106 Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie $E$ , sous-groupes de $GL (E)$ . Applications.

Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie $E$ , sous-groupes de $GL (E)$ . Applications.

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ sur un corps $K$ .

Étude du groupe linéaire

$GL (E)$ et son lien avec l’algèbre des matrices

Définition 1. Le groupe linéaire de $E$ est le groupe des applications $K$ -linéaires bijectives de $E$ dans $E$ .

[PER]
p. 95

Remarque 2. Le choix d’une base de $E$ permet de réaliser un isomorphisme d’algèbre de $L (E)$ sur $M_{n} (K)$ et cet isomorphisme induit un isomorphisme de $GL (E)$ sur $GL_{n} (K)$ . Cet isomorphisme se définit à l’aide du choix d’une base, il n’est donc pas canonique.

Pour cette raison, on pourra par la suite confondre $GL (E)$ et $GL_{n} (K)$ .

Proposition 3. $det : GL (E) \to K^{*}$ est un morphisme surjectif.

[ROM21]
p. 140

Théorème 4. Soit $u \in L (E)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u \in GL (E)$ .
$Ker (u) = {0}$ .
$Im (u) = E$ .
$rang (u) = n$ .
$det (u) = 0$ .
$u$ transforme toute base de $E$ en une base de $E$ .
Il existe $v \in L (E)$ tel que $u \circ v = id_{E}$ .
Il existe $w \in L (E)$ tel que $w \circ u = id_{E}$ .

Centre

[PER]
p. 98

Proposition 5. Soit $u \in GL (E)$ un endomorphisme laissant invariantes toutes les droites vectorielles de $E$ . Alors $u$ est une homothétie.

Théorème 6. $GL (E) = K^{*} \cdot id_{E}$

Sous-groupes notables

Groupe orthogonal

[ROM21]
p. 720

Définition 7. Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit orthogonal (ou est une isométrie) s’il est tel que $⟨ u (x), u (y)⟩ = ⟨ x, y ⟩$ pour tout $x, y \in E$ . On note $O (E)$ l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de $E$ .

Exemple 8.

Les seules homothéties qui sont des isométries sont $- id_{E}$ et $id_{E}$ .
Si $n = 1$ , on a $O (E) = {\pm id_{E}}$ .

p. 743

Proposition 9. Soit $u \in L (E)$ . $u = O (E) ⟺ \forall x \in E, ∥ u (x) ∥ ⟺ u \in GL (E) et u^{- 1} = u^{*}$

p. 721

Théorème 10. Les isométries sont des automorphismes. Il en résulte que $O (E)$ est un sous-groupe de $GL (E)$ .

Remarque 11. Ce n’est pas vrai en dimension infinie.

Théorème 12. Un endomorphisme de $E$ est une isométrie si et seulement s’il transforme toute base orthonormée de $E$ en une base orthonormée.

Théorème 13. Un endomorphisme de $E$ est une isométrie si et seulement si sa matrice $A$ dans une base orthonormée est inversible, d’inverse $(^{t} A$ .

On dit alors que $A$ est orthogonale.

Notation 14. On note $O_{n} (R)$ le groupe des matrices orthogonales.

Théorème 15. $\forall u \in O (E), det (u) = \pm 1$

Remarque 16. On a des résultats équivalents pour les matrices.

Théorème 17 (Réduction des endomorphismes orthogonaux). Soit $u \in O (E)$ . Alors, il existe $B$ une base orthonormée de $E$ telle que la matrice de $u$ dans $B$ est $I_{p} 00 ⋮ 0 0 - I_{q} 0 ⋱ \dots 00 R_{1} ⋱ \dots \dots \dots ⋱ ⋱ 0 00 ⋮ 0 R_{r}$ où $R_{i} = (cos (θ_{i}) sin (θ_{i}) - sin (θ_{i}) cos (θ_{i}))$ avec $\forall i \in [[1, r]], θ_{i} \in] 0, 2 π [$ .

Groupe spécial linéaire

p. 141

Définition 18. On définit $SL (E) = Ker (det)$ le groupe spécial linéaire de $E$ .

Remarque 19. On peut définir de manière analogue $SL_{n} (K)$ , et on a encore un isomorphisme entre ces deux groupes.

Théorème 20. $SL (E)$ est un sous-groupe distingué de $GL (E)$ . Le groupe quotient $GL (E) / SL (E)$ est isomorphe à $K^{*}$ et on a la suite exacte : ${id_{E}} \to SL (E) \to GL (E) d e t K^{*} \to {id_{E}}$

Théorème 21. $Z (SL (E)) = μ_{n} (K) \cdot id_{E}$ où $μ_{n} (K)$ désigne le groupe des racines de l’unité de $K$ .

[PER]
p. 97

Proposition 22. Soit $u \in GL (E) ∖ {id_{E}}$ . Soit $H$ un hyperplan de $E$ tel que $u_{∣ H} = id_{H}$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$det (u) = 1$ .
$u$ n’est pas diagonalisable.
$Im (u - id_{E}) \subseteq H$ .
Le morphisme induit $\overline{u} : E / H \to E / H$ est l’identité de $E / H$ .
En notant $H = Ker (f)$ (où $f$ désigne une forme linéaire sur $E$ ), il existe $a \in H ∖ {0}$ tel que $u = id_{E} + f \cdot a$
Dans une base adaptée, la matrice de $u$ s’écrit $I_{n - 2} 00 010011$

Définition 23. En reprenant les notations précédentes, on dit que $u$ est une transvection d’hyperplan $H$ et de droite $Vect (a)$ .

Proposition 24. Soient $u \in GL (E)$ et $τ$ une transvection d’hyperplan $H$ et de droite $D$ . Alors, $uτ u^{- 1}$ est une transvection d’hyperplan $u (H)$ et de droite $u (D)$ .

Théorème 25. Si $n \geq 2$ , les transvections engendrent $SL (E)$ .

Générateurs

Proposition 26. Soit $u \in GL (E)$ . Soit $H$ un hyperplan de $E$ tel que $u_{∣ H} = id_{H}$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$det (u) = λ \neq = 1$ .
$u$ admet une valeur propre $λ \neq = 1$ .
$Im (u - id_{E}) \neq \subseteq H$ .
Dans une base adaptée, la matrice de $u$ s’écrit $(I_{n - 1} 0 0 λ)$ avec $λ \neq = 1$ .

Définition 27. En reprenant les notations précédentes, on dit que $u$ est une dilatation de rapport $λ$ .

Théorème 28. Si $n \geq 2$ , les transvections et les dilatations engendrent $GL (E)$ .

[I-P]
p. 203

Notation 29. Soit $a \in F_{p}$ . On note $(\frac{a}{p})$ le symbole de Legendre de $a$ modulo $p$ .

Lemme 30. Soient $p \geq 3$ un nombre premier et $V$ un espace vectoriel sur $F_{p}$ de dimension finie. Les dilatations engendrent $GL (V)$ .

theoreme-de-frobenius-zolotarev

Application 31 (Théorème de Frobenius-Zolotarev). Soient $p \geq 3$ un nombre premier et $V$ un espace vectoriel sur $F_{p}$ de dimension finie. $\forall u \in GL (V), ϵ (u) = (\frac{det ( u )}{p})$ où $u$ est vu comme une permutation des éléments de $V$ .

Groupes projectifs

[ROM21]
p. 141

Définition 32. On définit $PGL (E)$ (resp. $PSL (E)$ ) le quotient de $GL (E)$ (resp. $SL (E)$ ) par son centre.

Proposition 33. $Z (PGL (E)) = Z (PSL (E)) = {id_{E}}$

[ULM21]
p. 124

On se place pour la suite de cette sous-section dans le cas où $K = F_{q}$ .

Proposition 34. Les groupes précédents sont finis, et :

$∣ GL (E) ∣ = q^{\frac{n ( n - 1 )}{2}} ((q^{n} - 1) \dots (q - 1))$ .
$∣ PGL (E) ∣ = ∣ SL (E) ∣ = \frac{∣ GL ( E ) ∣}{q - 1}$ .
$∣ PSL (E) ∣ = ∣ SL (E) ∣ = \frac{∣ GL ( E ) ∣}{( q - 1 ) pgcd ( n , q - 1 )}$ .

[ROM21]
p. 157

Application 35. Pour tout entier $p \in [[1, n]]$ , il y a $\frac{\prod _{k = n - (p - 1)}^{n} ( q ^{k} - 1 )}{\prod _{k = 1}^{p} ( q ^{k} - 1 )}$ sous-espaces vectoriels de dimension $p$ dans $E$ .

Actions sur l’algèbre des matrices

Action par translation

[ROM21]
p. 184

Proposition 36. Les applications $GL_{n} (K) \times M_{n} (K) (P, A) \to \mapsto M_{n} (K) P A$ et $GL_{n} (K) \times M_{n} (K) (P, A) \to \mapsto M_{n} (K) A P^{- 1}$ définissent une action de $GL_{n} (K)$ sur $M_{n} (K)$ .

Remarque 37. Pour la première action, deux matrices sont dans la même orbite si et seulement si elles ont même noyau. Pour la seconde, deux matrices sont dans la même orbite si et seulement si elles ont même image.

[C-G]
p. 376

Lemme 38. $\forall A \in S_{n}^{++} (R) \exists! B \in S_{n}^{++} (R) telle que B^{2} = A$

decomposition-polaire

Théorème 39 (Décomposition polaire). L’application $μ : O_{n} (R) \times S_{n}^{++} (R) (O, S) \to \mapsto GL_{n} (R) OS$ est un homéomorphisme.

Remarque 40. Ainsi, pour toute matrice $A \in GL_{n} (R)$ , il existe un représentant de $O_{n} (R)$ pour l’action par translation à gauche.

Action par conjugaison

[ROM21]
p. 199

Proposition 41. L’application $GL_{n} (K) \times M_{n} (K) (P, A) \to \mapsto M_{n} (K) P A P^{- 1}$ définit une action de $GL_{n} (K)$ sur $M_{n} (K)$ .

Définition 42. Deux matrices qui sont dans la même orbite pour cette action sont dites semblables.

[GOU21]
p. 127

Remarque 43. Deux matrices semblables représentes la même application linéaire dans deux bases de $K^{n}$ .

[ROM21]
p. 199

Théorème 44. Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables. Alors :

$trace (A) = trace (B)$ .
$det (A) = det (B)$ .
$rang (A) = rang (B)$ .
$χ_{A} = χ_{B}$ .
$π_{A} = π_{B}$ .

[D-L]
p. 137

Contre-exemple 45. Les matrices $(0000)$ et $(0010)$ ont la même trace, le même déterminant, le même polynôme caractéristique, mais ne sont pas semblables.

[GOU21]
p. 167

Théorème 46. Soient $L$ une extension de $K$ et $A, B \in M_{n} (K)$ . On suppose $K$ infini et $A, B$ semblables sur $L$ . Alors $A$ et $B$ sont semblables sur $K$ .

Action par congruence

[ROM21]
p. 206

On suppose $K$ de caractéristique différente de $2$ .

Proposition 47. L’application $GL_{n} (K) \times S_{n} (K) (P, A) \to \mapsto S_{n} (K) P A (^{t} P$ définit une action de $GL_{n} (K)$ sur $S_{n} (K)$ .

Définition 48. Deux matrices qui sont dans la même orbite pour cette action sont dites congruentes.

Remarque 49. Deux matrices congruentes représentent la même forme quadratique dans deux bases de $K^{n}$ .

Théorème 50 (Spectral). Toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale.

Théorème 51.

Si $K = C$ : deux matrices symétriques $A$ et $B$ sont congruentes si et seulement si elles ont même rang. Les orbites pour cette action sont les ensembles $O_{r} = {A \in S_{n} (C) ∣ rang (A) = r}$ pour $r \in [[1, n]]$ .
Si $K = R$ : deux matrices symétriques $A$ et $B$ sont congruentes si et seulement si elles ont même signature. Les orbites pour cette action sont les ensembles $O_{(s, r)} = {A \in S_{n} (C) ∣ sign (Φ_{A}) = (s, t)}$ où $Φ_{A}$ désigne la forme quadratique associée à une matrice $A \in S_{n} (R)$ .
Si $K = F_{q}$ : deux matrices symétriques $A$ et $B$ sont congruentes si et seulement si elles même déterminant modulo $q$ .

Topologie

p. 159

On se place pour la suite de cette sous-section dans le cas où $K = R$ ou $C$ . On munit $E$ d’une norme $∥.∥$ et on note $∣∣∣.∣∣∣$ la norme subordonnée associée.