144 Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

algebra

Soient un corps commutatif et une algèbre sur . À tout polynôme de , on associe l’application

L’application est un morphisme d’algèbres. On notera abusivement par la suite s’il n’y a pas d’ambiguïté.

Polynômes

Racines

Soit .

Définition 1. Soit une extension de (cf. 0.2). On dit que est une racine de si .

Proposition 2. est racine de si et seulement si .

Application 3 (Polynômes d’interpolation de Lagrange). Soient deux à deux distincts et . Alors

Définition 4. Soient et . On dit que est racine de d’ordre si mais .

Proposition 5. Soient des racines de distinctes deux à deux et d’ordre . Alors, tel que

Corollaire 6. Si est de degré , alors a au plus racines (comptées avec leur ordre de multiplicité).

Contre-exemple 7. C’est faux en général dans un anneau. Par exemple, si , alors a trois racines : , et , mais .

Proposition 8. Si est infini et pour tout , alors .

Contre-exemple 9. Si , le polynôme est non nul, mais son évaluation en tout élément de vaut .

Définition 10. est dit scindé sur si on peut écrire avec et pour tout , et .

Définition 11. On appelle polynôme dérivé de le polynôme

Remarque 12. L’application est linéaire, et les règles de dérivation coïncident avec les règles usuelles.

Théorème 13 (Formule de Taylor). On suppose de caractéristique nulle. Alors tout polynôme de degré inférieur ou égal à vérifie

Corollaire 14. On suppose de caractéristique nulle et . Alors est racine d’ordre de si et seulement si

Exemple 15. Le polynôme n’a que des racines simples dans .

Remarque 16. C’est encore vrai en caractéristique non nulle pour .

Polynômes symétriques

Soit un anneau commutatif unitaire.

Définition 17. Soit . On dit que est symétrique si

Exemple 18. Dans , le polynôme est symétrique.

Définition 19. On appelle polynômes symétriques élémentaires de les polynômes noté définis par

Exemple 20.

  • .

  • .

  • .

Remarque 21. Si , alors est symétrique. Et la réciproque est vraie.

Théorème 22 (Théorème fondamental des polynômes symétriques). Soit un polynôme symétrique. Alors,

Exemple 23. s’écrit .

Application 24 (Relations coefficients - racines). Soit avec scindé sur , dont les racines (comptées avec leur ordre de multiplicité) sont . Alors En particulier,

  • .

  • .

Application 25 (Théorème de Kronecker). Soit unitaire tel que toutes ses racines complexes appartiennent au disque unité épointé en l’origine (que l’on note ). Alors toutes ses racines sont des racines de l’unité.

Corollaire 26. Soit unitaire et irréductible sur tel que toutes ses racines complexes soient de module inférieur ou égal à . Alors ou est un polynôme cyclotomique.

Définition 27. On appelle identités de Newton les polynômes

Proposition 28.

  • .

  • .

Application 29 (Formes de Hankel). On suppose et on note les racines complexes de de multiplicités respectives . On pose Alors :

  1. définit une forme quadratique sur ainsi qu’une forme quadratique sur .

  2. Si on note la signature de , on a :

    • .

    • Le nombre de racines réelles distinctes de est .

Adjonction de racines

Définition 30. On appelle extension de tout corps tel qu’il existe un morphisme de corps de dans . On notera pour signifier que est une extension de par la suite.

Remarque 31.

  • Si est un sous-corps de , alors est une extension de .

  • Un morphisme de corps est forcément injectif, donc on peut identifier à son image et dire que de manière abusive.

Exemple 32. est une extension de .

L’idée dans la suite va être de chercher comment rajouter des racines à des polynômes pourtant irréductibles sur un corps.

Définition 33. Soient une extension de et irréductible. On dit que est un corps de rupture de si est une racine de .

Exemple 34.

  • Avec les notations précédentes, si , est un corps de rupture de .

  • est un corps de rupture de sur .

  • est un corps de rupture de sur .

Théorème 35. Soit un polynôme irréductible sur .

  • Il existe un corps de rupture de .

  • Si et sont deux corps de rupture de , alors il existe un unique -isomorphisme tel que .

Définition 36. Soit de degré . On dit que est un corps de décomposition de si :

  • Il existe et tels que .

  • .

Exemple 37.

  • est un corps de décomposition de tout polynôme de degré sur .

  • est un corps de décomposition de sur .

  • Soit , alors est un corps de décomposition de (le -ième polynôme cyclotomique) sur .

Théorème 38. Soit un polynôme de degré supérieur ou égal à .

  • Il existe un corps de décomposition de .

  • Deux corps de décomposition de sont -isomorphes.

Définition 39. est algébriquement clos si tout polynôme de de degré supérieur ou égal à admet au moins une racine dans .

Exemple 40.

  • n’est pas algébriquement clos.

  • non plus.

Proposition 41. Tout corps algébriquement clos est infini.

Théorème 42 (D’Alembert-Gauss). est algébriquement clos.

Définition 43. On dit que est une clôture algébrique de si est une extension de algébriquement close et si

Exemple 44.

  • est une clôture algébrique de .

  • est une clôture algébrique de .

Théorème 45 (Steinitz).

  1. Il existe une clôture algébrique de .

  2. Deux clôtures algébriques de sont -isomorphes.

Application en algèbre linéaire

Définition 46. Soit . On appelle :

  • Polynôme caractéristique de le polynôme .

  • Polynôme minimal de l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéal .

Proposition 47.

Proposition 48.

  • est trigonalisable si et seulement si est scindé sur .

  • est diagonalisable si et seulement si est scindé à racines simples sur .

Remarque 49. Si , est diagonalisable si et seulement si .