108 Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

algebra

Généralités

Soit $G$ un groupe.

Définitions

Lemme 1. Une intersection (quelconque) de sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$ .

Définition 2. Soit $X \subseteq G$ . On appelle sous-groupe engendré par $X$ , le plus petit sous-groupe (pour l’inclusion) de $G$ contenant $X$ . C’est l’intersection des sous-groupes de $G$ contenant $X$ . On le note $⟨ X ⟩$ ou $⟨ x_{1}, \dots, x_{n}$ si $X = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ .

Proposition 3. Soit $X \subseteq G$ . On pose $X^{- 1} = {x^{- 1} ∣ x \in X}$ . Alors, $⟨ X ⟩ = {x_{1} \dots x_{n} ∣ (x_{1} \dots x_{n}) \in X \cup X^{- 1}, n \in N^{*}}$

Définition 4. Une partie génératrice de $G$ est un sous-ensemble $X \subseteq G$ tel que $G = ⟨ X ⟩$ .

Exemple 5. Soit $D_{G}$ l’ensemble des commutateurs de $G$ (ie. éléments de la forme $g h g^{- 1}$ pour $g, h \in G$ ). On pose $D (G) = ⟨ D_{G} ⟩$ : $D (G)$ est le groupe dérivé de $G$ , c’est le plus grand sous-groupe tel que $G / D (G)$ est abélien.

Groupes monogènes

Définition 6. On dit que $G$ est monogène s’il existe $g \in G$ tel que $G = ⟨ g ⟩$ , et on dit que $G$ est cyclique s’il est monogène et fini.

Exemple 7.

$Z$ est monogène, l’ensemble de ses générateurs est $Z^{\times} = {\pm 1}$ .
$Z / n Z$ , l’ensemble de ses générateurs est $(Z / n Z)^{\times} = {k \in Z / n Z ∣ pgcd (k, n) = 1}$ .

Théorème 8.

Si $G$ est monogène infini, alors $G ≅ Z$ .
Si $G$ est cyclique d’ordre $n$ , alors $G ≅ Z / n Z$ .

Corollaire 9. Si $G = ⟨ g ⟩$ est cyclique d’ordre $n$ , alors l’ensemble de ses générateurs est ${g^{k} ∣ pgcd (k, n) = 1}$ .

p. 6

Définition 10. L’ordre d’un élément $g \in G$ est le cardinal de l’ensemble $⟨ g ⟩$ .

Remarque 11. $g \in G$ est d’ordre $n$ si et seulement si $g^{n} = e_{G}$ et $g^{k} \neq = e_{G}$ pour tout $k \in [[1, n - 1]]$ .

p. 14

Proposition 12. Un groupe de cardinal premier est cyclique.

Théorème 13. On suppose $G = ⟨ g ⟩$ cyclique d’ordre $n$ .

Les sous-groupes de $G$ sont cycliques d’ordre divisant $n$ .
Pour tout diviseur $d$ de $n$ , il existe un unique sous-groupe d’ordre $d$ : $⟨ g^{\frac{n}{d}} ⟩$ .

Remarque 14. Le résultat précédent est en fait caractéristique des groupes cycliques.

Structure des groupes abéliens de type fini

[ULM21]
p. 105

On suppose dans cette sous-section que $G$ est abélien.

Définition 15. $G$ est dit de type fini s’il existe une partie génératrice finie de $G$ .

p. 112

Théorème 16 (Kronecker). On suppose $G$ abélien de type fini. Il existe $r \in N$ et une suite d’entiers $n_{1} \geq 2$ , $n_{2}$ multiple de $n_{1}$ , …, $n_{k}$ multiple de $n_{k - 1}$ telle que $G$ est isomorphe au groupe produit $i = 1 \prod k Z / n_{i} Z \times Z^{r}$

Exemple 17. Si $G = Z /5 Z \times Z /5 Z \times Z /90 Z$ . Alors, $G ≅ Z /5 Z \times Z /5 Z \times (Z /2 Z \times Z / 3^{2} Z \times Z /5 Z) ≅ Z /2 Z \times Z / 3^{2} Z \times (Z /5 Z \times Z /5 Z \times Z /5 Z)$

Exemples de parties génératrices

Groupe symétrique

[ROM21]
p. 37

Définition 18. Soit $E$ un ensemble. On appelle groupe des permutations de $E$ le groupe des bijections de $E$ dans lui-même. On le note $S (E)$ .

Notation 19. Si $E = [[1, n]]$ , on note $S (E) = S_{n}$ , le groupe symétrique à $n$ éléments.

Notation 20. Soit $σ \in S_{n}$ . On note : $σ = (1 σ (1) 2 σ (2) \dots \dots n σ (n))$ pour signifier que $σ$ est la bijection $σ : k \mapsto σ (k)$ .

Définition 21. Soient $l \leq n$ et $i_{1}, \dots, i_{l} \in [[1, n]]$ des éléments distincts. La permutation $γ \in S_{n}$ définie par $γ (j) = ⎩ ⎨ ⎧ j i_{k + 1} i_{1} si j \in / {i_{1}, \dots, i_{l}} si j = i_{k} avec k < l si j = i_{l}$ et notée $(i_{1} \dots i_{l})$ est appelée cycle de longueur $l$ et de support ${i_{1}, \dots, i_{l}}$ . Un cycle de longueur $2$ est une transposition.

p. 44

Proposition 22.

$S_{n}$ est engendré par les transpositions. On peut même se limiter aux transpositions de la forme $(1 k)$ ou encore $(k k + 1)$ (pour $k \leq n$ ).
$S_{n}$ est engendré par $(12)$ et $(1 \dots n)$ .

p. 48

Définition 23.

Soit $σ \in S_{n}$ . On appelle signature de $σ$ , notée $ϵ (σ)$ l’entier $ϵ (σ) = \prod_{i \neq = j} \frac{σ ( i ) - σ ( j )}{i - j}$ .
$σ \mapsto ϵ (σ)$ est un morphisme de $S_{n}$ dans ${\pm 1}$ , on note $A_{n}$ son noyau.

[PER]
p. 15

Lemme 24. Les $3$ -cycles sont conjugués dans $A_{n}$ pour $n \geq 5$ .

[ROM21]
p. 49

Lemme 25. Le produit de deux transpositions est un produit de $3$ -cycles.

Proposition 26. $A_{n}$ est engendré par les $3$ -cycles pour $n \geq 3$ .

[PER]
p. 28

simplicite-du-groupe-alterne

Théorème 27. $A_{n}$ est simple pour $n \geq 5$ .

Corollaire 28. Le groupe dérivé de $A_{n}$ est $A_{n}$ pour $n \geq 5$ , et le groupe dérivé de $S_{n}$ est $A_{n}$ pour $n \geq 2$ .

Groupe diédral

[ULM21]
p. 8

Définition 29. Pour un entier $n \geq 1$ , le groupe diédral $D_{n}$ est le sous-groupe, de $GL_{2} (R)$ engendré par la symétrie axiale $s$ et la rotation d’angle $θ = \frac{2 π}{n}$ définies respectivement par les matrices $S = (10 0 - 1) et R = (cos (θ) sin (θ) - sin (θ) cos (θ))$

Exemple 30. $D_{1} = {id, s}$ .

Proposition 31.

$D_{n}$ est un groupe d’ordre $2 n$ .
$r^{n} = s^{2} = id$ et $sr = r^{- 1} s$ .

p. 28

Proposition 32. Un groupe non cyclique d’ordre $4$ est isomorphe à $D_{2}$ .

p. 65

Exemple 33. $S_{2}$ est isomorphe à $D_{2}$ .

p. 28

Proposition 34. Un groupe fini d’ordre $2 p$ avec $p$ premier est soit cyclique, soit isomorphe à $D_{p}$ .

Exemple 35. $S_{3}$ est isomorphe à $D_{3}$ .

p. 47

Proposition 36. Les sous-groupes de $D_{n}$ sont soit cyclique, soit isomorphes à un $D_{m}$ où $m ∣ n$ .

Applications en algèbre linéaire

Groupe linéaire

[PER]
p. 97

Proposition 37. Soit $u \in GL (E) ∖ {id_{E}}$ . Soit $H$ un hyperplan de $E$ tel que $u_{∣ H} = id_{H}$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$det (u) = 1$ .
$u$ n’est pas diagonalisable.
$Im (u - id_{E}) \subseteq H$ .
Le morphisme induit $\overline{u} : E / H \to E / H$ est l’identité de $E / H$ .
En notant $H = Ker (f)$ (où $f$ désigne une forme linéaire sur $E$ ), il existe $a \in H ∖ {0}$ tel que $u = id_{E} + f \cdot a$
Dans une base adaptée, la matrice de $u$ s’écrit $I_{n - 2} 00 010011$

Définition 38. En reprenant les notations précédentes, on dit que $u$ est une transvection d’hyperplan $H$ et de droite $Vect (a)$ .

Proposition 39. Soient $u \in GL (E)$ et $τ$ une transvection d’hyperplan $H$ et de droite $D$ . Alors, $uτ u^{- 1}$ est une transvection d’hyperplan $u (H)$ et de droite $u (D)$ .

Théorème 40. Si $n \geq 2$ , les transvections engendrent $SL (E)$ .

Proposition 41. Soit $u \in GL (E)$ . Soit $H$ un hyperplan de $E$ tel que $u_{∣ H} = id_{H}$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$det (u) = λ \neq = 1$ .
$u$ admet une valeur propre $λ \neq = 1$ .
$Im (u - id_{E}) \neq \subseteq H$ .
Dans une base adaptée, la matrice de $u$ s’écrit $(I_{n - 1} 0 0 λ)$ avec $λ \neq = 1$ .

Théorème 42. Si $n \geq 2$ , les transvections et les dilatations engendrent $GL (E)$ .

[I-P]
p. 203

Notation 43. Soit $a \in F_{p}$ . On note $(\frac{a}{p})$ le symbole de Legendre de $a$ modulo $p$ .

Lemme 44. Soient $p \geq 3$ un nombre premier et $V$ un espace vectoriel sur $F_{p}$ de dimension finie. Les dilatations engendrent $GL (V)$ .

theoreme-de-frobenius-zolotarev

Application 45 (Théorème de Frobenius-Zolotarev). Soient $p \geq 3$ un nombre premier et $V$ un espace vectoriel sur $F_{p}$ de dimension finie. $\forall u \in GL (V), ϵ (u) = (\frac{det ( u )}{p})$ où $u$ est vu comme une permutation des éléments de $V$ .

Groupe orthogonal

[PER]
p. 123

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ . Soit $φ$ une forme bilinéaire, symétrique, non dégénérée sur $E$ . On note $q$ la forme quadratique associée.

Définition 46.

On appelle isométries de $E$ (relativement à $q$ ), les endomorphismes $u \in GL (E)$ qui vérifient : $\forall x, y \in E, q (x, y) = q (u (x), u (y))$
L’ensemble des isométries de $E$ forme un groupe, appelé groupe orthogonal de $E$ , et noté $O_{q} (E)$ .
Le sous-groupe des isométries de $E$ de déterminant $1$ est appelé groupe spécial orthogonal de $E$ , et est noté $SO_{q} (E)$ .

Définition 47. Soit $u \in SO_{q} (E)$ tel que $u^{2} = id_{E}$ .

On dit que $u$ est une réflexion si $dim (Ker (u + id_{E})) = 1$ (ie. $u$ est une symétrie par rapport à un hyperplan).
On dit que $u$ est un retournement si $dim (Ker (u + id_{E})) = 2$ (ie. $u$ est une symétrie par rapport à un plan).

On suppose désormais de plus que $φ$ est définie positive (ie. $φ$ est un produit scalaire).

Théorème 48. On suppose $n \geq 3$ . Alors :

$O_{q} (E)$ est engendré par les réflexions.
$SO_{q} (E)$ est engendré par les retournements.

Application 49. On suppose $n \geq 3$ . Alors :

$D (O_{q} (E)) = SO_{q} (E)$ .
$D (SO_{q} (E)) = SO_{q} (E)$ .