141 Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

algebra

Sauf mention contraire, les corps sont supposés commutatifs.

Irréductibilité de polynômes

Racines et polynômes irréductibles

Définition 1. Soit $A$ un anneau. Un polynôme $P$ de $A [X]$ est dit irréductible si $de g (A) \geq 1$ et ses seuls diviseurs dans $A [X]$ sont les polynômes $u P$ où $u \in A^{\times}$ .

Remarque 2. Soit $K$ un corps. Alors, $K [X]$ est euclidien, donc principal, donc factoriel.

Définition 3. Soient $L$ un corps et $K$ un sous-corps de $L$ . Soit $P \in K [X]$ .

Une racine est un élément $α \in K$ tel que $P (α) = 0$ .
La multiplicité de $α$ comme racine de $P$ est le plus grand $n \in N$ tel que $(X - a)^{n}$ divise $P$ dans $K [X]$ .
La somme des multiplicités des racines de $P$ dans $K$ est inférieure ou égale à $de g (P)$ . En cas d’égalité, on dit que $P$ est scindé sur $K$ (ou dans $K [X]$ ).

Proposition 4.

Tout polynôme de degré $1$ est irréductible.
Tout polynôme irréductible de degré strictement supérieur à $1$ n’a pas de racine dans $K$ .

Contre-exemple 5. $(X^{2} + 1)^{2}$ n’a pas de racine dans $Q$ , mais est réductible dans $Q [X]$ .

Proposition 6. La réciproque de la Proposition 4 Point 2 est vraie pour les polynômes de degré $2$ ou $3$ .

Proposition 7. Soit $P = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k} \in Z [X]$ un polynôme de degré $n$ tel que $a_{0} \neq = 0$ . Si $α = \frac{p}{q} \in Q$ est une racine de $P$ , en supposant $\frac{p}{q}$ irréductible, alors $p ∣ a_{0}$ et $q ∣ a_{n}$ .

p. 19

Exemple 8. $X^{3} + X + 1$ n’a pas de racine dans $Q$ .

Quelques critères d’irréductibilité

Soit $A$ un anneau factoriel.

p. 10

Définition 9. Pour tout polynôme non nul $P \in A [X]$ , on appelle contenu de $P$ , noté $γ (P)$ , le PGCD des coefficients de $P$ . $P$ est dit primitif si $γ (P) = 1$ .

Lemme 10 (Gauss).

Le produit de deux polynômes primitifs est primitif.
$\forall P, Q \in A [X] ∖ {0}$ , $γ (PQ) = γ (P) γ (Q)$ .

Théorème 11. Soient $K$ le corps des fractions de $A$ et $P \in A [X]$ de degré supérieur ou égal à $1$ . Alors, $P$ est irréductible dans $A [X]$ si et seulement si $P$ est irréductible dans $K [X]$ et $γ (P) = 1$ .

critere-d-eisenstein

Théorème 12 (Critère d’Eisenstein). Soient $K$ le corps des fractions de $A$ et $P = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} \in A [X]$ de degré $n \geq 1$ . On suppose qu’il existe $p \in A$ irréductible tel que :

$p ∣ a_{i}$ , $\forall i \in [[0, n - 1]]$ .
$p ∤ a_{n}$ .
$p^{2} ∤ a_{0}$ .

Alors $P$ est irréductible dans $K [X]$ .

Exemple 13. Soit $p$ un nombre premier. Le polynôme $Φ_{p} = \sum_{k = 0}^{p - 1} X^{k}$ est irréductible dans $Z [X]$ .

[PER]
p. 67

Application 14. Soit $n \in N^{*}$ . Il existe des polynômes irréductibles de degré $n$ sur $Z$ .

[GOZ]
p. 12

Théorème 15 (Critère d’irréductibilité modulo $p$ ). Soient $K$ le corps des fractions de $A$ et $P = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} \in A [X]$ de degré $n \geq 1$ . Soit $I$ un idéal premier de $A$ . On pose $B = A / I$ et $L$ le corps des fractions de $B$ . On suppose $a_{n} \in / I$ .

Si $\overline{P}$ est irréductible dans $L [X]$ , alors $P$ est irréductible dans $K [X]$ .

Exemple 16. Le polynôme $X^{3} - 127 X^{2} + 3608 X + 19$ est irréductible dans $Z [X]$ .

Adjonction de racines

Soit $K$ un corps commutatif.

Éléments algébriques, transcendants

[PER]
p. 66

Définition 17. Soient $L$ une extension de $K$ et $α \in L$ . Soit $ev_{α} : K [X] \to L$ le morphisme d’évaluation en $α$ .

On note $Ann (α)$ l’idéal des polynômes annulateurs de $α$ . Notons qu’on a $Ann (α) = Ker (ev_{α})$ .
Si $ev_{α}$ est injectif, on dit que $α$ est transcendant sur $K$ .
Sinon, $α$ est dit algébrique sur $K$ .

Exemple 18.

$e$ et $π$ sont transcendants sur $Q$ (théorèmes d’Hermite et de Lindemann).
$2$ , $i$ , ... sont algébriques sur $Q$ .

Proposition 19. Soient $L$ une extension de $K$ et $α \in L$ . Les assertions suivantes sont équivalentes.

$α$ est algébrique sur $K$ .
$K [α] = K (α)$ .
$[K [α] : K] < + \infty$ .

Proposition 20. En reprenant les notations précédentes, si $α$ est transcendant, on a $K [α] ≅ K [X] et K (α) ≅ K (X)$

Définition 21. Soient $L$ une extension de $K$ et $α \in L$ . Si $α$ est algébrique sur $K$ , alors $Ann (α)$ est un idéal principal non nul. Donc, il existe $P \in K [X]$ unitaire tel que $Ann (α) = (P)$ . On note $π_{α}$ ce polynôme $P$ : c’est le polynôme minimal de $α$ sur $K$ .

Exemple 22. Sur $Q$ , on a $π_{2} = X^{2} - 2$ et $π_{i} = X^{2} + 1$ .

[GOZ]
p. 31

Proposition 23. Soient $L$ une extension de $K$ et $α \in L$ . Soient $P \in K [X]$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$P = μ_{α}$ .
$P \in Ann (α)$ et est unitaire et $\forall R \in Ann (α) ∖ {0}, de g (P) \leq de g (R)$ .
$P \in Ann (α)$ et est unitaire et irréductible dans $K [X]$ .

Corps de rupture

p. 57

Définition 24. Soient $L$ une extension de $K$ et $P \in K [X]$ irréductible. On dit que $L$ est un corps de rupture de $P$ si $L = K [α]$ où $α \in L$ est une racine de $P$ .

Exemple 25. En reprenant les notations précédentes, si $de g (P) = 1$ , alors $K$ est un corps de rupture de $P$ .

Théorème 26. Soit $P \in K [X]$ un polynôme irréductible sur $K$ .

Il existe un corps de rupture de $P$ .
Si $L = K [α]$ et $L^{'} = K [β]$ sont deux corps de rupture de $P$ , alors il existe un unique $K$ -isomorphisme $φ : L \to L^{'}$ tel que $φ (α) = β$ .

Application 27. $X^{2} + 1$ est un polynôme irréductible sur $R$ dont $R [X] / (X^{2} + 1)$ est un corps de rupture. On pose alors $C = R [X] / (X^{2} + 1)$ , le corps des nombres complexes, et on note $i$ la classe de $X$ dans l’anneau quotient.

Remarque 28. Si $L$ est un corps de rupture d’un polynôme $P \in K [X]$ , on a $[L : K] = de g (P)$ . Plus précisément, une base de $L$ en tant que $K$ -espace vectoriel est $(1, α, \dots, α^{d e g (P) - 1})$ .

Corps de décomposition

Définition 29. Soit $P \in K [X]$ de degré $n \geq 1$ . On dit que $L$ est un corps de décomposition de $P$ si :

Il existe $a \in L$ et $α_{1}, \dots, α_{n} \in L$ tels que $P = a (X - α_{1}) \dots (X - α_{n})$ .
$L = K [α_{1}, \dots, α_{n}]$ .

Exemple 30.

$K$ est un corps de décomposition de tout polynôme de degré $1$ sur $K$ .
$C$ est un corps de décomposition de $X^{2} + 1$ sur $R$ .

Théorème 31. Soit $P \in K [X]$ un polynôme de degré supérieur ou égal à $1$ .

Il existe un corps de décomposition de $P$ .
Deux corps de décomposition de $P$ sont $K$ -isomorphes.

[FGN2]
p. 160

Application 32. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On note $C (A)$ le commutant de $A$ . Alors, $K [A] = C (A) ⟺ π_{A} = χ_{A} = det (X I_{n} - A)$

Clôture algébrique

[GOZ]
p. 62

Proposition 33. Les assertions suivantes sont équivalentes :

Tout polynôme de $K [X]$ de degré supérieur ou égal à $1$ est scindé sur $K$ .
Tout polynôme de $K [X]$ de degré supérieur ou égal à $1$ admet au moins une racine dans $K$ .
Les seuls polynômes irréductibles de $K [X]$ sont ceux de degré $1$ .
Toute extension algébrique de $K$ est égale à $K$ .

Définition 34. Si $K$ vérifie un des points de la Proposition 33, $K$ est dit algébriquement clos.

Proposition 35. Tout corps algébriquement clos est infini.

Contre-exemple 36. $Q$ et même $R$ ne sont pas algébriquement clos.

Théorème 37 (D’Alembert-Gauss). $C$ est algébriquement clos.

Définition 38. On dit que $L$ est une clôture algébrique de $K$ si $L$ est une extension de $K$ algébriquement close et si $\forall x \in L, \exists P \in K [X] tel que P (x) = 0$

Exemple 39.

$C$ est une clôture algébrique de $R$ .
$\overline{Q} = {α \in C ∣ α est alg \overset{e}{ˊ} brique sur Q}$ est une clôture algébrique de $Q$ .

Théorème 40 (Steinitz).

Il existe une clôture algébrique de $K$ .
Deux clôtures algébriques de $K$ sont $K$ -isomorphes.

Polynômes cyclotomiques

Définition 41. On appelle $m$ -ième polynôme cyclotomique le polynôme $Φ_{m} = ξ \in μ_{m}^{*} \prod (X - ξ)$

Théorème 42.

$X^{m} - 1 = \prod_{d ∣ m} Φ_{d}$ .
$Φ_{m} \in Z [X]$ .
$Φ_{m}$ est irréductible sur $Q$ .

Corollaire 43. Le polynôme minimal sur $Q$ de tout élément $ξ$ de $μ_{m}^{*}$ est $Φ_{m}$ . En particulier, $[Q (ξ) : Q] = φ (m)$

Application 44 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

[GOU21]
p. 99

Lemme 45. Soient $a \in N$ et $p$ premier tels que $p ∣ Φ_{n} (a)$ mais $p ∤ Φ_{d} (a)$ pour tout diviseur strict $d$ de $n$ . Alors $p \equiv 1 mod n$ .

theoreme-de-dirichlet-faible

Application 46 (Dirichlet faible). Pour tout entier $n$ , il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $n$ .

Polynômes irréductibles sur $F_{q}$

[GOZ]
p. 87

Soient $p$ un nombre premier et $n \in N^{*}$ . On pose $q = p^{n}$ .

Théorème 47. $F_{q} = F_{p} [X] / (P)$ où $P \in F_{p} [X]$ est un polynôme irréductible de degré $n$ sur $F_{p}$ .

Corollaire 48.

Il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans $F_{p} [X]$ .
Si $P \in F_{p} [X]$ est un polynôme irréductible sur $F_{p}$ de degré $n$ , alors $P$ divise $X^{q} - X$ . En particulier, il est scindé sur $F_{q}$ . Donc son corps de rupture $F_{q} = F_{p} [X] / (P)$ est aussi son corps de décomposition.

Théorème 49. Pour tout $j \in N^{*}$ , on note $I (p, q)$ l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré $j$ sur $F_{p}$ . Alors, $X^{q} - X = d ∣ n \prod Q \in I (p, q) \prod Q$

Corollaire 50. $q = d ∣ n \sum d ∣ I (p, d) ∣$

Définition 51. On définit la fonction de Möbius, notée $μ$ , par $μ : Z n \to \mapsto Z ⎩ ⎨ ⎧ 1 (- 1)^{k} 0 si n = 1 si n = p_{1} \dots p_{k} avec p_{1}, \dots, p_{k} premiers distincts sinon$

Théorème 52 (Formule d’inversion de Möbius). Soient $f$ et $g$ des fonctions de $N^{*}$ dans $C$ telles que $\forall n \in N^{*}, f (n) = \sum_{d ∣ n} g (d)$ . Alors, $\forall n \in N^{*}, g (n) = d ∣ n \sum μ (d) f (\frac{n}{d})$