106 Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie $E$ , sous-groupes de $GL (E)$ . Applications.

Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie $E$ , sous-groupes de $GL (E)$ . Applications.

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ sur un corps $K$ .

Étude du groupe linéaire

$GL (E)$ et son lien avec l’algèbre des matrices

[ROM21]
p. 139

Définition 1

Le groupe linéaire de $E$ est le groupe des applications $K$ -linéaires bijectives de $E$ dans $E$ .

[PER]
p. 95

Remarque 2

Le choix d’une base de $E$ permet de réaliser un isomorphisme d’algèbre de $L (E)$ sur $M_{n} (K)$ et cet isomorphisme induit un isomorphisme de $GL (E)$ sur $GL_{n} (K)$ . Cet isomorphisme se définit à l’aide du choix d’une base, il n’est donc pas canonique.

Pour cette raison, on pourra par la suite confondre $GL (E)$ et $GL_{n} (K)$ .

Proposition 3

$det : GL (E) \to K^{*}$ est un morphisme surjectif.

[ROM21]
p. 140

Théorème 4

Soit $u \in L (E)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u \in GL (E)$ .
$Ker (u) = {0}$ .
$Im (u) = E$ .
$rang (u) = n$ .
$det (u) = 0$ .
$u$ transforme toute base de $E$ en une base de $E$ .
Il existe $v \in L (E)$ tel que $u \circ v = id_{E}$ .
Il existe $w \in L (E)$ tel que $w \circ u = id_{E}$ .

Centre

[PER]
p. 98

Proposition 5

Soit $u \in GL (E)$ un endomorphisme laissant invariantes toutes les droites vectorielles de $E$ . Alors $u$ est une homothétie.

Théorème 6

$GL (E) = K^{*} \cdot id_{E}$

Sous-groupes notables

Groupe orthogonal

[ROM21]
p. 720

Définition 7

Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit orthogonal (ou est une isométrie) s’il est tel que $⟨ u (x), u (y)⟩ = ⟨ x, y ⟩$ pour tout $x, y \in E$ . On note $O (E)$ l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de $E$ .

Exemple 8

Les seules homothéties qui sont des isométries sont $- id_{E}$ et $id_{E}$ .
Si $n = 1$ , on a $O (E) = {\pm id_{E}}$ .

p. 743

Proposition 9

Soit $u \in L (E)$ . $u \in O (E) ⟺ \forall x \in E, ∥ u (x) ∥ = ∥ x ∥ ⟺ u \in GL (E) et u^{- 1} = u^{*}$

p. 721

Théorème 10

Les isométries sont des automorphismes. Il en résulte que $O (E)$ est un sous-groupe de $GL (E)$ .

Remarque 11

Ce n’est pas vrai en dimension infinie.

Théorème 12

Un endomorphisme de $E$ est une isométrie si et seulement s’il transforme toute base orthonormée de $E$ en une base orthonormée.

Théorème 13

Un endomorphisme de $E$ est une isométrie si et seulement si sa matrice $A$ dans une base orthonormée est inversible, d’inverse $(^{t} A$ .

On dit alors que $A$ est orthogonale.

Notation 14

On note $O_{n} (R)$ le groupe des matrices orthogonales.

Théorème 15

$\forall u \in O (E), det (u) = \pm 1$

Remarque 16

On a des résultats équivalents pour les matrices.

Théorème 17

Réduction des endomorphismes orthogonauxSoit $u \in O (E)$ . Alors, il existe $B$ une base orthonormée de $E$ telle que la matrice de $u$ dans $B$ est $I_{p} 00 ⋮ 0 0 - I_{q} 0 ⋱ \dots 00 R_{1} ⋱ \dots \dots \dots ⋱ ⋱ 0 00 ⋮ 0 R_{r}$ où $R_{i} = (cos (θ_{i}) sin (θ_{i}) - sin (θ_{i}) cos (θ_{i}))$ avec $\forall i \in [[1, r]], θ_{i} \in] 0, 2 π [$ .

Groupe spécial linéaire

p. 141

Définition 18

On définit $SL (E) = Ker (det)$ le groupe spécial linéaire de $E$ .

Remarque 19

On peut définir de manière analogue $SL_{n} (K)$ , et on a encore un isomorphisme entre ces deux groupes.

Théorème 20

$SL (E)$ est un sous-groupe distingué de $GL (E)$ . Le groupe quotient $GL (E) / SL (E)$ est isomorphe à $K^{*}$ et on a la suite exacte : ${id_{E}} \to SL (E) \to GL (E) d e t K^{*} \to {id_{E}}$

Théorème 21

$Z (SL (E)) = μ_{n} (K) \cdot id_{E}$ où $μ_{n} (K)$ désigne le groupe des racines de l’unité de $K$ .

[PER]
p. 97

Proposition 22

Soit $u \in GL (E) ∖ {id_{E}}$ . Soit $H$ un hyperplan de $E$ tel que $u_{∣ H} = id_{H}$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$det (u) = 1$ .
$u$ n’est pas diagonalisable.
$Im (u - id_{E}) \subseteq H$ .
Le morphisme induit $\overline{u} : E / H \to E / H$ est l’identité de $E / H$ .
En notant $H = Ker (f)$ (où $f$ désigne une forme linéaire sur $E$ ), il existe $a \in H ∖ {0}$ tel que $u = id_{E} + f \cdot a$
Dans une base adaptée, la matrice de $u$ s’écrit $I_{n - 2} 00 010011$

Définition 23

En reprenant les notations précédentes, on dit que $u$ est une transvection d’hyperplan $H$ et de droite $Vect (a)$ .

Proposition 24

Soient $u \in GL (E)$ et $τ$ une transvection d’hyperplan $H$ et de droite $D$ . Alors, $uτ u^{- 1}$ est une transvection d’hyperplan $u (H)$ et de droite $u (D)$ .

Théorème 25

Si $n \geq 2$ , les transvections engendrent $SL (E)$ .

Générateurs

Proposition 26

Soit $u \in GL (E)$ . Soit $H$ un hyperplan de $E$ tel que $u_{∣ H} = id_{H}$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$det (u) = λ \neq = 1$ .
$u$ admet une valeur propre $λ \neq = 1$ .
$Im (u - id_{E}) \neq \subseteq H$ .
Dans une base adaptée, la matrice de $u$ s’écrit $(I_{n - 1} 0 0 λ)$ avec $λ \neq = 1$ .

Définition 27

En reprenant les notations précédentes, on dit que $u$ est une dilatation de rapport $λ$ .

Théorème 28

Si $n \geq 2$ , les transvections et les dilatations engendrent $GL (E)$ .

[I-P]
p. 203

Notation 29

Soit $a \in F_{p}$ . On note $(\frac{a}{p})$ le symbole de Legendre de $a$ modulo $p$ .

Lemme 30

Soient $p \geq 3$ un nombre premier et $V$ un espace vectoriel sur $F_{p}$ de dimension finie. Les dilatations engendrent $GL (V)$ .

theoreme-de-frobenius-zolotarev

Application 31

Théorème de Frobenius-Zolotarev. Soient $p \geq 3$ un nombre premier et $V$ un espace vectoriel sur $F_{p}$ de dimension finie. $\forall u \in GL (V), ϵ (u) = (\frac{det ( u )}{p})$ où $u$ est vu comme une permutation des éléments de $V$ .

Groupes projectifs

[ROM21]
p. 141

Définition 32

On définit $PGL (E)$ (resp. $PSL (E)$ ) le quotient de $GL (E)$ (resp. $SL (E)$ ) par son centre.

Proposition 33

$Z (PGL (E)) = Z (PSL (E)) = {id_{E}}$

[ULM21]
p. 124

On se place pour la suite de cette sous-section dans le cas où $K = F_{q}$ .

Proposition 34

Les groupes précédents sont finis, et :

$∣ GL (E) ∣ = q^{\frac{n ( n - 1 )}{2}} ((q^{n} - 1) \dots (q - 1))$ .
$∣ PGL (E) ∣ = ∣ SL (E) ∣ = \frac{∣ GL ( E ) ∣}{q - 1}$ .
$∣ PSL (E) ∣ = \frac{∣ SL ( E ) ∣}{pgcd ( n , q - 1 )} = \frac{∣ GL ( E ) ∣}{( q - 1 ) pgcd ( n , q - 1 )}$ .

[ROM21]
p. 157

Application 35

Pour tout entier $p \in [[1, n]]$ , il y a $\frac{\prod _{k = n - (p - 1)}^{n} ( q ^{k} - 1 )}{\prod _{k = 1}^{p} ( q ^{k} - 1 )}$ sous-espaces vectoriels de dimension $p$ dans $E$ .

Actions sur l’algèbre des matrices

Action par translation

[ROM21]
p. 184

Proposition 36

Les applications $GL_{n} (K) \times M_{n} (K) (P, A) \to \mapsto M_{n} (K) P A$ et $GL_{n} (K) \times M_{n} (K) (P, A) \to \mapsto M_{n} (K) A P^{- 1}$ définissent une action de $GL_{n} (K)$ sur $M_{n} (K)$ .

Remarque 37

Pour la première action, deux matrices sont dans la même orbite si et seulement si elles ont même noyau. Pour la seconde, deux matrices sont dans la même orbite si et seulement si elles ont même image.

[C-G]
p. 376

Lemme 38

$\forall A \in S_{n}^{++} (R) \exists! B \in S_{n}^{++} (R) telle que B^{2} = A$

decomposition-polaire

Théorème 39

Décomposition polaireL’application $μ : O_{n} (R) \times S_{n}^{++} (R) (O, S) \to \mapsto GL_{n} (R) O S$ est un homéomorphisme.

Remarque 40

Ainsi, pour toute matrice $A \in GL_{n} (R)$ , il existe un représentant de $O_{n} (R)$ pour l’action par translation à gauche.

Action par conjugaison

[ROM21]
p. 199

Proposition 41

L’application $GL_{n} (K) \times M_{n} (K) (P, A) \to \mapsto M_{n} (K) P A P^{- 1}$ définit une action de $GL_{n} (K)$ sur $M_{n} (K)$ .

Définition 42

Deux matrices qui sont dans la même orbite pour cette action sont dites semblables.

[GOU21]
p. 127

Remarque 43

Deux matrices semblables représentes la même application linéaire dans deux bases de $K^{n}$ .

[ROM21]
p. 199

Théorème 44

Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables. Alors :

$trace (A) = trace (B)$ .
$det (A) = det (B)$ .
$rang (A) = rang (B)$ .
$χ_{A} = χ_{B}$ .
$π_{A} = π_{B}$ .

[D-L]
p. 137

Contre-exemple 45

Les matrices $(0000)$ et $(0010)$ ont la même trace, le même déterminant, le même polynôme caractéristique, mais ne sont pas semblables.

[GOU21]
p. 167

Théorème 46

Soient $L$ une extension de $K$ et $A, B \in M_{n} (K)$ . On suppose $K$ infini et $A, B$ semblables sur $L$ . Alors $A$ et $B$ sont semblables sur $K$ .

Action par congruence

[ROM21]
p. 206

On suppose $K$ de caractéristique différente de $2$ .

Proposition 47

L’application $GL_{n} (K) \times S_{n} (K) (P, A) \to \mapsto S_{n} (K) P A (^{t} P$ définit une action de $GL_{n} (K)$ sur $S_{n} (K)$ .

Définition 48

Deux matrices qui sont dans la même orbite pour cette action sont dites congruentes.

Remarque 49

Deux matrices congruentes représentent la même forme quadratique dans deux bases de $K^{n}$ .

Théorème 50

Théorème spectralToute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale.

Théorème 51

Si $K = C$ : deux matrices symétriques $A$ et $B$ sont congruentes si et seulement si elles ont même rang. Les orbites pour cette action sont les ensembles $O_{r} = {A \in S_{n} (C) ∣ rang (A) = r}$ pour $r \in [[0, n]]$ .
Si $K = R$ : deux matrices symétriques $A$ et $B$ sont congruentes si et seulement si elles ont même signature. Les orbites pour cette action sont les ensembles $O_{(s, t)} = {A \in S_{n} (R) ∣ sign (Φ_{A}) = (s, t)}$ où $Φ_{A}$ désigne la forme quadratique associée à une matrice $A \in S_{n} (R)$ .
Si $K = F_{q}$ avec $q$ impair : deux matrices symétriques $A$ et $B$ sont congruentes si et seulement si elles ont même rang et si leurs restrictions à des supplémentaires de leurs noyaux ont même discriminant modulo les carrés de $F_{q}^{*}$ .

Topologie

p. 159

On se place pour la suite de cette sous-section dans le cas où $K = R$ ou $C$ . On munit $E$ d’une norme $∥.∥$ et on note $∣∣∣.∣∣∣$ la norme subordonnée associée.