122 Anneaux principaux. Exemples et applications.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

algebra

Soit $A$ un anneau unitaire.

Structures algébriques

Idéaux

[ULM18]
p. 5

p. 11

Définition 1. Un sous ensemble $I \subseteq A$ est un idéal de $A$ si :

$(I, +)$ est un sous groupe de $(A, +)$ .
Les produits $ai$ et $ia$ appartiennent à $I$ pour tout $a$ dans $A$ et $i \in I$ (propriété d’absorption).

Si $I$ est un idéal de $A$ . Alors, $A / I = {\overline{a} = a + I ∣ a \in A}$ est un anneau, muni des lois $\overline{a} + \overline{b} = \overline{a + b}$ et $\overline{a} \overline{b} = \overline{ab}$ , et est appelé anneau quotient de $A$ par $I$ .

p. 5

Remarque 2.

Un anneau non nul possède toujours les deux idéaux $0$ et lui-même.
Un idéal contenant $1$ est égal à l’anneau entier (à cause de la propriété d’absorption). Par conséquent, un idéal différent de l’anneau ambiant n’est jamais un sous-anneau de celui-ci.

Exemple 3. Les idéaux de $Z$ sont les $n Z = {nk ∣ k \in Z}$ pour $n \in Z$ .

Proposition 4. Soient $φ : A \to B$ un morphisme d’anneaux et $I \subseteq A$ , $J \subseteq B$ deux idéaux.

L’ensemble $φ^{- 1} (J)$ est un idéal de $A$ . En particulier, $Ker (φ)$ est un idéal de $A$ .
Si $φ$ est surjectif, alors $φ (I)$ est un idéal de $B$ .

Définition 5. Soit $S \subseteq A$ .

$⋂ {I I id \overset{e}{ˊ} al de A ∣ S \subseteq I}$ est un idéal de $A$ noté $(S)$ est appelé idéal engendré par $S$ .
On a $(S) = {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} s_{i} b_{i} ∣ a_{i}, b_{i} \in A, s_{i} \in S, n \in N}$ . Si $A$ est commutatif, $(S) = {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} s_{i} ∣ a_{i} \in A, s_{i} \in S, n \in N}$ .

p. 31

Définition 6. Soit $I$ un idéal de $A$ .

$I$ est dit maximal si $I ⊊ A$ et si $A$ et $I$ sont les seuls idéaux de $A$ qui le contiennent.
On suppose $A$ commutatif. $I$ est dit premier si $I ⊊ A$ et $\forall a, b \in A, ab \in I ⟹ a \in I ou b \in I$

Proposition 7. On suppose $A$ commutatif. Soit $I$ un idéal de $A$ .

$I$ est maximal si et seulement si $A / I$ est un corps.
$I$ est premier si et seulement si $A / I$ est un anneau intègre.

Corollaire 8. Dans un anneau commutatif, un idéal maximal est premier.

Contre-exemple 9. ${0}$ est un idéal premier de $Z$ mais non maximal.

Anneaux principaux

p. 39

Définition 10.

Un idéal est dit principal s’il est engendré par un seul élément.
Un anneau est dit principal s’il est intègre (donc commutatif) et si tous ses idéaux sont principaux.

Exemple 11. Comme dit dans l’Exemple 3, $Z$ est un anneau principal.

p. 45

Définition 12. On suppose $A$ commutatif. Un élément $a$ de $A$ est dit irréductible si $a \in / A^{\times}, a \neq = 0 et a = b c ⟹ b \in A^{\times} ou b \in A^{\times}$ où $A^{\times}$ désigne le groupe des inversibles de $A$ .

Théorème 13. On suppose $A$ principal. Soit $a \in A$ .

$(a)$ est premier si et seulement si $a$ est irréductible.
En supposant $a \neq = 0$ , $(a)$ est premier si et seulement si $(a)$ est maximal.

Anneaux euclidiens

p. 43

Définition 14.

$A$ est dit euclidien s’il est intègre et s’il existe une fonction $ν : A^{*} \to N$ telle que $\forall a, b \in A^{*}, \exists q, r \in A tels que a = b q + r avec (r = 0 ou ν (r) < ν (b))$
L’élément $q$ est le quotient et l’élément $r$ est le reste de la division.
La fonction $ν$ est appelée stathme euclidien pour $A$ .

Exemple 15. $Z$ est un anneau euclidien pour le stathme $ν : n \mapsto ∣ n ∣$ .

Proposition 16. Un anneau euclidien est principal.

[PER]
p. 53

Contre-exemple 17. $Z [\frac{1 + i 19}{2}]$ est principal mais n’est pas euclidien.

[ULM18]
p. 47

Théorème 18. Si $K$ est un corps commutatif, alors $K [X]$ est un anneau euclidien de stathme le degré. De plus, le quotient et le reste sont uniques.

Corollaire 19. On suppose $A$ commutatif. Les assertions suivantes sont équivalentes :

$A$ est un corps commutatif.
$A [X]$ est un anneau euclidien.
$A [X]$ est un anneau principal.

Corollaire 20. Soient $K$ un corps commutatif et $f \in K [X]$ . Alors $K [X] / (f)$ est un corps si et seulement si $P$ est irréductible dans $K [X]$ .

Arithmétique dans les anneaux

On suppose $A$ commutatif dans toute cette section.

Divisibilité dans un anneau principal

p. 39

Définition 21. Soient $a, b \in A$ .

On dit que $a$ divise $b$ (ou que $b$ est un multiple de $a$ ), noté $a ∣ b$ s’il existe $c \in A$ tel que $b = a c$ .
On dit que $a$ et $b$ sont associés, noté $a \sim b$ si $a ∣ b$ et si $b ∣ a$ .

Remarque 22. Soient $a, b \in A$ .

$a ∣ b ⟺ (b) \subseteq (a)$ .
$a \sim b ⟺ (b) = (a)$ . Ainsi, $\sim$ est une relation d’équivalence sur $A$ .

Proposition 23. Soient $a, b \in A$ . Alors, $a \sim b ⟺ \exists u \in A^{\times} tel que b = u a$

Définition 24. Soient $a_{1}, \dots, a_{n} \in A^{*}$ .

$d \in A$ est un plus grand commun diviseur PGCD de $a_{1}, \dots, a_{m}$ si $d$ satisfait les deux propriétés suivantes :
1. $d ∣ a_{i}, \forall i \in [[1, n]]$ .
2. Si $\exists d^{'} \in A$ tel que $d^{'} ∣ a_{i}, \forall i \in [[1, n]]$ , alors $d^{'} ∣ d$ .
$m \in A$ est un plus petit commun multiple PPCM de $a_{1}, \dots, a_{n}$ si $m$ satisfait les deux propriétés suivantes :
1. $a_{i} ∣ m, \forall i \in [[1, n]]$ .
2. Si $\exists m^{'} \in A$ tel que $a_{i} ∣ m^{'}, \forall i \in [[1, n]]$ , alors $m ∣ m^{'}$ .

Remarque 25. Un PGCD (resp. un PPCM), lorsqu’il existe, n’est pas toujours unique. Dans un anneau intègre, deux PGCD (resp. PPCM) sont toujours associés puisqu’ils se divisent l’un l’autre. Dans un anneau intègre, on peut donc noter $d \sim pgcd (a, b)$ (resp. $m \sim pgcd (a, b)$ ) lorsque $d$ est un pgcd (resp. $m$ est un ppcm) de $a$ et de $b$ .

[GOU21]
p. 60

Exemple 26. Soient $K$ un corps commutatif. On pose $P_{n} = X^{n} - 1 \in K [X]$ pour $n \in N^{*}$ . Alors, pour $a, b \in N^{*}$ , le PGCD unitaire de $P_{a}$ et $P_{b}$ est égal à $P_{pgcd (a, b)}$ .

[ULM18]
p. 40

Proposition 27. Soient $a, b \in A^{*}$ . Un élément $c \in A$ est un PPCM de $a$ et $b$ si et seulement si $(a) \cap (b) = (c)$ . En particulier, $a$ et $b$ admettent un PPCM si et seulement si $(a) \cap (b)$ est un idéal principal.

Proposition 28. Soient $a, b \in A^{*}$ . Soit $d \in A$ . Les assertions suivantes sont équivalentes.

$d ∣ a$ , $d ∣ b$ et il existe $u, v \in A$ tels que $d = a u + b v$ .
$d \sim pgcd (a, b)$ et il existe $u, v \in A$ tels que $d = a u + b v$ .
$(d) = (a, b)$ .

Théorème 29 (Décomposition de Bézout). On suppose $A$ principal. Soient $a_{1}, \dots, a_{n} \in A^{*}$ . Alors :

Il existe $d$ un $pgcd$ de $a_{1}, \dots, a_{n}$ . $d$ est tel que $(d) = (a_{1}, \dots, a_{n})$ . En particulier, $d$ est de la forme $d = b_{1} a_{1} + \dots + b_{n} a_{n}$ avec $\forall i \in [[1, n]], b_{i} \in A$ .
Il existe $m$ un $ppcm$ de $a_{1}, \dots, a_{n}$ . $m$ est tel que $(m) = (a_{1}) \cap \dots \cap (a_{n})$ .

Remarque 30. Une façon d’obtenir ces coefficients si $A$ est euclidien est d’utiliser l’algorithme d’Euclide généralisé.

p. 52

Exemple 31. Dans $F_{2} [X]$ : $- X (X^{3} + X^{2} + 1) + (1 + X^{2}) (X^{2} + X + 1) = 1$

Application 32. $\overline{X}^{2} + 1$ est inversible dans $F_{2} [X] / (X^{3} + X^{2} + 1)$ d’inverse $\overline{X}^{2} + X + 1$ .

p. 41

Définition 33. Deux éléments $a$ et $b$ de $A$ sont dits premiers entre eux s’ils admettent un PGCD et $pgcd (a, b) \sim 1$ .

Exemple 34. $2$ et $X$ sont premiers entre eux dans $Z [X]$ .

Lemme 35 (Gauss). On suppose $A$ principal. Soient $a, b, c \in A$ avec $a$ et $b$ premiers entre eux. Alors, $a ∣ b c ⟹ a ∣ c$ et $a ∣ c et b ∣ c ⟹ ab ∣ c$

Anneaux factoriels

p. 63

Définition 36. $A$ est dit factoriel s’il est intègre et si, pour tout élément $a \in A^{*}$ non inversible, les conditions suivantes sont satisfaites :

$a = q_{1} q_{2} \dots q_{s}$ avec $\forall i \in [[1, s]], q_{i}$ irréductible (existence d’une décomposition en produit d’irréductibles).
Si $a = q_{1} q_{2} \dots q_{s} = q_{1} q_{2} \dots q_{m}$ avec $\forall i \in [[1, s]], q_{i}$ irréductible et $\forall i \in [[1, s]], q_{i}$ irréductible, alors $s = m$ et pour toute permutation $π$ d’indice, $q_{i} q_{π (i)}, \forall i \in [[1, s]]$ (unicité de la décomposition).

[PER]
p. 48

Proposition 37. Si $A$ vérifie le Point 1, alors les assertions suivantes sont équivalentes :

$A$ vérifie le Point 2.
$A$ vérifie le lemme d’Euclide : si $p \in A$ est irréductible, alors $p ∣ ab ⟹ p ∣ a ou p ∣ b$ .
Pour tout $p \in A$ , $p$ est irréductible si et seulement si $(p)$ premier.
$A$ vérifie le lemme de Gauss : si $p \in A$ est irréductible, alors $a ∣ b c ⟹ a ∣ c$ pour tout $a, b, c \in A$ avec $a$ et $b$ premiers entre eux.

[ULM18]
p. 65

Proposition 38. On suppose $A$ factoriel. Tout élément $a \neq = 0$ peut s’écrire de manière unique $a = u_{a} p \in S \prod p^{v_{p} (a)}$ où $S$ est un système de représentants d’éléments premiers de $A$ (pour le relation $\sim$ ), $u_{a}$ est inversible et $v_{p} (a) \in N$ tous nuls sauf un nombre fini.

Exemple 39. Dans l’anneau principal (donc factoriel, voir Théorème 41) $Z$ , un choix standard pour $S$ est l’ensemble des nombres premiers positifs.

Proposition 40. On suppose $A$ factoriel. Soient $a, b \in A^{*}$ . Alors, en reprenant les notations précédentes :

$a ∣ b ⟺ v_{p} (a) \leq v_{p} (b)$ pour tout $p \in S$ .
$\prod_{p \in S} p^{m i n (v_{p} (a), v_{p} (b))}$ est un PGCD de $a$ et de $b$ .
$\prod_{p \in S} p^{m a x (v_{p} (a), v_{p} (b))}$ est un PPCM de $a$ et de $b$ .

Théorème 41. Tout anneau principal est factoriel.

Contre-exemple 42. $Z [i 5]$ est principal mais n’est pas factoriel.

[GOZ]
p. 10

Lemme 43 (Gauss). On suppose $A$ factoriel. Alors :

Le produit de deux polynômes primitifs est primitif (ie. dont le PGCD des coefficients est associé à $1$ ).
$\forall P, Q \in A [X] ∖ {0}$ , $γ (PQ) = γ (P) γ (Q)$ (où $γ (P)$ est le contenu du polynôme $P$ ).

Théorème 44 (Critère d’Eisenstein). Soient $K$ le corps des fractions de $A$ et $P = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} \in A [X]$ de degré $n \geq 1$ . On suppose que $A$ est factoriel et qu’il existe $p \in A$ irréductible tel que :

$p ∣ a_{i}$ , $\forall i \in [[0, n - 1]]$ .
$p ∤ a_{n}$ .
$p^{2} ∤ a_{0}$ .

Alors $P$ est irréductible dans $K [X]$ .

[PER]
p. 67

Application 45. Soit $n \in N^{*}$ . Il existe des polynômes irréductibles de degré $n$ sur $Z$ .

Théorème chinois

[ULM18]
p. 56

theoreme-chinois

Théorème 46 (Chinois). Soient $I_{1}, \dots I_{n}$ des idéaux de $A$ tels que $\forall i \neq = j, I_{i} + I_{j} = A$ . Alors, $φ : A a \to \mapsto A / I_{1} \times \dots \times A / I_{n} (a + I_{1}, \dots, a + I_{n})$ est un morphisme surjectif de noyau $I = ⋂_{i = 1}^{n} I_{i}$ . En particulier, $A / I$ est isomorphe à $A / I_{1} \times \dots \times A / I_{n}$ .

Corollaire 47. On suppose $A$ principal. Pour tout $β_{1}, \dots, β_{n} \in A$ et $m_{1}, \dots, m_{n} \in A$ premiers entre eux deux à deux, le système de congruences $⎩ ⎨ ⎧ u \equiv β_{1} mod m_{1} ⋮ u \equiv β_{n} mod m_{n}$ admet une unique solution $u + (m_{1} m_{2} \dots m_{n})$ dans $A / (m_{1} m_{2} \dots m_{n})$ . Il existe donc dans $A$ une unique solution $u$ unique à multiples de $m_{1} m_{2} \dots m_{n}$ près.

Exemple 48. Le système $⎩ ⎨ ⎧ u \equiv 1 mod 3 u \equiv 3 mod 5 u \equiv 0 mod 7$ admet une unique solution dans $Z /105 Z$ : $\overline{28}$ . Les solutions dans $Z$ sont donc de la forme $28 + 105 k$ avec $k \in Z$ .

Application 49 (Polynômes d’interpolation de Lagrange). Soit $K$ un corps commutatif, $α_{1}, \dots, α_{n}$ des éléments distincts de $K$ et $β_{1}, \dots, β_{n}$ des éléments de $K$ . Alors, il existe un unique polynôme $g \in K [X]$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que $g (α_{i}) = β_{i}$ pour tout $i \in [[1, n]]$ .

Applications

Équations diophantiennes

p. 69

Définition 50. L’anneau $Z [i] = {a + ib ∣ a, b \in Z}$ est l’anneau des entiers de Gauss. On définit $N : Z [i] x + i y \to \mapsto N x^{2} + y^{2}$

[I-P]
p. 137

Notation 51. On note $Σ$ l’ensemble des entiers qui sont somme de deux carrés.

Lemme 52. Soit $p \geq 3$ un nombre premier. Alors $x \in F_{p}^{*}$ est un carré si et seulement si $x^{\frac{p - 1}{2}} = 1$ .

Lemme 53.

$N$ est multiplicative.
$Z [i]^{*} = {z \in Z [i] ∣ N (z) = 1} = {\pm 1, \pm i}$ .
$Z [i]$ est euclidien de stathme $N$ .

Lemme 54. Soit $p$ un nombre premier. Si $p$ n’est pas irréductible dans $Z [i]$ , alors $p \in Σ$ .

theoreme-des-deux-carres-fermat

Théorème 55 (Deux carrés de Fermat). Soit $n \in N^{*}$ . Alors $n \in Σ$ si et seulement si $v_{p} (n)$ est pair pour tout $p$ premier tel que $p \equiv 3 mod 4$ (où $v_{p} (n)$ désigne la valuation $p$ -adique de $n$ ).

En algèbre linéaire

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$ . Soit $f : E \to E$ un endomorphisme de $E$ .

[GOU21]
p. 186

Application 56. Il existe un unique polynôme de $K [X]$ unitaire qui engendre l’idéal ${P \in K [X] ∣ P (f) = 0}$ : c’est le polynôme minimal de $f$ , noté $π_{f}$ . Il s’agit du polynôme unitaire de plus bas degré annulant $f$ . Il divise tous les autres polynômes annulateurs de $f$ .

Théorème 57 (Lemme des noyaux). Soit $P = P_{1} \dots P_{k} \in K [X]$ où les polynômes $P_{1}, \dots, P_{k}$ sont premiers entre eux deux à deux. Alors, $Ker (P (f)) = i = 1 ⨁ k Ker (P_{i} (f))$

Application 58. $f$ est diagonalisable si et seulement si $π_{f}$ est scindé à racines simples.