120 Anneaux . Applications.

Anneaux . Applications.

algebra

Soit un entier.

L’anneau

Construction

Théorème 1 (Division euclidienne dans ).

Définition 2. Soient . On dit que est congru à modulo si . On note cela .

Proposition 3. Soient tels que et . Alors :

  1. .

Lemme 4. Tout idéal de est principal, de la forme .

Définition 5. Le quotient de l’anneau par son idéal est l’anneau noté . On note l’image d’un élément dans .

Remarque 6. Soient .

Proposition 7.

  1. .

  2. La compatibilité de avec les lois et sur conjuguée à la remarque précédente transporte la structure d’anneau à en posant, pour tout :

    • .

    • .

Le groupe additif

Générateurs

Théorème 8. Soit . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. .

  3. est un générateur de .

Exemple 9. .

Proposition 10.

  1. est monogène, l’ensemble de ses générateurs est .

  2. , l’ensemble de ses générateurs est .

Corollaire 11. Soit un groupe.

  1. Si est monogène infini, alors .

  2. Si est cyclique d’ordre , alors .

Exemple 12. Le groupe des racines -ièmes de l’unité, , est isomorphe via

Sous-groupes additifs et idéaux

Théorème 13. Les sous-groupes additifs de sont cycliques d’ordre divisant . Réciproquement, pour tout diviseur de , il existe un unique sous-groupe de , c’est le groupe cyclique engendré par .

Théorème 14.

  1. Les idéaux de sont ses sous-groupes additifs.

  2. Les idéaux premiers de sont les idéaux maximaux de : ce sont les idéaux engendrés par est un diviseur premier de .

Indicatrice d’Euler

Définition 15. L’indicatrice d’Euler est la fonction qui à un entier , associe le nombre d’entiers compris entre et qui sont premiers avec .

Remarque 16. D’après le Théorème 8, est le nombre de générateurs de et est également le cardinal de .

Exemple 17.

  • Si est premier, .

  • d’après l’Exemple 9.

Proposition 18. Pour tout premier et pour tout entier ,

Théorème 19 (Chinois). Soient et deux entiers premiers entre eux. Alors,

Corollaire 20. premiers entre eux,

Proposition 21 (Théorème Euler). Pour tout entier relatif premier avec , .

Proposition 22 (Petit théorème de Fermat). Pour tout entier relatif , pour tout premier, .

Proposition 23. Pour tout entier naturel ,

Cas où est premier

Structure de corps

Proposition 24. Les assertions suivantes sont équivalentes.

  1. est un nombre premier.

  2. est intègre.

  3. est un corps.

Théorème 25. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique.

Corollaire 26. Si désigne un nombre premier, est cyclique.

Remarque 27. On a un résultat encore plus fort : est cyclique si et seulement si avec premier impair et .

Carrés

Remarque 28. Tout élément de est un carré.

Soit un nombre premier impair.

Théorème 29.

  1. Il y a carrés et autant de non carrés dans .

  2. Les carrés de sont les racines de et les non carrés celles de .

Corollaire 30. est un carré dans si et seulement si .

Applications

Systèmes de congruences

Proposition 31. Soit un entier non nul. L’équation admet des solutions si et seulement si .

Corollaire 32. Soient un entier non nul et un entier relatif. L’équation a des solutions si et seulement si . Dans ce cas, l’ensemble des solutions est est une solution de l’équation .

Pour résoudre des systèmes de congruences, on va préciser le Théorème 19.

Théorème 33 (Chinois). Soient des entiers. On note et la surjection canonique de sur pour tout .

Les entiers sont premiers entre eux si et seulement si les anneaux et sont isomorphes. Dans ce cas, l’isomorphisme est explicité par l’application

Exemple 34. admet pour ensemble de solutions .

Étude d’équations diophantiennes

Entiers sommes de deux carrés

Notation 35. On note et l’ensemble des entiers qui sont somme de deux carrés.

Remarque 36. .

Théorème 37 (Deux carrés de Fermat). Soit . Alors si et seulement si est pair pour tout premier tel que (où désigne la valuation -adique de ).

Premiers congrus à modulo

Notation 38. On note le -ième polynôme cyclotomique.

Lemme 39. Soient et premier tels que mais pour tout diviseur strict de . Alors .

Théorème 40 (Dirichlet faible). Pour tout entier , il existe une infinité de nombres premiers congrus à modulo .

Irréductibilité de polynômes

Lemme 41 (Gauss).

  1. Le produit de deux polynômes primitifs est primitif (ie. dont le PGCD des coefficients est égal à ).

  2. , (où est le contenu du polynôme ).

Théorème 42 (Critère d’Eisenstein). Soit de degré . On suppose qu’il existe premier tel que :

  1. , .

  2. .

  3. .

Alors est irréductible dans .

Application 43. Soit . Il existe des polynômes irréductibles de degré sur .

Théorème 44 (Critère d’irréductibilité modulo ). Soit de degré . Soit un premier. On suppose .

Si est irréductible dans , alors est irréductible dans .

Exemple 45. Le polynôme est irréductible dans .

Chiffrement RSA

Définition 46. Afin de chiffrer un message (tout entier découpé en séquence d’entiers de taille bornée) en utilisant RSA, on doit a besoin de deux clés :

  • Une clé privée, qui est un couple de nombres premiers .

  • La clé publique correspondante, qui est le couple et est l’inverse de modulo désigne un nombre premier à .

Nous conserverons ces notations pour la suite.

Théorème 47 (Chiffrement RSA). Soit un message où pour tout , .

  1. Possédant la clé publique, on peut chiffrer ce message en un message :

  2. Possédant la clé privée, on peut déchiffrer le message pour reconstituer :

Remarque 48.

  • L’intérêt vient pour des premiers et très grands : il devient alors très compliqué de factoriser et d’obtenir la clé privée.

  • Les inverses peuvent se calculer à l’aide de l’algorithme de Bézout.