. Soit un sous-groupe d’indice de . Alors, est isomorphe à .

Applications

Déterminant

Soit un corps et soit un espace vectoriel de dimension sur .

Définition 38. Soient et des espaces vectoriels sur et .

  • est dite -linéaire si en tout point les applications partielles sont linéaires.

  • Si est -linéaire et si ainsi que , est une forme -linéaire. On note l’ensemble des formes -linéaires sur .

  • Si de plus dès que deux vecteurs parmi les sont égaux, alors est dite alternée.

Exemple 39. En reprenant les notations précédentes, pour , est bilinéaire.

Proposition 40. est un espace vectoriel et, .

Théorème 41. L’ensemble des formes -linéaires alternées sur est un -espace vectoriel de dimension . De plus, il existe une unique forme -linéaire alternée prenant la valeur sur une base de . On note .

Définition 42. est l’application déterminant dans la base . En l’absence d’ambiguïté, on s’autorise à noter .

Proposition 43. Soit une base de . Si (, on peut écrire ), on a la formule .

Corollaire 44. Soit une base de .

  1. Si est une autre base de , alors .

  2. Une famille de vecteurs est liée si et seulement si son déterminant est nul dans une base quelconque de .

  3. Soient , alors .

  4. Soit , alors et pour tout , .

  5. Si on effectue une permutation sur les colonnes d’une matrice , alors le déterminant de est multiplié par .

Notation 45. Soit . On note le symbole de Legendre de modulo .

Lemme 46. Soient un nombre premier et un espace vectoriel sur de dimension finie. Les dilatations engendrent .

Théorème 47 (Frobenius-Zolotarev). Soient un nombre premier et un espace vectoriel sur de dimension finie. est vu comme une permutation des éléments de .

Matrices de permutation

Soit un corps et soit un espace vectoriel de dimension sur .

Définition 48. À tout on associe la matrice de passage de la base canonique à la base que l’on note : c’est la matrice de permutation associée à .

Remarque 49. En reprenant les notations précédentes, , .

Proposition 50. est un morphisme de groupes injectif de dans . De plus, on a

Corollaire 51. Tout groupe fini d’ordre est isomorphe à un sous groupe de pour un premier .

Polynômes symétriques

Soit un corps de caractéristique différente de .

Définition 52. Soit . On dit que est symétrique si

Exemple 53. Dans , le polynôme est symétrique.

Définition 54. On appelle polynômes symétriques élémentaires de les polynômes noté définis par

Exemple 55.

  • .

  • .

  • .

Remarque 56. Si , alors est symétrique. Et la réciproque est vraie.

Théorème 57 (Théorème fondamental des polynômes symétriques). Soit un polynôme symétrique. Alors,

Exemple 58. s’écrit .

Application 59 (Relations coefficients - racines). Soit avec scindé sur , dont les racines (comptées avec leur ordre de multiplicité) sont . Alors En particulier,

  • .

  • .

Application 60 (Théorème de Kronecker). Soit unitaire tel que toutes ses racines complexes appartiennent au disque unité épointé en l’origine (que l’on note ). Alors toutes ses racines sont des racines de l’unité.

Corollaire 61. Soit unitaire et irréductible sur tel que toutes ses racines complexes soient de module inférieur ou égal à . Alors ou est un polynôme cyclotomique.