122 Anneaux principaux. Exemples et applications.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

algebra

Soit un anneau unitaire.

Structures algébriques

Idéaux

Définition 1. Un sous ensemble est un idéal de si :

  1. est un sous groupe de .

  2. Les produits et appartiennent à pour tout dans et (propriété d’absorption).

Si est un idéal de . Alors, est un anneau, muni des lois et , et est appelé anneau quotient de par .

Remarque 2.

  • Un anneau non nul possède toujours les deux idéaux et lui-même.

  • Un idéal contenant est égal à l’anneau entier (à cause de la propriété d’absorption). Par conséquent, un idéal différent de l’anneau ambiant n’est jamais un sous-anneau de celui-ci.

Exemple 3. Les idéaux de sont les pour .

Proposition 4. Soient un morphisme d’anneaux et , deux idéaux.

  1. L’ensemble est un idéal de . En particulier, est un idéal de .

  2. Si est surjectif, alors est un idéal de .

Définition 5. Soit .

  • est un idéal de noté est appelé idéal engendré par .

  • On a . Si est commutatif, .

Définition 6. Soit un idéal de .

  • est dit maximal si et si et sont les seuls idéaux de qui le contiennent.

  • On suppose commutatif. est dit premier si et

Proposition 7. On suppose commutatif. Soit un idéal de .

  1. est maximal si et seulement si est un corps.

  2. est premier si et seulement si est un anneau intègre.

Corollaire 8. Dans un anneau commutatif, un idéal maximal est premier.

Contre-exemple 9. est un idéal premier de mais non maximal.

Anneaux principaux

Définition 10.

  • Un idéal est dit principal s’il est engendré par un seul élément.

  • Un anneau est dit principal s’il est intègre (donc commutatif) et si tous ses idéaux sont principaux.

Exemple 11. Comme dit dans l’Exemple 3, est un anneau principal.

Définition 12. On suppose commutatif. Un élément de est dit irréductible si désigne le groupe des inversibles de .

Théorème 13. On suppose principal. Soit .

  1. est premier si et seulement si est irréductible.

  2. En supposant , est premier si et seulement si est maximal.

Anneaux euclidiens

Définition 14.

  • est dit euclidien s’il est intègre et s’il existe une fonction telle que

  • L’élément est le quotient et l’élément est le reste de la division.

  • La fonction est appelée stathme euclidien pour .

Exemple 15. est un anneau euclidien pour le stathme .

Proposition 16. Un anneau euclidien est principal.

Contre-exemple 17. est principal mais n’est pas euclidien.

Théorème 18. Si est un corps commutatif, alors est un anneau euclidien de stathme le degré. De plus, le quotient et le reste sont uniques.

Corollaire 19. On suppose commutatif. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. est un corps commutatif.

  2. est un anneau euclidien.

  3. est un anneau principal.

Corollaire 20. Soient un corps commutatif et . Alors est un corps si et seulement si est irréductible dans .

Arithmétique dans les anneaux

On suppose commutatif dans toute cette section.

Divisibilité dans un anneau principal

Définition 21. Soient .

  • On dit que divise (ou que est un multiple de ), noté s’il existe tel que .

  • On dit que et sont associés, noté si et si .

Remarque 22. Soient .

  • .

  • . Ainsi, est une relation d’équivalence sur .

Proposition 23. Soient . Alors,

Définition 24. Soient .

  • est un plus grand commun diviseur PGCD de si satisfait les deux propriétés suivantes :

    1. .

    2. Si tel que , alors .

  • est un plus petit commun multiple PPCM de si satisfait les deux propriétés suivantes :

    1. .

    2. Si tel que , alors .

Remarque 25. Un PGCD (resp. un PPCM), lorsqu’il existe, n’est pas toujours unique. Dans un anneau intègre, deux PGCD (resp. PPCM) sont toujours associés puisqu’ils se divisent l’un l’autre. Dans un anneau intègre, on peut donc noter (resp. ) lorsque est un pgcd (resp. est un ppcm) de et de .

Exemple 26. Soient un corps commutatif. On pose pour . Alors, pour , le PGCD unitaire de et est égal à .

Proposition 27. Soient . Un élément est un PPCM de et si et seulement si . En particulier, et admettent un PPCM si et seulement si est un idéal principal.

Proposition 28. Soient . Soit . Les assertions suivantes sont équivalentes.

  1. , et il existe tels que .

  2. et il existe tels que .

  3. .

Théorème 29 (Décomposition de Bézout). On suppose principal. Soient . Alors :

  1. Il existe un de . est tel que . En particulier, est de la forme avec .

  2. Il existe un de . est tel que .

Remarque 30. Une façon d’obtenir ces coefficients si est euclidien est d’utiliser l’algorithme d’Euclide généralisé.

Exemple 31. Dans :

Application 32. est inversible dans d’inverse .

Définition 33. Deux éléments et de sont dits premiers entre eux s’ils admettent un PGCD et .

Exemple 34. et sont premiers entre eux dans .

Lemme 35 (Gauss). On suppose principal. Soient avec et premiers entre eux. Alors, et

Anneaux factoriels

Définition 36. est dit factoriel s’il est intègre et si, pour tout élément non inversible, les conditions suivantes sont satisfaites :

  1. avec irréductible (existence d’une décomposition en produit d’irréductibles).

  2. Si avec irréductible et irréductible, alors et pour toute permutation d’indice, (unicité de la décomposition).

Proposition 37. Si vérifie le Point 0, alors les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. vérifie le Point 2.

  2. vérifie le lemme d’Euclide : si est irréductible, alors .

  3. Pour tout , est irréductible si et seulement si premier.

  4. vérifie le lemme de Gauss : si est irréductible, alors pour tout avec et premiers entre eux.

Proposition 38. On suppose factoriel. Tout élément peut s’écrire de manière unique est un système de représentants d’éléments premiers de (pour le relation ), est inversible et tous nuls sauf un nombre fini.

Exemple 39. Dans l’anneau principal (donc factoriel, voir Théorème 41) , un choix standard pour est l’ensemble des nombres premiers positifs.

Proposition 40. On suppose factoriel. Soient . Alors, en reprenant les notations précédentes :

  1. pour tout .

  2. est un PGCD de et de .

  3. est un PPCM de et de .

Théorème 41. Tout anneau principal est factoriel.

Contre-exemple 42. est principal mais n’est pas factoriel.

Lemme 43 (Gauss). On suppose factoriel. Alors :

  1. Le produit de deux polynômes primitifs est primitif (ie. dont le PGCD des coefficients est associé à ).

  2. , (où est le contenu du polynôme ).

Théorème 44 (Critère d’Eisenstein). Soient le corps des fractions de et de degré . On suppose que est factoriel et qu’il existe irréductible tel que :

  1. , .

  2. .

  3. .

Alors est irréductible dans .

Application 45. Soit . Il existe des polynômes irréductibles de degré sur .

Théorème chinois

Théorème 46 (Théorème chinois). Soient des idéaux de tels que . Alors, est un morphisme surjectif de noyau . En particulier, est isomorphe à .

Corollaire 47. On suppose principal. Pour tout et premiers entre eux deux à deux, le système de congruences admet une unique solution dans . Il existe donc dans une unique solution unique à multiples de près.

Exemple 48. Le système admet une unique solution dans : . Les solutions dans sont donc de la forme avec .

Application 49 (Polynômes d’interpolation de Lagrange). Soit un corps commutatif, des éléments distincts de et des éléments de . Alors, il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à tel que pour tout .

Applications

Équations diophantiennes

Définition 50. L’anneau est l’anneau des entiers de Gauss. On définit

Notation 51. On note l’ensemble des entiers qui sont somme de deux carrés.

Lemme 52. Soit un nombre premier. Alors est un carré si et seulement si .

Lemme 53.

  1. est multiplicative.

  2. .

  3. est euclidien de stathme .

Lemme 54. Soit un nombre premier. Si n’est pas irréductible dans , alors .

Théorème 55 (Deux carrés de Fermat). Soit . Alors si et seulement si est pair pour tout premier tel que (où désigne la valuation -adique de ).

En algèbre linéaire

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps . Soit un endomorphisme de .

Application 56. Il existe un unique polynôme de unitaire qui engendre l’idéal : c’est le polynôme minimal de , noté . Il s’agit du polynôme unitaire de plus bas degré annulant . Il divise tous les autres polynômes annulateurs de .

Théorème 57 (Lemme des noyaux). Soit où les polynômes sont premiers entre eux deux à deux. Alors,

Application 58. est diagonalisable si et seulement si est scindé à racines simples.