125 Extensions de corps. Exemples et applications.

Extensions de corps. Exemples et applications.

algebra

Sauf mention contraire, les corps sont supposés commutatifs. Soit $K$ un corps.

Extensions de corps

Généralités

Définition

Définition 1. On appelle extension de $K$ tout corps $L$ tel que $\exists j : K \to L morphisme de corps$ On note cela $L / K$ .

Remarque 2.

Si $K$ est un sous-corps de $L$ , alors $L$ est une extension de $K$ .
Réciproquement, un morphisme de corps $j : K \to L$ est forcément injectif. Par conséquent, le sous-corps $K^{'} = j (K)$ de $L$ est isomorphe à $K$ .
Aux notations abusives près, on a donc $K est un sous-corps de L ⟺ L est une extension de K$

Exemple 3.

$C$ est une extension de $R$ .
$R$ est une extension de $Q$ .
$K (X)$ est une extension de $K$ .

Proposition 4. Soit $L$ une extension de $K$ dont on note $j$ le morphisme d’inclusion. Alors, muni du produit par un scalaire défini par $\forall λ \in K, \forall x \in L, λ x = j (λ) \cdot x$ $L$ est une algèbre sur $K$ .

Degré

Définition 5. Soit $L$ une extension de $K$ . On appelle degré de $L / K$ et on note $[L : K]$ la dimension de $L$ considéré comme un espace vectoriel sur $K$ .

Remarque 6.

$[L : K] = 1 ⟺ L = K$ .
Le degré d’une extension peut être fini ( $[C : R] = 2$ ) ou infini ( $[R : Q] = + \infty$ ).

Théorème 7 (Base télescopique). Soient $L$ un sur-corps de $K$ et $E$ un espace vectoriel sur $L$ . Soient $(e_{i})_{i \in I}$ une base de $E$ en tant que $L$ -espace vectoriel et $(α_{j})_{j \in J}$ une base de $L$ en tant que $K$ -espace vectoriel.

Alors $(α_{j} e_{i})_{(i, j) \in I \times J}$ est une base de $E$ en tant que $K$ -espace vectoriel.

Corollaire 8 (Multiplicativité des degrés). Soient $L$ une extension de $K$ et $M$ une extension de $L$ . Alors, sont équivalentes :

$M$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension finie.
$M$ est un $L$ -espace vectoriel de dimension finie et $L$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension finie.

On a alors : $dim_{K} (M) = dim_{L} (M) dim_{K} (L) ⟺ [M : K] = [M : L] [L : K]$

Générateurs

[PER]
p. 66

Définition 9. Soit $L$ une extension de $K$ .

Soit $A \subseteq L$ . On dit que $A$ engendre $L$ sur $K$ si $L$ est le plus petit sous corps de $L$ contenant $K$ et $A$ . On note cela $L = K (A)$ ou, si $A = {α_{1}, \dots, α_{n}}$ est fini, $L = K (α_{1}, \dots, α_{n})$ et $L$ est alors de type fini.
L’extension $L / K$ est dite monogène s’il existe $α \in L$ tel que $L = K (α)$ .

[GOZ]
p. 23

Exemple 10.

Une extension $L$ de $K$ de degré fini est de type fini sur $K$ .
Si $[L : K]$ est un nombre premier, alors $L$ est une extension monogène de $K$ .

Remarque 11. Si $L = K (α)$ est une extension monogène de $K$ , il n’y a pas unicité de $α$ . Tout élément $u \in L$ tel que $L = K (u)$ est appelé élément primitif de $L / K$ .

[PER]
p. 66

Définition 12. Soient $L$ une extension de $K$ et $α \in L$ . On note $K [α]$ le sous-anneau de $L$ engendré par $K$ et $α$ .

Proposition 13. En reprenant les notations précédentes :

Si $x \in K [α], x = P (α)$ avec $P \in K [X]$ .
Si $x \in K (α), x = \frac{P ( α )}{Q ( α )}$ avec $P, Q \in K [X]$ et $Q (α) \neq = 0$ .
$K [α] \subseteq K (α)$ .

Algébricité

Définition 14. Soient $L$ une extension de $K$ et $α \in L$ . Soit $ev_{α} : K [X] \to L$ le morphisme d’évaluation en $α$ .

On note $Ann (α)$ l’idéal des polynômes annulateurs de $α$ . Notons qu’on a $Ann (α) = Ker (ev_{α})$ .
Si $ev_{α}$ est injectif, on dit que $α$ est transcendant sur $K$ .
Sinon, $α$ est dit algébrique sur $K$ .

Exemple 15.

$e$ et $π$ sont transcendants sur $Q$ (théorèmes d’Hermite et de Lindemann).
$2$ , $i$ , ... sont algébriques sur $Q$ .

Proposition 16. Soient $L$ une extension de $K$ et $α \in L$ . Les assertions suivantes sont équivalentes.

$α$ est algébrique sur $K$ .
$K [α] = K (α)$ .
$[K [α] : K] < + \infty$ .

Proposition 17. En reprenant les notations précédentes, si $α$ est transcendant, on a $K [α] ≅ K [X] et K (α) ≅ K (X)$

Définition 18. Soient $L$ une extension de $K$ et $α \in L$ . Si $α$ est algébrique sur $K$ , alors $Ann (α)$ est un idéal principal non nul. Donc, il existe $P \in K [X]$ unitaire tel que $Ann (α) = (P)$ . On note $π_{α}$ ce polynôme $P$ : c’est le polynôme minimal de $α$ sur $K$ .

Exemple 19. Sur $Q$ , on a $π_{2} = X^{2} - 2$ et $π_{i} = X^{2} + 1$ .

[GOZ]
p. 31

Proposition 20. Soient $L$ une extension de $K$ et $α \in L$ . Soient $P \in K [X]$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$P = π_{α}$ .
$P \in Ann (α)$ et est unitaire et $\forall R \in Ann (α) ∖ {0}, de g (P) \leq de g (R)$ .
$P \in Ann (α)$ et est unitaire et irréductible dans $K [X]$ .

[PER]
p. 67

Définition 21. Soit $L$ une extension de $K$ .

$L / K$ est dite finie si $[L : K] < + \infty$ .
$L / K$ est dite algébrique si tout élément de $L$ est algébrique sur $K$ .

Proposition 22. Toute extension finie est algébrique.

Contre-exemple 23. On considère $\overline{Q} = {α \in C ∣ α est alg \overset{e}{ˊ} brique sur Q}$ alors, $\overline{Q}$ est une extension algébrique de $Q$ mais n’est pas finie (cf. Application 26).

[GOZ]
p. 10

Lemme 24 (Gauss). Soit $A$ un anneau factoriel. Alors :

Le produit de deux polynômes primitifs est primitif (ie. dont le PGCD des coefficients est associé à $1$ ).
$\forall P, Q \in A [X] ∖ {0}$ , $γ (PQ) = γ (P) γ (Q)$ (où $γ (P)$ est le contenu du polynôme $P$ ).

critere-d-eisenstein

Théorème 25 (Critère d’Eisenstein). On suppose que $K$ le corps des fractions d’un anneau factoriel $A$ . Soit $P = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} \in A [X]$ de degré $n \geq 1$ . On suppose qu’il existe $p \in A$ irréductible tel que :

$p ∣ a_{i}$ , $\forall i \in [[0, n - 1]]$ .
$p ∤ a_{n}$ .
$p^{2} ∤ a_{0}$ .

Alors $P$ est irréductible dans $K [X]$ .

[PER]
p. 67

Application 26. Soit $n \in N^{*}$ . Il existe des polynômes irréductibles de degré $n$ sur $Z$ .

Adjonction de racines

Corps de rupture

[GOZ]
p. 57

Définition 27. Soient $L$ une extension de $K$ et $P \in K [X]$ irréductible. On dit que $L$ est un corps de rupture de $P$ si $L = K [α]$ où $α \in L$ est une racine de $P$ .

Exemple 28. En reprenant les notations précédentes, si $de g (P) = 1$ , alors $K$ est un corps de rupture de $P$ .

Théorème 29. Soit $P \in K [X]$ un polynôme irréductible sur $K$ .

Il existe un corps de rupture de $P$ .
Si $L = K [α]$ et $L^{'} = K [β]$ sont deux corps de rupture de $P$ , alors il existe un unique $K$ -isomorphisme $φ : L \to L^{'}$ tel que $φ (α) = β$ .

Application 30. $X^{2} + 1$ est un polynôme irréductible sur $R$ dont $R [X] / (X^{2} + 1)$ est un corps de rupture. On pose alors $C = R [X] / (X^{2} + 1)$ , le corps des nombres complexes, et on note $i$ la classe de $X$ dans l’anneau quotient.

Remarque 31. Si $L$ est un corps de rupture d’un polynôme $P \in K [X]$ , on a $[L : K] = de g (P)$ . Plus précisément, une base de $L$ en tant que $K$ -espace vectoriel est $(1, α, \dots, α^{d e g (P) - 1})$ .

Corps de décomposition

Définition 32. Soit $P \in K [X]$ de degré $n \geq 1$ . On dit que $L$ est un corps de décomposition de $P$ si :

Il existe $a \in L$ et $α_{1}, \dots, α_{n} \in L$ tels que $P = a (X - α_{1}) \dots (X - α_{n})$ .
$L = K [α_{1}, \dots, α_{n}]$ .

Exemple 33.

$K$ est un corps de décomposition de tout polynôme de degré $1$ sur $K$ .
$C$ est un corps de décomposition de $X^{2} + 1$ sur $R$ .

Théorème 34. Soit $P \in K [X]$ un polynôme de degré supérieur ou égal à $1$ .

Il existe un corps de décomposition de $P$ .
Deux corps de décomposition de $P$ sont $K$ -isomorphes.

[FGN2]
p. 160

dimension-du-commutant

Application 35. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On note $C (A)$ le commutant de $A$ . Alors, $K [A] = C (A) ⟺ π_{A} = χ_{A} = det (X I_{n} - A)$

Clôture algébrique

[GOZ]
p. 62

Proposition 36. Les assertions suivantes sont équivalentes :

Tout polynôme de $K [X]$ de degré supérieur ou égal à $1$ est scindé sur $K$ .
Tout polynôme de $K [X]$ de degré supérieur ou égal à $1$ admet au moins une racine dans $K$ .
Les seuls polynômes irréductibles de $K [X]$ sont ceux de degré $1$ .
Toute extension algébrique de $K$ est égale à $K$ .

Définition 37. Si $K$ vérifie un des points de la Proposition 36, $K$ est dit algébriquement clos.

Proposition 38. Tout corps algébriquement clos est infini.

Contre-exemple 39. $Q$ et même $R$ ne sont pas algébriquement clos.

Théorème 40 (D’Alembert-Gauss). $C$ est algébriquement clos.

Définition 41. On dit que $L$ est une clôture algébrique de $K$ si $L$ est une extension de $K$ algébriquement close et si $\forall x \in L, \exists P \in K [X] tel que P (x) = 0$

Exemple 42.

$C$ est une clôture algébrique de $R$ .
$\overline{Q}$ du Contre-exemple 23 est une clôture algébrique de $Q$ .

Théorème 43 (Steinitz).

Il existe une clôture algébrique de $K$ .
Deux clôtures algébriques de $K$ sont $K$ -isomorphes.

Corps particuliers

Corps finis

Soit $q = p^{n}$ où $p$ est un nombre et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$ .

p. 3

Proposition 44. Les conditions suivantes sont équivalentes :

$n$ est un nombre premier.
$Z / n Z$ est un anneau intègre.
$Z / n Z$ est un corps.

Notation 45. On note $F_{p} = Z / p Z$ .

p. 85

Théorème 46.

Il existe un corps fini à $q$ éléments : c’est le corps de décomposition de $X^{q} - X$ sur $F_{p}$ .
Si $F$ et $F^{'}$ sont deux corps finis à $q$ éléments, ils sont $F_{p}$ -isomorphes.

On peut donc noter $F_{q}$ l’unique (à isomorphisme près) corps fini à $q$ éléments.

p. 81

Théorème 47. Soit $F$ un corps fini. Alors :

Sa caractéristique est un nombre premier $p$ .
Il existe $n \geq 1$ tel que $∣ F ∥ = p^{n}$ .

On a donc $F = F_{p^{n}}$ .

Exemple 48. Il n’existe pas de corps fini à $6$ éléments.

Théorème 49. Tout sous-groupe du groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique.

Corollaire 50. $F_{q}^{*} ≅ Z / (q - 1) Z$

Proposition 51. Soit $F$ un corps fini de caractéristique $p$ et soit $ξ$ un générateur de $F^{*}$ . Alors, en posant $n = [F : F_{p}]$ , on a $F = i = 0 ⨁ n F_{p} ξ^{i}$

Théorème 52 (Élément primitif pour les corps finis). Soit $L$ une extension de degré fini de $K$ . Si $K$ est un corps fini, alors $L$ est monogène.

p. 91

Théorème 53.

Si $K$ est un sous-corps de $F_{q}$ , alors il existe $d ∣ n$ tel que $∣ K ∣ = p^{d}$ .
Pour chaque diviseur $d$ de $n$ , $F_{q}$ a un et un seul sous-corps de cardinal $p^{d}$ . Il est isomorphe à $F_{p^{d}}$ .

Corps cyclotomiques

Soit $m$ un entier supérieur ou égal à $1$ .

p. 67

Définition 54. On définit $μ_{m} = {z \in C^{*} ∣ z^{m} = 1}$ l’ensemble des racines $m$ -ièmes de l’unité. C’est un groupe (cyclique) pour la multiplication dont l’ensemble des générateurs, noté $μ_{m}^{*}$ , est formé des racines primitives $m$ -ièmes de l’unité.

Proposition 55.

$μ_{m}^{*} = {e^{\frac{2 ikπ}{m}} ∣ k \in [[0, m - 1]], pgcd (k, m) = 1}$ .
$∣ μ_{m}^{*} ∣ = φ (m)$ , où $φ$ désigne l’indicatrice d’Euler.

Proposition 56. Le sous-corps $Q (ξ)$ de $C$ ne dépend pas de la racine $m$ -ième primitive $ξ$ de l’unité considérée.

Définition 57. On appelle corps cyclotomique, un corps de la forme de la Proposition 56 (ie. engendré par une racine primitive de l’unité).

Définition 58. On appelle $m$ -ième polynôme cyclotomique le polynôme $Φ_{m} = ξ \in μ_{m}^{*} \prod (X - ξ)$

Théorème 59.

$X^{m} - 1 = \prod_{d ∣ m} Φ_{d}$ .
$Φ_{m} \in Z [X]$ .
$Φ_{m}$ est irréductible sur $Q$ .

Corollaire 60. Le polynôme minimal sur $Q$ de tout élément $ξ$ de $μ_{m}^{*}$ est $Φ_{m}$ . En particulier, $[Q (ξ) : Q] = φ (m)$

Application 61 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

[GOU21]
p. 99

Application 62 (Dirichlet faible). Pour tout entier $n$ , il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $n$ .