108 Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

algebra

Généralités

Soit un groupe.

Définitions

Lemme 1. Une intersection (quelconque) de sous-groupes de est un sous-groupe de .

Définition 2. Soit . On appelle sous-groupe engendré par , le plus petit sous-groupe (pour l’inclusion) de contenant . C’est l’intersection des sous-groupes de contenant . On le note ou si .

Proposition 3. Soit . On pose . Alors,

Définition 4. Une partie génératrice de est un sous-ensemble tel que .

Exemple 5. Soit l’ensemble des commutateurs de (ie. éléments de la forme pour ). On pose : est le groupe dérivé de , c’est le plus grand sous-groupe tel que est abélien.

Groupes monogènes

Définition 6. On dit que est monogène s’il existe tel que , et on dit que est cyclique s’il est monogène et fini.

Exemple 7.

  1. est monogène, l’ensemble de ses générateurs est .

  2. , l’ensemble de ses générateurs est .

Théorème 8.

  1. Si est monogène infini, alors .

  2. Si est cyclique d’ordre , alors .

Corollaire 9. Si est cyclique d’ordre , alors l’ensemble de ses générateurs est .

Définition 10. L’ordre d’un élément est le cardinal de l’ensemble .

Remarque 11. est d’ordre si et seulement si et pour tout .

Proposition 12. Un groupe de cardinal premier est cyclique.

Théorème 13. On suppose cyclique d’ordre .

  1. Les sous-groupes de sont cycliques d’ordre divisant .

  2. Pour tout diviseur de , il existe un unique sous-groupe d’ordre : .

Remarque 14. Le résultat précédent est en fait caractéristique des groupes cycliques.

Structure des groupes abéliens de type fini

On suppose dans cette sous-section que est abélien.

Définition 15. est dit de type fini s’il existe une partie génératrice finie de .

Théorème 16 (Kronecker). Soit un groupe abélien d’ordre . Il existe et une suite d’entiers , multiple de , …, multiple de telle que est isomorphe au groupe produit

Exemple 17. Si . Alors,

Exemples de parties génératrices

Groupe symétrique

Définition 18. Soit un ensemble. On appelle groupe des permutations de le groupe des bijections de dans lui-même. On le note .

Notation 19. Si , on note , le groupe symétrique à éléments.

Notation 20. Soit . On note : pour signifier que est la bijection .

Définition 21. Soient et des éléments distincts. La permutation définie par et notée est appelée cycle de longueur et de support . Un cycle de longueur est une transposition.

Proposition 22.

  1. est engendré par les transpositions. On peut même se limiter aux transpositions de la forme ou encore (pour ).

  2. est engendré par et .

Définition 23.

  • Soit . On appelle signature de , notée l’entier .

  • est un morphisme de dans , on note son noyau.

Lemme 24. Les -cycles sont conjugués dans pour .

Lemme 25. Le produit de deux transpositions est un produit de -cycles.

Proposition 26. est engendré par les -cycles pour .

Théorème 27. est simple pour .

Corollaire 28. Le groupe dérivé de est pour , et le groupe dérivé de est pour .

Groupe diédral

Définition 29. Pour un entier , le groupe diédral est le sous-groupe, de engendré par la symétrie axiale et la rotation d’angle définies respectivement par les matrices

Exemple 30. .

Proposition 31.

  1. est un groupe d’ordre .

  2. et .

Proposition 32. Un groupe non cyclique d’ordre est isomorphe à .

Exemple 33. est isomorphe à .

Proposition 34. Un groupe fini d’ordre avec premier est soit cyclique, soit isomorphe à .

Exemple 35. est isomorphe à .

Proposition 36. Les sous-groupes de sont soit cyclique, soit isomorphes à un .

Applications en algèbre linéaire

Groupe linéaire

Proposition 37. Soit . Soit un hyperplan de tel que . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. n’est pas diagonalisable.

  3. .

  4. Le morphisme induit est l’identité de .

  5. En notant (où désigne une forme linéaire sur ), il existe tel que

  6. Dans une base adaptée, la matrice de s’écrit

Définition 38. En reprenant les notations précédentes, on dit que est une transvection d’hyperplan et de droite .

Proposition 39. Soient et une transvection d’hyperplan et de droite . Alors, est une transvection d’hyperplan et de droite .

Théorème 40. Si , les transvections engendrent .

Proposition 41. Soit . Soit un hyperplan de tel que . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. admet une valeur propre .

  3. .

  4. Dans une base adaptée, la matrice de s’écrit avec .

Théorème 42. Si , les transvections et les dilatations engendrent .

Notation 43. Soit . On note le symbole de Legendre de modulo .

Lemme 44. Soient un nombre premier et un espace vectoriel sur de dimension finie. Les dilatations engendrent .

Application 45 (Théorème de Frobenius-Zolotarev). Soient un nombre premier et un espace vectoriel sur de dimension finie. est vu comme une permutation des éléments de .

Groupe orthogonal

Soit un espace vectoriel réel de dimension . Soit une forme bilinéaire, symétrique, non dégénérée sur . On note la forme quadratique associée.

Définition 46.

  • On appelle isométries de (relativement à ), les endomorphismes qui vérifient :

  • L’ensemble des isométries de forme un groupe, appelé groupe orthogonal de , et noté .

  • Le sous-groupe des isométries de de déterminant est appelé groupe spécial orthogonal de , et est noté .

Définition 47. Soit tel que .

  • On dit que est une réflexion si (ie. est une symétrie par rapport à un hyperplan).

  • On dit que est un retournement si (ie. est une symétrie par rapport à un plan).

On suppose désormais de plus que est définie positive (ie. est un produit scalaire).

Théorème 48. On suppose . Alors :

  1. est engendré par les réflexions.

  2. est engendré par les retournements.

Application 49. On suppose . Alors :

  1. .

  2. .