144 Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

algebra

Soient $K$ un corps commutatif et $A$ une algèbre sur $K$ . À tout polynôme $P = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}$ de $K [X]$ , on associe l’application

$P : A x \to \mapsto A \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

L’application $P \mapsto P$ est un morphisme d’algèbres. On notera abusivement $P = P$ par la suite s’il n’y a pas d’ambiguïté.

Polynômes

Racines

[GOU21]
p. 63

Soit $P \in K [X]$ .

Définition 1. Soit $L$ une extension de $K$ (cf. Section Adjonction de racines). On dit que $a \in L$ est une racine de $P$ si $P (a) = 0$ .

Proposition 2. $a \in K$ est racine de $P$ si et seulement si $X - a ∣ P$ .

Application 3 (Polynômes d’interpolation de Lagrange). Soient $a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ deux à deux distincts et $b_{1}, \dots b_{n} \in K$ . Alors $\exists! L \in K [X] tel que \forall i \in [[1, n]], L (a_{i}) = b_{i}$

Définition 4. Soient $a \in K$ et $h \in N^{*}$ . On dit que $a$ est racine de $P$ d’ordre $h$ si $(X - a)^{h} ∣ P$ mais $(X - a)^{h + 1} ∤ P$ .

Proposition 5. Soient $a_{1}, \dots, a_{r} \in K$ des racines de $P$ distinctes deux à deux et d’ordre $h_{1}, \dots, h_{r}$ . Alors, $\exists Q \in K [X]$ tel que $P = (X - a_{1})^{h_{1}} \dots (X - a_{r})^{h_{r}} Q (X) et Q (a_{i}) \neq = 0 \forall i \in [[1, n]]$

Corollaire 6. Si $P \in K [X]$ est de degré $n \geq 1$ , alors $P$ a au plus $n$ racines (comptées avec leur ordre de multiplicité).

Contre-exemple 7. C’est faux en général dans un anneau. Par exemple, si $P = \overline{4} X \in Z /8 Z [X]$ , alors $P$ a trois racines : $\overline{0}$ , $\overline{1}$ et $\overline{4}$ , mais $de g (P) = 1$ .

Proposition 8. Si $K$ est infini et $P (x) = 0$ pour tout $x \in K$ , alors $P = 0$ .

Contre-exemple 9. Si $K = {a_{1}, \dots, a_{n}}$ , le polynôme $(X - a_{1}) \dots (X - a_{n})$ est non nul, mais son évaluation en tout élément de $K$ vaut $0$ .

Définition 10. $P$ est dit scindé sur $K$ si on peut écrire $P = λ (X - a_{1})^{h_{1}} \dots (X - a_{r})^{h_{r}}$ avec $λ \in K$ et pour tout $i \in [[1, n]]$ , $a_{i} \in K$ et $h_{i} \in N^{*}$ .

Définition 11. On appelle polynôme dérivé de $P$ le polynôme $P^{'} = a_{1} + 2 a_{2} X + \dots + n a_{n} X^{n - 1}$

Remarque 12. L’application $P \to P^{'}$ est linéaire, et les règles de dérivation coïncident avec les règles usuelles.

Théorème 13 (Formule de Taylor). On suppose $K$ de caractéristique nulle. Alors tout polynôme $F$ de degré inférieur ou égal à $n$ vérifie $\forall a \in K, F (X) = i = 0 \sum n \frac{( X - a ) ^{i}}{i !} F^{(i)} (a)$

Corollaire 14. On suppose $K$ de caractéristique nulle et $P \neq = 0$ . Alors $a \in K$ est racine d’ordre $h$ de $P$ si et seulement si $\forall i \in [[1, h - 1]], P^{(i)} (a) = 0 et P^{(h)} (a) \neq = 0$

Exemple 15. Le polynôme $P_{n} = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i !} X^{i}$ n’a que des racines simples dans $C$ .

Remarque 16. C’est encore vrai en caractéristique non nulle pour $h = 1$ .

Polynômes symétriques

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire.

p. 83

Définition 17. Soit $P \in A [X_{1}, \dots, X_{n}]$ . On dit que $P$ est symétrique si $\forall σ \in S_{n}, P (X_{σ (1)}, \dots, X_{σ (n)}) = P (X_{1}, \dots, X_{n})$

Exemple 18. Dans $R [X]$ , le polynôme $X Y + Y Z + ZX$ est symétrique.

Définition 19. On appelle polynômes symétriques élémentaires de $A [X_{1}, \dots, X_{n}]$ les polynômes noté $Σ_{p}$ où $p \in [[1, n]]$ définis par $Σ_{p} = 1 \leq i_{1} < \dots < i_{p} \leq n \sum X_{i_{1}} \dots X_{i_{p}}$

Exemple 20.

$Σ_{1} = X_{1} + \dots + X_{n}$ .
$Σ_{2} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} X_{i} X_{j}$ .
$Σ_{n} = X_{1} \dots X_{n}$ .

Remarque 21. Si $P \in A [X_{1}, \dots, X_{n}]$ , alors $P (Σ_{1} (X_{1}, \dots, X_{n}), \dots, Σ_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}))$ est symétrique. Et la réciproque est vraie.

Théorème 22 (Théorème fondamental des polynômes symétriques). Soit $P \in A [X_{1}, \dots, X_{n}]$ un polynôme symétrique. Alors, $\exists! Φ \in A [X_{1}, \dots, X_{n}] tel que Φ (Σ_{1}, \dots, Σ_{n})$

Exemple 23. $P = X^{3} + Y^{3} + Z^{3}$ s’écrit $P = Σ_{1}^{3} - 3 Σ_{1} Σ_{2} + 3 Σ_{3}$ .

p. 64

Application 24 (Relations coefficients - racines). Soit $P = a_{0} X^{n} + \dots + a_{n} \in K [X]$ avec $a_{0} \neq = 0$ scindé sur $K$ , dont les racines (comptées avec leur ordre de multiplicité) sont $x_{1}, \dots, x_{n}$ . Alors $\forall p \in [[1, n]], Σ_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = (- 1)^{p} \frac{a _{p}}{a _{0}}$ En particulier,

$Σ_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = - \frac{a _{1}}{a _{0}}$ .
$Σ_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \prod_{i = 1}^{n} x_{i} = (- 1)^{n} \frac{a _{n}}{a _{0}}$ .

[I-P]
p. 279

theoreme-de-kronecker

Application 25 (Théorème de Kronecker). Soit $P \in Z [X]$ unitaire tel que toutes ses racines complexes appartiennent au disque unité épointé en l’origine (que l’on note $D$ ). Alors toutes ses racines sont des racines de l’unité.

Corollaire 26. Soit $P \in Z [X]$ unitaire et irréductible sur $Q$ tel que toutes ses racines complexes soient de module inférieur ou égal à $1$ . Alors $P = X$ ou $P$ est un polynôme cyclotomique.

[GOU21]
p. 86

Définition 27. On appelle identités de Newton les polynômes $S_{p} = i = 1 \sum n X_{i}^{p} \in R [X]$

Proposition 28.

$\forall k \in [[1, n - 1]], S_{k} = (- 1)^{k + 1} k Σ_{k} + \sum_{i = 1}^{k - 1} (- 1)^{i + 1} Σ_{i} S_{n - k + i}$ .
$\forall p \in N, S_{p + n} = \sum_{i = 1}^{n} Σ_{i} S_{p + n - i}$ .

[C-G]
p. 356

formes-de-hankel

Application 29 (Formes de Hankel). On suppose $K = R$ et on note $x_{1}, \dots, x_{t}$ les racines complexes de $P$ de multiplicités respectives $m_{1}, \dots, m_{t}$ . On pose $s_{0} = n et \forall k \geq 1, s_{k} = i = 1 \sum t m_{i} x_{i}^{k}$ Alors :

$σ = \sum_{i, j \in [[0, n - 1]]} s_{i + j} X_{i} X_{j}$ définit une forme quadratique sur $C^{n}$ ainsi qu’une forme quadratique $σ_{R}$ sur $R^{n}$ .
Si on note $(p, q)$ la signature de $σ_{R}$ , on a :
- $t = p + q$ .
- Le nombre de racines réelles distinctes de $P$ est $p - q$ .

Adjonction de racines

[GOZ]
p. 21

Définition 30. On appelle extension de $K$ tout corps $L$ tel qu’il existe un morphisme de corps de $K$ dans $L$ . On notera $L / K$ pour signifier que $L$ est une extension de $K$ par la suite.

Remarque 31.

Si $K$ est un sous-corps de $L$ , alors $L$ est une extension de $K$ .
Un morphisme de corps est forcément injectif, donc on peut identifier $K$ à son image et dire que $K \subseteq L$ de manière abusive.

Exemple 32. $C$ est une extension de $R$ .

L’idée dans la suite va être de chercher comment rajouter des racines à des polynômes pourtant irréductibles sur un corps.

Corps de rupture

p. 57

Définition 33. Soient $L$ une extension de $K$ et $P \in K [X]$ irréductible. On dit que $L$ est un corps de rupture de $P$ si $L = K [α]$ où $α \in L$ est une racine de $P$ .

Exemple 34.

Avec les notations précédentes, si $de g (P) = 1$ , $K$ est un corps de rupture de $P$ .
$C$ est un corps de rupture de $X^{2} + 1$ sur $R$ .
$F_{4}$ est un corps de rupture de $X^{2} + X + 1$ sur $F_{2}$ .

Théorème 35. Soit $P \in K [X]$ un polynôme irréductible sur $K$ .

Il existe un corps de rupture de $P$ .
Si $L = K [α]$ et $L^{'} = K [β]$ sont deux corps de rupture de $P$ , alors il existe un unique $K$ -isomorphisme $φ : L \to L^{'}$ tel que $φ (α) = β$ .

Corps de décomposition

Définition 36. Soit $P \in K [X]$ de degré $n \geq 1$ . On dit que $L$ est un corps de décomposition de $P$ si :

Il existe $a \in L$ et $α_{1}, \dots, α_{n} \in L$ tels que $P = a (X - α_{1}) \dots (X - α_{n})$ .
$L = K [α_{1}, \dots, α_{n}]$ .

Exemple 37.

$K$ est un corps de décomposition de tout polynôme de degré $1$ sur $K$ .
$C$ est un corps de décomposition de $X^{2} + 1$ sur $R$ .
Soit $ξ \in μ_{n}^{*}$ , alors $Q [ξ]$ est un corps de décomposition de $Φ_{n}$ (le $n$ -ième polynôme cyclotomique) sur $Q$ .

Théorème 38. Soit $P \in K [X]$ un polynôme de degré supérieur ou égal à $1$ .

Il existe un corps de décomposition de $P$ .
Deux corps de décomposition de $P$ sont $K$ -isomorphes.

Clôture algébrique

Définition 39. $K$ est algébriquement clos si tout polynôme de $K [X]$ de degré supérieur ou égal à $1$ admet au moins une racine dans $K$ .

Exemple 40.

$Q$ n’est pas algébriquement clos.
$R$ non plus.

Proposition 41. Tout corps algébriquement clos est infini.

Théorème 42 (D’Alembert-Gauss). $C$ est algébriquement clos.

Définition 43. On dit que $L$ est une clôture algébrique de $K$ si $L$ est une extension de $K$ algébriquement close et si $\forall x \in L, \exists P \in K [X] tel que P (x) = 0$

Exemple 44.

$C$ est une clôture algébrique de $R$ .
$\overline{Q} = {α \in C ∣ \exists P \in Q [X] ∖ {0} tel que P (α) = 0}$ est une clôture algébrique de $Q$ .

Théorème 45 (Steinitz).

Il existe une clôture algébrique de $K$ .
Deux clôtures algébriques de $K$ sont $K$ -isomorphes.

Application en algèbre linéaire

[GOU21]
p. 171

p. 186

Définition 46. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On appelle :

Polynôme caractéristique de $A$ le polynôme $χ_{A} = det (A - X I_{n})$ .
Polynôme minimal de $A$ l’unique polynôme unitaire $π_{A}$ qui engendre l’idéal $Ann (A) = {Q \in K [X] ∣ Q (A) = 0}$ .

p. 172

Proposition 47. $λ est valeur propre de A ⟺ χ_{A} (λ) = 0 ⟺ π_{A} (λ) = 0$

p. 185

Proposition 48.

$A$ est trigonalisable si et seulement si $χ_{A}$ est scindé sur $K$ .
$A$ est diagonalisable si et seulement si $π_{A}$ est scindé à racines simples sur $K$ .

Corollaire 49. Si $K = F_{q}$ , $A$ est diagonalisable si et seulement si $A^{q} = A$ .