123 Corps finis. Applications.

Corps finis. Applications.

algebra

Soient un nombre premier, un nombre entier, et .

Construction

Caractéristique, sous-corps premier

Définition 1. Soit un anneau. L’application On note l’unique tel que : c’est la caractéristique de .

Exemple 2. La caractéristique de l’anneau est .

Proposition 3.

  1. Soit un anneau intègre. Alors, avec premier.

  2. Soit un anneau fini. Alors, et .

  3. Un anneau et un quelconque de ses sous-anneaux ont la même caractéristique.

Remarque 4.

  • Le Point 0 est en particulier vrai pour un corps.

  • Si , est infini.

Définition 5. Soit un corps.

  • est dit premier s’il n’a pas d’autre sous-corps que lui-même.

  • Le sous-corps premier de est le sous-corps de engendré par (ie. l’intersection de tous les sous-corps de ) : c’est un corps premier.

Remarque 6. Un corps et l’un de ses sous-corps ont le même sous-corps premier.

Proposition 7. Soient un corps et son corps premier. Alors, si , .

Construction de

Proposition 8. Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. est un nombre premier.

  2. est un anneau intègre.

  3. est un corps.

Notation 9. On note .

Proposition 10. Soit un corps fini.

  1. est un nombre premier .

  2. Le sous-corps premier de est isomorphe à .

  3. pour .

Exemple 11.

  • Il n’existe pas de corps fini à éléments.

  • , est un corps infini de caractéristique .

Proposition 12. Tout corps fini à éléments est isomorphe à .

Construction de

Proposition 13. Soit un corps de caractéristique . L’application est un morphisme de corps.

  1. Si est fini, c’est un automorphisme.

  2. Si , c’est l’identité.

Corollaire 14. Dans un corps fini de caractéristique , chaque élément admet exactement une racine -ième.

Application 15 (Petit théorème de Fermat).

Théorème 16.

  1. Il existe un corps à éléments : c’est le corps de décomposition de sur .

  2. est unique à isomorphisme près : on le note .

Corollaire 17. Le produit des éléments de vaut .

Application 18 (Théorème de Wilson). Soit un entier. Alors,

Propriétés

Commutativité

Définition 19. L’ensemble des générateurs de , noté , est formé des racines primitives -ièmes de l’unité.

Proposition 20.

  1. .

  2. , où désigne l’indicatrice d’Euler.

Définition 21. On appelle -ième polynôme cyclotomique le polynôme

Théorème 22.

  1. .

  2. .

  3. est irréductible sur .

Théorème 23 (Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

Sous-corps

Théorème 24. Tout sous-corps de est de cardinal avec . Réciproquement, pour tout , admet un unique sous-corps de cardinal .

Exemple 25. Les sous-corps de sont , , , et .

Corollaire 26. Le polynôme est produit de tous les polynômes irréductibles unitaires de dont le degré divise .

Corollaire 27. Il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans .

Corollaire 28. Un corps de rupture d’un polynôme irréductible de sur est aussi un corps de décomposition pour ce polynôme sur .

Groupe multiplicatif

Théorème 29. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique.

Corollaire 30. Le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique.

Corollaire 31.

Groupe des automorphismes

Théorème 32. Le groupe des automorphismes de est cyclique, engendré par , et d’ordre .

Proposition 33. Pour chaque application , il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à tel que

Proposition 34. Les sous-groupes additifs de sous les sous--espaces vectoriels. Ils sont au nombre de

Carrés

Proposition 35. On note et . Alors est un sous-groupe de .

Proposition 36.

  1. Si , , donc .

  2. Si , alors :

    • est le noyau de l’endomorphisme de défini par .

    • est un sous-groupe d’indice de .

    • et .

    • .

On suppose, pour la suite de cette sous-section, .

Définition 37. On définit le symbole de Legendre pour par :

Proposition 38. est un morphisme de groupes non constant et,

Théorème 39 (Loi de réciprocité quadratique). Soit un premier impair. Alors,

Remarque 40. Cela signifie qu’il est équivalent d’avoir résidu quadratique modulo ou résidu quadratique modulo , sauf si auquel cas ces propositions s’excluent mutuellement.

Proposition 41.

Exemple 42.

Application

Irréductibilité de polynômes

Théorème 43. Soit un polynôme irréductible sur un corps .

  • Il existe un corps de rupture de .

  • Si et sont deux corps de rupture de , alors il existe un unique -isomorphisme tel que .

  • est un corps de rupture de .

Lemme 44 (Gauss).

  1. Le produit de deux polynômes primitifs est primitif (ie. dont le PGCD des coefficients est égal à ).

  2. , (où est le contenu du polynôme ).

Théorème 45 (Critère d’Eisenstein). Soit de degré . On suppose qu’il existe premier tel que :

  1. , .

  2. .

  3. .

Alors est irréductible dans .

Application 46. Soit . Il existe des polynômes irréductibles de degré sur .

Théorème 47 (Critère d’irréductibilité modulo ). Soit de degré . Soit un premier. On suppose .

Si est irréductible dans , alors est irréductible dans .

Exemple 48. Le polynôme est irréductible dans .

Entiers sommes de deux carrés

Notation 49. On note et l’ensemble des entiers qui sont somme de deux carrés.

Remarque 50. .

Théorème 51 (Deux carrés de Fermat). Soit . Alors si et seulement si est pair pour tout premier tel que (où désigne la valuation -adique de ).

En algèbre linéaire

Lemme 52. Soient un nombre premier et un espace vectoriel sur de dimension finie. Les dilatations engendrent .

Théorème 53 (Frobenius-Zolotarev). Soient un nombre premier et un espace vectoriel sur de dimension finie. est vu comme une permutation des éléments de .

On se place pour la suite de cette sous-section dans le cadre d’un espace vectoriel de dimension sur le corps .

Proposition 54. Les groupes précédents sont finis, et :

  1. .

  2. .

  3. .

Application 55. Pour tout entier , il y a sous-espaces vectoriels de dimension dans .

Codes correcteurs

Définition 56. On appelle :

  • Mot un vecteur à coefficients dans .

  • Code correcteur de taille un sous-ensemble de .

  • Code linéaire de taille et de dimension un sous-espace vectoriel de dimension de .

  • Code cyclique de taille , un code linéaire stable par décalage circulaire.

Exemple 57. Soit un code linéaire de taille et de dimension . On peut décrire avec une matrice , dont les colonnes forment une base de , de la manière suivante : est la matrice génératrice de . Le codage consiste alors à transformer un mot du message d’origine en un mot .

Définition 58.

  • Le poids d’un mot , noté est le nombre de coefficients non nuls de .

  • La distance de Hamming entre deux mots , est définie par .

Cette distance permet de mesurer la qualité d’un code comme l’atteste la remarque ci-dessous.

Remarque 59. est une distance, elle quantifie la notion de mot le plus proche.

Définition 60. Un code est dit -correcteur si les boules de centre un mot du code et de rayon (pour ) sont disjointes : les mots de sont à une distance d’au moins les uns des autres.

Proposition 61. Soit un code correcteur. On note la distance minimale de : Alors est -correcteur si et seulement si .

Exemple 62. On considère le code de taille et de dimension sur dont la matrice génératrice est est un code linéaire, dont chacun des mots non nuls est de poids supérieur à : il est -correcteur.

Proposition 63 (Borne de Singleton). Soit un code linéaire de longueur , de dimension et de distance minimale . Alors,

Annexes

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Sous-corps de