127 Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.

Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.

algebra

Nombres remarquables

Deux exemples fondamentaux : $e$ et $π$

Définition 1. On définit la fonction exponentielle complexe pour tout $z \in C$ par $n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !}$ on note cette somme $e^{z}$ ou parfois $exp (z)$ .

Remarque 2. Cette somme est bien définie pour tout $z \in C$ d’après le critère de d’Alembert.

Proposition 3.

$\forall z, z^{'} \in C, e^{z + z^{'}} = e^{z} e^{z^{'}}$ .
$exp$ est holomorphe sur $C$ , de dérivée elle-même.
$exp$ ne s’annule jamais.

p. 383

Définition 4. On définit $e$ le nombre d’Euler par $e = e^{1} > 0$ .

p. 7

Proposition 5. La fonction $φ : t \mapsto e^{i t}$ est un morphisme surjectif de $R$ sur $U$ , le groupe des nombres complexes de module $1$ .

Proposition 6. En reprenant les notations précédentes, $Ker (φ)$ est un sous-groupe fermé de $R$ , de la forme $Ker (φ) = a Z$ . On note $a = 2 π$ .

Nombres algébriques, transcendants

[GOZ]
p. 40

Définition 7. Un nombre complexe (resp. réel) $z$ est dit nombre algébrique complexe (resp. nombre algébrique réel) s’il existe $P \in Z [X] ∖ {0}$ tel que $P (z) = 0$ .

p. 40

Exemple 8. $\pm 2$ et $\pm i$ sont des nombres algébriques.

[QUE]
p. 391

Théorème 9 (Liouville). Soit $α$ un nombre algébrique réel, racine d’un polynôme $P \in Z [X]$ de degré supérieur ou égal à $2$ . Alors, $\exists C_{α} > 0 tel que \forall \frac{p}{q} \in Q, x - \frac{p}{q} \geq \frac{C}{q ^{d}}$

Application 10. Le nombre de Liouville, $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{1 0 ^{n!}}$ est transcendant.

[GOZ]
p. 41

Théorème 11 (Hermite). $e$ est transcendant.

Théorème 12 (Lindemann). $π$ est transcendant.

[QUE]
p. 385

Application 13. Les nombres $ζ (2 k)$ sont transcendants pour $k \in N^{*}$ .

Anneaux de nombres algébriques

[GOZ]
p. 40

Notation 14. On note $A$ l’ensemble des nombres algébriques complexes. $A \cap R$ est alors l’ensemble des nombres algébriques réels.

Théorème 15.

$A$ est un sous-corps de $C$ qui contient $Q$ .
$A \cap R$ est un sous-corps de $R$ qui contient $Q$ .

p. 63

Corollaire 16. $A$ est la clôture algébrique de $Q$ .

Remarque 17. Toute extension de $Q$ de degré fini est alors un sous-corps de $A$ .

Corps de nombres quadratiques

p. 33

Proposition 18. Soit $d \in N$ tel que $d \geq 2$ . Les assertions suivantes sont équivalentes.

$d \in / Q$ .
$d \in / N$ .
Il existe $p$ premier tel que $v_{p} (d)$ (la valuation $p$ -adique de $d$ ) est impair.
$Q [d]$ est une extension de $Q$ de degré $2$ .

Définition 19. On appelle corps quadratique toute extension de degré $2$ de $Q$ dans $C$ .

Théorème 20. Soit $L$ un corps quadratique. Alors, il existe un entier relatif $d \in / {0, 1}$ , sans facteur carré tel que $L = Q [d]$ où $d$ désigne un complexe dont le carré est égal à $d$ .

[ULM18]
p. 67

Définition 21. Soit $d$ un entier non nul qui n’est pas un carré dans $Z$ et $z = x + y d \in Q [d]$ avec $x, y \in Q$ . La norme de $z$ est $N (z) = x^{2} - y^{2} d$

Proposition 22. Soit $d$ un entier non nul qui n’est pas un carré dans $Z$ . Pour $z = x + y d \in Q [d]$ avec $x, y \in Q$ . Posons $z = x - y d \in Q [d]$ .

L’application $z \mapsto z$ est un automorphisme des anneaux $Q [d]$ et $Z [d]$ . Pour tout $z \in Q [d]$ , nous avons $z = z$ et $N (z) = z z$ . Si $z \in Z [d]$ , alors $N (z) \in Z$ .
$Q [d] = Q [X] / (X^{2} - d)$ est un corps.
Dans $Q [d]$ et $Z [d]$ , nous avons $N (z_{1} z_{2}) = N (z_{1}) N (z_{2})$ et $N (z) = 0 ⟺ z = 0$ .

Proposition 23. Soit $d$ un entier non nul qui n’est pas un carré dans $Z$ .

Les inversibles de $Z [d]$ avec $N (z) = \pm 1$ .
Tout élément non nul, non inversible possède une décomposition en irréductibles dans $Z (d)$ .

Anneau des entiers de Gauss

Définition 24. L’anneau $Z [- 1] = Z [i]$ est l’anneau des entiers de Gauss.

Exemple 25. Pour $z = x + i y \in Z [i]$ , nous avons $N (z) = x^{2} + y^{2}$ et donc les inversibles de $Z [i]$ sont $\pm 1$ et $\pm i$ .

[I-P]
p. 137

Notation 26. On note $Σ$ l’ensemble des entiers qui sont somme de deux carrés.

Remarque 27. $n \in Σ ⟺ \exists z \in Z [i] tel que N (z) = n$ .

Lemme 28. $Z [i]$ est euclidien de stathme $N$ .

Lemme 29. Soit $p$ un nombre premier. Si $p$ n’est pas irréductible dans $Z [i]$ , alors $p \in Σ$ .

theoreme-des-deux-carres-fermat

Théorème 30 (Deux carrés de Fermat). Soit $n \in N^{*}$ . Alors $n \in Σ$ si et seulement si $v_{p} (n)$ est pair pour tout $p$ premier tel que $p \equiv 3 mod 4$ (où $v_{p} (n)$ désigne la valuation $p$ -adique de $n$ ).

Corps cyclotomiques

Soit $m$ un entier supérieur ou égal à $1$ .

[GOZ]
p. 67

Définition 31. On définit $μ_{m} = {z \in C^{*} ∣ z^{m} = 1}$ l’ensemble des racines $m$ -ièmes de l’unité. C’est un groupe (cyclique) pour la multiplication dont l’ensemble des générateurs, noté $μ_{m}^{*}$ , est formé des racines primitives $m$ -ièmes de l’unité.

Proposition 32.

$μ_{m}^{*} = {e^{\frac{2 ikπ}{m}} ∣ k \in [[0, m - 1]], pgcd (k, m) = 1}$ .
$∣ μ_{m}^{*} ∣ = φ (m)$ , où $φ$ désigne l’indicatrice d’Euler.

Proposition 33. Le sous-corps $Q (ξ)$ de $C$ ne dépend pas de la racine $m$ -ième primitive $ξ$ de l’unité considérée.

Définition 34. On appelle corps cyclotomique, un corps de la forme de la Proposition 33 (ie. engendré par une racine primitive de l’unité).

Définition 35. On appelle $m$ -ième polynôme cyclotomique le polynôme $Φ_{m} = ξ \in μ_{m}^{*} \prod (X - ξ)$

Théorème 36.

$X^{m} - 1 = \prod_{d ∣ m} Φ_{d}$ .
$Φ_{m} \in Z [X]$ .
$Φ_{m}$ est irréductible sur $Q$ .

Corollaire 37. Le polynôme minimal sur $Q$ de tout élément $ξ$ de $μ_{m}^{*}$ est $Φ_{m}$ . En particulier, le degré de $Q (ξ)$ sur $Q$ est $φ (m)$ .

Application 38 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

[GOU21]
p. 99

Application 39 (Dirichlet faible). Pour tout entier $n$ , il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $n$ .

Application à la constructibilité à la règle et au compas

[GOZ]
p. 47

On note $P$ un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé direct $R = (O, i, j)$ . On s’autorise à identifier chaque point $M \in P$ avec ses coordonnées $(x, y) \in R^{2}$ dans $R$ .

Définition 40. On dit qu’un point $M \in P$ est constructible (sous-entendu à la règle et au compas) si on peut le construire en utilisant uniquement la règle et le compas, en supposant $O$ et $I = (1, 0)$ déjà construits.

Proposition 41. Soient $A$ , $B$ deux points constructibles distincts.

Si $A$ est constructible, son symétrique par rapport à $O$ l’est aussi.
$J = (0, 1)$ est constructible.
Si $C$ est un point constructible, on peut construire à la règle et au compas la perpendiculaire à $(A B)$ passant par $C$ .
Si $C$ est un point constructible, on peut construire à la règle et au compas la parallèle à $(A B)$ passant par $C$ .

Proposition 42. Soit $x \in R$ . $(x, 0) est constructible ⟺ (0, x) est constructible$

Définition 43. Un nombre vérifiant la proposition précédente est dit nombre constructible.

Proposition 44.

Tout élément de $Q$ est constructible.
$(x, y)$ est constructible si et seulement si $x$ et $y$ le sont.

Théorème 45. L’ensemble $E$ des nombres constructibles est un sous-corps de $R$ stable par racine carrée.

theoreme-de-wantzel

Théorème 46 (Wantzel). Soit $t \in R$ . $t$ est constructible si et seulement s’il existe une suite fini $(L_{0}, \dots, L_{p})$ de sous-corps de $R$ vérifiant :

$L_{0} = Q$ .
$\forall i \in [[1, p - 1]]$ , $L_{i}$ est une extension quadratique de $L_{i - 1}$ .
$t \in L_{p}$ .

Corollaire 47.

Si $x$ est constructible, le degré de l’extension $Q [x]$ sur $Q$ est de la forme $2^{s}$ pour $s \in N$ .
Tout nombre constructible est algébrique.

Contre-exemple 48.

$32$ est algébrique, non constructible.
$π$ est transcendant et n’est donc pas constructible.

Application 49 (Quadrature du cercle). Il est impossible de construire, à la règle et au compas, un carré ayant même aire qu’un disque donné.

Application 50 (Duplication du cube). Il est impossible de construire, à la règle et au compas, l’arête d’un cube ayant un volume double de celui d’un cube donné.