148 Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

algebra

Soient un corps commutatif.

Espaces vectoriels de dimension finie

Soit un espace vectoriel sur .

Familles génératrices, familles libres

Définition 1. Soit .

  • On dit que est une partie génératrice de si .

  • On dit que est une partie libre de si (ou de manière équivalente, si aucun vecteur de n’est combinaison linéaire des autres).

  • On dit que est une partie liée de si n’est pas libre.

Exemple 2. Dans le -espace vectoriel des fonctions réelles continues, les familles suivantes sont libres :

  • .

  • .

  • .

Proposition 3 (Polynômes à degrés échelonnés). Une famille de polynômes non nuls de échelonnée en degré est libre dans .

Application 4 (Théorème des extrema liés). Soit un ouvert de et soient des fonctions de classe . On note . Si admet un extremum relatif en et si les formes linéaires sont linéairement indépendantes, alors il existe des uniques appelés multiplicateurs de Lagrange tels que

Définition 5. On dit que est de dimension finie s’il existe une partie génératrice finie de . Dans le cas contraire, est dit de dimension infinie.

Bases

Définition 6. Une partie libre et génératrice de est une base de .

Exemple 7.

  • La famille (où , le se trouvant à la -ième position) est une base de appelée base canonique de .

  • La famille est une base de appelée base canonique de .

Proposition 8. Plus généralement, toute famille de polynômes non nuls de échelonnée en degré est une base de .

Proposition 9. Soit une base de . Alors, tout vecteur de s’écrit de manière unique avec . Les sont les coordonnées de dans la base .

Théorème 10. On suppose de dimension finie. Alors pour toute partie génératrice et toute famille libre , il existe une base de telle que .

Corollaire 11. On suppose de dimension finie.

  • Il existe une base de .

  • (Théorème de la base extraite) De toute partie génératrice de , on peut extraire une base de .

  • (Théorème de la base incomplète) Toute partie libre de peut-être complétée en une base de .

Théorie de la dimension

Théorème 12. On suppose de dimension finie. Toutes les bases de ont le même cardinal . L’entier s’appelle dimension de , noté (ou simplement en l’absence d’ambiguïté sur le corps de base).

Dans toute la suite de la section, on se limitera au cas où est de dimension finie, et notera .

Proposition 13.

  • Tout système libre de vecteurs de est une base de .

  • Tout système générateur de vecteurs de est une base de .

Proposition 14. Soient des sous-espaces vectoriels de . Alors,

Proposition 15 (Formule de Grassmann). Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Alors,

Corollaire 16. Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. et .

  3. et .

Exemple 17.

Rang

Rang d’une application linéaire

Définition 18. Soient et deux espaces vectoriels sur . Soit . Si est de dimension finie, on appelle rang de l’entier , noté .

Théorème 19 (Théorème du rang). Soient et deux espaces vectoriels sur avec de dimension finie. Alors,

Corollaire 20. Soit et sont de même dimension finie. Alors :

Contre-exemple 21. L’application est linéaire surjective, mais pas injective.

Application 22. L’application est un isomorphisme.

Rang d’une matrice

Définition 23. Soit . On appelle rang de la dimension du sous-espace vectoriel de engendré par les colonnes de . Si est la matrice d’une application linéaire , on a .

Remarque 24. Soit .

  • .

  • Si , est inversible si et seulement si .

Théorème 25. Soit . Si est de rang , alors est équivalente à

Corollaire 26. Deux matrices et sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

Théorème 27. Le rang d’une matrice est le plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de cette matrice.

Corollaire 28. Le rang de toute matrice est égal au rang de sa transposée.

Remarque 29. Autrement dit, la dimension du sous-espace engendré par les vecteurs colonnes d’une matrice est égal à la dimension du sous-espace engendré par ses vecteurs lignes.

Proposition 30. On ne change pas le rang d’une matrice par opérations élémentaires.

Exemple 31. On peut utiliser l’algorithme du pivot de Gauss pour trouver le rang d’une matrice. Ainsi,

Applications

Dualité

Soit un espace vectoriel sur de dimension finie .

Définition 32. L’ensemble est appelé dual de . Ses éléments sont les formes linéaires sur .

Définition 33. Soit une base de . Pour tout , on définit la forme linéaire coordonnée d’indice .

Théorème 34. est une base de appelée base duale de . est alors la base antéduale de .

Corollaire 35.

  • est de dimension finie et .

  • .

Application 36 (Formule de Taylor). Pour tout , on définit : Alors, est une base de , dont la base antéduale est .

Classification des formes quadratiques

Soit un espace vectoriel sur de dimension .

Définition 37. Soit une application.

  • est une forme bilinéaire sur si est linéaire et de même pour . Si est une base de , on définit la matrice de dans par .

  • Si de plus , on dit que est symétrique.

Définition 38. On appelle forme quadratique sur toute application de la forme est une forme bilinéaire symétrique sur .

Proposition 39. Soit une forme quadratique sur . Il existe une unique forme bilinéaire symétrique telle que pour tout , .

est alors la forme polaire de , et on a

Définition 40. Soit une forme quadratique sur . On appelle rang de (noté ) le rang de la matrice de sa forme polaire.

Lemme 41. Soit une forme quadratique sur . Il existe une base -orthogonale (ie. si est la forme polaire de , une base si ).

Théorème 42 (Loi d’inertie de Sylvester). Soit une forme quadratique sur . où les formes linéaires sont linéairement indépendantes et où . De plus, ces entiers ne dépendent que de et pas de la décomposition choisie.

Le couple est la signature de et le rang est égal à .

Exemple 43. La signature de la forme quadratique est , donc son rang est .

Extensions de corps

Définition 44. On appelle extension de tout corps tel qu’il existe un morphisme de corps de dans . On notera pour signifier que est une extension de par la suite.

Définition 45. Soit une extension de . On appelle degré de et on note , la dimension de comme -espace vectoriel.

Théorème 46 (Base télescopique). Soient une extension de et un espace vectoriel sur . Soient une base de en tant que -espace vectoriel et une base de en tant que -espace vectoriel.

Alors est une base de en tant que -espace vectoriel.

Corollaire 47 (Multiplicativité des degrés). Soient une extension de et une extension de . Alors, sont équivalentes :

  1. est un -espace vectoriel de dimension finie.

  2. est un -espace vectoriel de dimension finie et est un -espace vectoriel de dimension finie.

On a alors :

Exemple 48.

Commutant

Soit .

Lemme 49. Si , alors est cyclique :

Notation 50.

  • On note l’ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d’ordre à coefficients dans le corps .

  • On note le commutant de .

Lemme 51.

Lemme 52. Le rang de est invariant par extension de corps.

Théorème 53.