125 Extensions de corps. Exemples et applications.

Extensions de corps. Exemples et applications.

algebra

Sauf mention contraire, les corps sont supposés commutatifs. Soit un corps.

Extension de corps

Généralités

Définition

Définition 1. On appelle extension de tout corps tel que On note cela .

Remarque 2.

  • Si est un sous-corps de , alors est une extension de .

  • Réciproquement, un morphisme de corps est forcément injectif. Par conséquent, le sous-corps de est isomorphe à .

  • Aux notations abusives près, on a donc

Exemple 3.

  • est une extension de .

  • est une extension de .

  • est une extension de .

Proposition 4. Soit une extension de dont on note le morphisme d’inclusion. Alors, muni du produit par un scalaire défini par est une algèbre sur .

Degré

Définition 5. Soit une extension de . On appelle degré de et on note la dimension de considéré comme un espace vectoriel sur .

Remarque 6.

  • .

  • Le degré d’une extension peut être fini () ou infini ().

Théorème 7 (Base télescopique). Soient un sur-corps de et un espace vectoriel sur . Soient une base de en tant que -espace vectoriel et une base de en tant que -espace vectoriel.

Alors est une base de en tant que -espace vectoriel.

Corollaire 8 (Multiplicativité des degrés). Soient une extension de et une extension de . Alors, sont équivalentes :

  1. est un -espace vectoriel de dimension finie.

  2. est un -espace vectoriel de dimension finie et est un -espace vectoriel de dimension finie.

On a alors :

Générateurs

Définition 9. Soit une extension de .

  • Soit . On dit que engendre sur si est le plus petit sous corps de contenant et . On note cela ou, si est fini, et est alors de type fini.

  • L’extension est dite monogène s’il existe tel que .

Exemple 10.

  • Une extension de de degré fini est de type fini sur .

  • Si est un nombre premier, alors est une extension monogène de .

Remarque 11. Si est une extension monogène de , il n’y a pas unicité de . Tout élément tel que est appelé élément primitif de .

Définition 12. Soient une extension de et . On note le sous-anneau de engendré par et .

Proposition 13. En reprenant les notations précédentes :

  1. Si avec .

  2. Si avec et .

  3. .

Algébricité

Définition 14. Soient une extension de et . Soit le morphisme d’évaluation en .

  • On note l’idéal des polynômes annulateurs de . Notons qu’on a .

  • Si est injectif, on dit que est transcendant sur .

  • Sinon, est dit algébrique sur .

Exemple 15.

  • et sont transcendants sur (théorèmes d’Hermite et de Lindemann).

  • , , ... sont algébriques sur .

Proposition 16. Soient une extension de et . Les assertions suivantes sont équivalentes.

  1. est algébrique sur .

  2. .

  3. .

Proposition 17. En reprenant les notations précédentes, si est transcendant, on a

Définition 18. Soient une extension de et . Si est algébrique sur , alors est un idéal principal non nul. Donc, il existe unitaire tel que . On note ce polynôme : c’est le polynôme minimal de sur .

Exemple 19. Sur , on a et .

Proposition 20. Soient une extension de et . Soient . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. et est unitaire et .

  3. et est unitaire et irréductible dans .

Définition 21. Soit une extension de .

  • est dite finie si .

  • est dite algébrique si tout élément de est algébrique sur .

Proposition 22. Toute extension finie est algébrique.

Contre-exemple 23. On considère alors, est une extension algébrique de mais n’est pas finie (cf. Application 26).

Lemme 24 (Gauss). Soit un anneau factoriel. Alors :

  1. Le produit de deux polynômes primitifs est primitif (ie. dont le PGCD des coefficients est associé à ).

  2. , (où est le contenu du polynôme ).

Théorème 25 (Critère d’Eisenstein). On suppose que le corps des fractions d’un anneau factoriel . Soit de degré . On suppose qu’il existe irréductible tel que :

  1. , .

  2. .

  3. .

Alors est irréductible dans .

Application 26. Soit . Il existe des polynômes irréductibles de degré sur .

Adjonction de racines

Corps de rupture

Définition 27. Soient une extension de et irréductible. On dit que est un corps de rupture de si est une racine de .

Exemple 28. En reprenant les notations précédentes, si , alors est un corps de rupture de .

Théorème 29. Soit un polynôme irréductible sur .

  • Il existe un corps de rupture de .

  • Si et sont deux corps de rupture de , alors il existe un unique -isomorphisme tel que .

Application 30. est un polynôme irréductible sur dont est un corps de rupture. On pose alors , le corps des nombres complexes, et on note la classe de dans l’anneau quotient.

Remarque 31. Si est un corps de rupture d’un polynôme , on a . Plus précisément, une base de en tant que -espace vectoriel est .

Corps de décomposition

Définition 32. Soit de degré . On dit que est un corps de décomposition de si :

  • Il existe et tels que .

  • .

Exemple 33.

  • est un corps de décomposition de tout polynôme de degré sur .

  • est un corps de décomposition de sur .

Théorème 34. Soit un polynôme de degré supérieur ou égal à .

  • Il existe un corps de décomposition de .

  • Deux corps de décomposition de sont -isomorphes.

Application 35. Soit . On note le commutant de . Alors,

Clôture algébrique

Proposition 36. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. Tout polynôme de de degré supérieur ou égal à est scindé sur .

  2. Tout polynôme de de degré supérieur ou égal à admet au moins une racine dans .

  3. Les seuls polynômes irréductibles de sont ceux de degré .

  4. Toute extension algébrique de est égale à .

Définition 37. Si vérifie un des points de la Proposition 36, est dit algébriquement clos.

Proposition 38. Tout corps algébriquement clos est infini.

Contre-exemple 39. et même ne sont pas algébriquement clos.

Théorème 40 (D’Alembert-Gauss). est algébriquement clos.

Définition 41. On dit que est une clôture algébrique de si est une extension de algébriquement close et si

Exemple 42.

  • est une clôture algébrique de .

  • du Contre-exemple 23 est une clôture algébrique de .

Théorème 43 (Steinitz).

  1. Il existe une clôture algébrique de .

  2. Deux clôtures algébriques de sont -isomorphes.

Corps particuliers

Corps finis

Soit est un nombre et un entier supérieur ou égal à .

Proposition 44. Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. est un nombre premier.

  2. est un anneau intègre.

  3. est un corps.

Notation 45. On note .

Théorème 46.

  1. Il existe un corps fini à éléments : c’est le corps de décomposition de sur .

  2. Si et sont deux corps finis à éléments, ils sont -isomorphes.

On peut donc noter l’unique (à isomorphisme près) corps fini à éléments.

Théorème 47. Soit un corps fini. Alors :

  1. Sa caractéristique est un nombre premier .

  2. Il existe tel que .

On a donc .

Exemple 48. Il n’existe pas de corps fini à éléments.

Théorème 49. Tout sous-groupe du groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique.

Corollaire 50.

Proposition 51. Soit un corps fini de caractéristique et soit un générateur de . Alors, en posant , on a

Théorème 52 (Élément primitif pour les corps finis). Soit une extension de degré fini de . Si est un corps fini, alors est monogène.

Théorème 53.

  1. Si est un sous-corps de , alors il existe tel que .

  2. Pour chaque diviseur de , a un et un seul sous-corps de cardinal . Il est isomorphe à .

Corps cyclotomiques

Soit un entier supérieur ou égal à .

Définition 54. On définit l’ensemble des racines -ièmes de l’unité. C’est un groupe (cyclique) pour la multiplication dont l’ensemble des générateurs, noté , est formé des racines primitives -ièmes de l’unité.

Proposition 55.

  1. .

  2. , où désigne l’indicatrice d’Euler.

Proposition 56. Le sous-corps de ne dépend pas de la racine -ième primitive de l’unité considérée.

Définition 57. On appelle corps cyclotomique, un corps de la forme de la Proposition 56 (ie. engendré par une racine primitive de l’unité).

Définition 58. On appelle -ième polynôme cyclotomique le polynôme

Théorème 59.

  1. .

  2. .

  3. est irréductible sur .

Corollaire 60. Le polynôme minimal sur de tout élément de est . En particulier,

Application 61 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

Application 62 (Dirichlet faible). Pour tout entier , il existe une infinité de nombres premiers congrus à modulo .