141 Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

algebra

Sauf mention contraire, les corps sont supposés commutatifs.

Irréductibilité de polynômes

Racines et polynômes irréductibles

Définition 1. Soit un anneau. Un polynôme de est dit irréductible si et ses seuls diviseurs dans sont les polynômes .

Remarque 2. Soit un corps. Alors, est euclidien, donc principal, donc factoriel.

Définition 3. Soient un corps et un sous-corps de . Soit .

  • Une racine est un élément tel que .

  • La multiplicité de comme racine de est le plus grand tel que divise dans .

  • La somme des multiplicités des racines de dans est inférieure ou égale à . En cas d’égalité, on dit que est scindé sur (ou dans ).

Proposition 4.

  1. Tout polynôme de degré est irréductible.

  2. Tout polynôme irréductible de degré strictement supérieur à n’a pas de racine dans .

Contre-exemple 5. n’a pas de racine dans , mais est réductible dans .

Proposition 6. La réciproque de la Proposition 4 Point 2 est vraie pour les polynômes de degré ou .

Proposition 7. Soit un polynôme de degré tel que . Si est une racine de , en supposant irréductible, alors et .

Exemple 8. n’a pas de racine dans .

Quelques critères d’irréductibilité

Soit un anneau factoriel.

Définition 9. Pour tout polynôme non nul , on appelle contenu de , noté , le PGCD des coefficients de . est dit primitif si .

Lemme 10 (Gauss).

  1. Le produit de deux polynômes primitifs est primitif.

  2. , .

Théorème 11. Soient le corps des fractions de et de degré supérieur ou égal à . Alors, est irréductible dans si et seulement si est irréductible dans et .

Théorème 12 (Critère d’Eisenstein). Soient le corps des fractions de et de degré . On suppose qu’il existe irréductible tel que :

  1. , .

  2. .

  3. .

Alors est irréductible dans .

Exemple 13. Soit un nombre premier. Le polynôme est irréductible dans .

Application 14. Soit . Il existe des polynômes irréductibles de degré sur .

Théorème 15 (Critère d’irréductibilité modulo ). Soient le corps des fractions de et de degré . Soit un idéal premier de . On pose et le corps des fractions de . On suppose .

Si est irréductible dans , alors est irréductible dans .

Exemple 16. Le polynôme est irréductible dans .

Adjonction de racines

Soit un corps commutatif.

Extensions algébriques

Définition 17. Soient une extension de et . Soit le morphisme d’évaluation en .

  • On note l’idéal des polynômes annulateurs de . Notons qu’on a .

  • Si est injectif, on dit que est transcendant sur .

  • Sinon, est dit algébrique sur .

Exemple 18.

  • et sont transcendants sur (théorèmes d’Hermite et de Lindemann).

  • , , ... sont algébriques sur .

Proposition 19. Soient une extension de et . Les assertions suivantes sont équivalentes.

  1. est algébrique sur .

  2. .

  3. .

Proposition 20. En reprenant les notations précédentes, si est transcendant, on a

Définition 21. Soient une extension de et . Si est algébrique sur , alors est un idéal principal non nul. Donc, il existe unitaire tel que . On note ce polynôme : c’est le polynôme minimal de sur .

Exemple 22. Sur , on a et .

Proposition 23. Soient une extension de et . Soient . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. et est unitaire et .

  3. et est unitaire et irréductible dans .

Corps de rupture

Définition 24. Soient une extension de et irréductible. On dit que est un corps de rupture de si est une racine de .

Exemple 25. En reprenant les notations précédentes, si , alors est un corps de rupture de .

Théorème 26. Soit un polynôme irréductible sur .

  • Il existe un corps de rupture de .

  • Si et sont deux corps de rupture de , alors il existe un unique -isomorphisme tel que .

Application 27. est un polynôme irréductible sur dont est un corps de rupture. On pose alors , le corps des nombres complexes, et on note la classe de dans l’anneau quotient.

Remarque 28. Si est un corps de rupture d’un polynôme , on a . Plus précisément, une base de en tant que -espace vectoriel est .

Corps de décomposition

Définition 29. Soit de degré . On dit que est un corps de décomposition de si :

  • Il existe et tels que .

  • .

Exemple 30.

  • est un corps de décomposition de tout polynôme de degré sur .

  • est un corps de décomposition de sur .

Théorème 31. Soit un polynôme de degré supérieur ou égal à .

  • Il existe un corps de décomposition de .

  • Deux corps de décomposition de sont -isomorphes.

Application 32. Soit . On note le commutant de . Alors,

Clôture algébrique

Proposition 33. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. Tout polynôme de de degré supérieur ou égal à est scindé sur .

  2. Tout polynôme de de degré supérieur ou égal à admet au moins une racine dans .

  3. Les seuls polynômes irréductibles de sont ceux de degré .

  4. Toute extension algébrique de est égale à .

Définition 34. Si vérifie un des points de la Proposition 33, est dit algébriquement clos.

Proposition 35. Tout corps algébriquement clos est infini.

Contre-exemple 36. et même ne sont pas algébriquement clos.

Théorème 37 (D’Alembert-Gauss). est algébriquement clos.

Définition 38. On dit que est une clôture algébrique de si est une extension de algébriquement close et si

Exemple 39.

  • est une clôture algébrique de .

  • est une clôture algébrique de .

Théorème 40 (Steinitz).

  1. Il existe une clôture algébrique de .

  2. Deux clôtures algébriques de sont -isomorphes.

Polynômes cyclotomiques

Définition 41. On appelle -ième polynôme cyclotomique le polynôme

Théorème 42.

  1. .

  2. .

  3. est irréductible sur .

Corollaire 43. Le polynôme minimal sur de tout élément de est . En particulier,

Application 44 (Théorème de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

Lemme 45. Soient et premier tels que mais pour tout diviseur strict de . Alors .

Application 46 (Dirichlet faible). Pour tout entier , il existe une infinité de nombres premiers congrus à modulo .

Polynômes irréductibles sur

Soient un nombre premier et . On pose .

Théorème 47. est un polynôme irréductible de degré sur .

Corollaire 48.

  1. Il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans .

  2. Si est un polynôme irréductible sur de degré , alors divise . En particulier, il est scindé sur . Donc son corps de rupture est aussi son corps de décomposition.

Théorème 49. Pour tout , on note l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré sur . Alors,

Corollaire 50.

Définition 51. On définit la fonction de Möbius, notée , par

Théorème 52 (Formule d’inversion de Möbius). Soient et des fonctions de dans telles que . Alors,

Corollaire 53.