106 Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie , sous-groupes de . Applications.

Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie , sous-groupes de . Applications.

algebra

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps .

Étude du groupe linéaire

et son lien avec l’algèbre des matrices

Définition 1. Le groupe linéaire de est le groupe des applications -linéaires bijectives de dans .

Remarque 2. Le choix d’une base de permet de réaliser un isomorphisme d’algèbre de sur et cet isomorphisme induit un isomorphisme de sur . Cet isomorphisme se définit à l’aide du choix d’une base, il n’est donc pas canonique.

Pour cette raison, on pourra par la suite confondre et .

Proposition 3. est un morphisme surjectif.

Théorème 4. Soit . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. transforme toute base de en une base de .

  7. Il existe tel que .

  8. Il existe tel que .

Centre

Proposition 5. Soit un endomorphisme laissant invariantes toutes les droites vectorielles de . Alors est une homothétie.

Théorème 6.

Sous-groupes notables

Groupe orthogonal

Définition 7. Un endomorphisme est dit orthogonal (ou est une isométrie) s’il est tel que pour tout . On note l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de .

Exemple 8.

  • Les seules homothéties qui sont des isométries sont et .

  • Si , on a .

Proposition 9. Soit .

Théorème 10. Les isométries sont des automorphismes. Il en résulte que est un sous-groupe de .

Remarque 11. Ce n’est pas vrai en dimension infinie.

Théorème 12. Un endomorphisme de est une isométrie si et seulement s’il transforme toute base orthonormée de en une base orthonormée.

Théorème 13. Un endomorphisme de est une isométrie si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est inversible, d’inverse .

On dit alors que est orthogonale.

Notation 14. On note le groupe des matrices orthogonales.

Théorème 15.

Remarque 16. On a des résultats équivalents pour les matrices.

Théorème 17 (Réduction des endomorphismes orthogonaux). Soit . Alors, il existe une base orthonormée de telle que la matrice de dans est avec .

Groupe spécial linéaire

Définition 18. On définit le groupe spécial linéaire de .

Remarque 19. On peut définir de manière analogue , et on a encore un isomorphisme entre ces deux groupes.

Théorème 20. est un sous-groupe distingué de . Le groupe quotient est isomorphe à et on a la suite exacte :

Théorème 21. désigne le groupe des racines de l’unité de .

Proposition 22. Soit . Soit un hyperplan de tel que . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. n’est pas diagonalisable.

  3. .

  4. Le morphisme induit est l’identité de .

  5. En notant (où désigne une forme linéaire sur ), il existe tel que

  6. Dans une base adaptée, la matrice de s’écrit

Définition 23. En reprenant les notations précédentes, on dit que est une transvection d’hyperplan et de droite .

Proposition 24. Soient et une transvection d’hyperplan et de droite . Alors, est une transvection d’hyperplan et de droite .

Théorème 25. Si , les transvections engendrent .

Générateurs

Proposition 26. Soit . Soit un hyperplan de tel que . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. admet une valeur propre .

  3. .

  4. Dans une base adaptée, la matrice de s’écrit avec .

Théorème 27. Si , les transvections et les dilatations engendrent .

Notation 28. Soit . On note le symbole de Legendre de modulo .

Lemme 29. Soient un nombre premier et un espace vectoriel sur de dimension finie. Les dilatations engendrent .

Application 30 (Théorème de Frobenius-Zolotarev). Soient un nombre premier et un espace vectoriel sur de dimension finie. est vu comme une permutation des éléments de .

Groupes projectifs

Définition 31. On définit (resp. ) le quotient de (resp. ) par son centre.

Proposition 32.

On se place pour la suite de cette sous-section dans le cas où .

Proposition 33. Les groupes précédents sont finis, et :

  1. .

  2. .

  3. .

Application 34. Pour tout entier , il y a sous-espaces vectoriels de dimension dans .

Actions sur l’algèbre des matrices

Action par translation

Proposition 35. Les applications et définissent une action de sur .

Remarque 36. Pour la première action, deux matrices sont dans la même orbite si et seulement si elles ont même noyau. Pour la seconde, deux matrices sont dans la même orbite si et seulement si elles ont même image.

Lemme 37.

Théorème 38 (Décomposition polaire). L’application est un homéomorphisme.

Remarque 39. Ainsi, pour toute matrice , il existe un représentant de pour l’action par translation à gauche.

Action par conjugaison

Proposition 40. L’application définit une action de sur .

Définition 41. Deux matrices qui sont dans la même orbite pour cette action sont dites semblables.

Remarque 42. Deux matrices semblables représentes la même application linéaire dans deux bases de .

Théorème 43. Soient et deux matrices semblables. Alors :

  • .

  • .

  • .

  • .

  • .

Contre-exemple 44. Les matrices et ont la même trace, le même déterminant, le même polynôme caractéristique, mais ne sont pas semblables.

Théorème 45. Soient une extension de et . On suppose infini et semblables sur . Alors et sont semblables sur .

Action par congruence

On suppose de caractéristique différente de .

Proposition 46. L’application définit une action de sur .

Définition 47. Deux matrices qui sont dans la même orbite pour cette action sont dites congruentes.

Remarque 48. Deux matrices congruentes représentent la même forme quadratique dans deux bases de .

Théorème 49 (Spectral). Toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale.

Théorème 50.

  1. Si : deux matrices symétriques et sont congruentes si et seulement si elles ont même rang. Les orbites pour cette action sont les ensembles pour .

  2. Si : deux matrices symétriques et sont congruentes si et seulement si elles ont même signature. Les orbites pour cette action sont les ensembles désigne la forme quadratique associée à une matrice .

  3. Si : deux matrices symétriques et sont congruentes si et seulement si elles même déterminant modulo .

Topologie

On se place pour la suite de cette sous-section dans le cas où ou . On munit d’une norme et on note la norme subordonnée associée.

Proposition 51. L’espace des applications continues de dans est une algèbre de Banach.

Théorème 52. est un ouvert dense de et l’application est continue sur .

Proposition 53.

  1. est compact (et connexe).

  2. est compact (non-connexe).

Proposition 54. Tout sous-groupe compact de qui contient est .

Proposition 55. est connexe.