149 Déterminant. Exemples et applications.

Déterminant. Exemples et applications.

algebra

Soient un corps commutatif et un espace vectoriel de dimension finie sur .

Construction

Formes -linéaires alternées et déterminant

Définition 1. Soient et des espaces vectoriels sur et .

  • est dite -linéaire si en tout point les applications partielles sont linéaires.

  • Si est -linéaire et si ainsi que , est une forme -linéaire. On note l’ensemble des formes -linéaires sur .

  • Si de plus dès que deux vecteurs parmi les sont égaux, alors est dite alternée.

Exemple 2. En reprenant les notations précédentes, pour , est bilinéaire.

Proposition 3. est un espace vectoriel et, .

Théorème 4. L’ensemble des formes -linéaires alternées sur est un -espace vectoriel de dimension . De plus, il existe une unique forme -linéaire alternée prenant la valeur sur une base de . On note .

Définition 5. est l’application déterminant dans la base . En l’absence d’ambiguïté, on s’autorise à noter .

Proposition 6. Soit une base de . Si (, on peut écrire ), on a la formule .

Proposition 7. Soit une base de . Si est une autre base de , alors .

Théorème 8. Une famille de vecteurs est liée si et seulement si son déterminant est nul dans une base quelconque de .

Déterminant d’un endomorphisme

Lemme 9. Soient et une base de . Le scalaire ne dépend pas de la base considérée.

Définition 10. Soient et une base de . On appelle déterminant de le scalaire . On le note .

Proposition 11. Soient .

  1. .

  2. .

  3. . Dans ce cas, on a .

Déterminant d’une matrice carrée

Définition 12. Soit . On appelle déterminant de , le déterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique de . On le note .

Notation 13. Si , on note son déterminant sous la forme

Exemple 14.

  • .

  • .

Proposition 15. Soit .

  1. .

  2. dépend linéairement des colonnes (resp. des lignes) de .

  3. .

  4. .

  5. Si est la matrice de dans une base, alors .

  6. Si , .

  7. Deux matrices semblables ont le même déterminant.

Méthodes de calcul

Propriétés

Proposition 16. Soit .

  1. Si on effectue une permutation sur les colonnes ou les lignes de , le déterminant est multiplié par (la signature de ).

  2. Si est triangulaire, est le produit des éléments diagonaux de .

  3. On ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes. Même chose sur les lignes.

Exemple 17.

Proposition 18 (Déterminant par blocs). Soit une matrice triangulaire par blocs, de la forme alors .

Mineurs et cofacteurs

Définition 19. Soit .

  • Pour tout , on appelle mineur de l’élément le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la -ième ligne et la -ième colonne de .

  • Le scalaire s’appelle le cofacteur de .

  • On appelle mineurs principaux de les déterminants pour .

Proposition 20. En reprenant les notations précédentes :

  1. Soit . On a (développement par rapport à la -ième colonne).

  2. Soit . On a (développement par rapport à la -ième ligne).

Exemple 21.

Définition 22. Soit . La matrice des cofacteurs des éléments de est appelée comatrice de , et on la note .

Proposition 23. Soit . On a :

Corollaire 24. Soit . Alors,

Exemple 25. Soit . Alors,

Exemples classiques

Exemple 26 (Déterminant de Vandermonde). Soient . Alors

Exemple 27 (Déterminant de Cauchy). Soient tels que pour tout , . Alors

Exemple 28 (Déterminant circulant). Soient . On pose . Alors .

Applications

Aux systèmes d’équations linéaires

On cherche à résoudre un système d’équations linéaires de la forme

avec et .

Théorème 29 (Formules de Cramer). On se place dans le cas . Alors, admet une unique solution si et seulement si . Dans ce cas, elle est donnée par avec obtenue en remplaçant la -ième colonne de par .

Lemme 30. Soit . Il existe un déterminant d’ordre extrait de .

Définition 31.

  • Le déterminant précédent est le déterminant principal de .

  • Les équations (resp. inconnues) dont les indices sont deux des lignes (resp. colonnes) de s’appellent les équations principales (resp. inconnues principales).

  • Si , on appelle déterminants caractéristiques les déterminants d’ordre de la forme

    avec .

Théorème 32 (Rouché-Fontené). Le système admet des solutions si et seulement si ou les déterminants caractéristiques sont nuls. Le système est alors équivalent au système des équations principales. Les inconnues principales étant déterminées par un système de Cramer à l’aide des inconnues non principales.

Exemple 33. Si, on a , admet des solutions si et seulement si , et

En géométrie

Volume d’un parallélépipède

Théorème 34. L’aire du parallélogramme engendré par deux vecteurs est égale à

Corollaire 35. Soient . On note le volume du parallélépipède rectangle engendré par (ie. l’ensemble ). On a alors :

Suite de polygones

Théorème 36 (Suite de polygones). Soit un polygone dont les sommets sont . On définit la suite de polygones par récurrence en disant que, pour tout , les sommets de sont les milieux des arêtes de .

Alors la suite converge vers l’isobarycentre de .

En algèbre linéaire

Définition 37. Soit . On appelle :

  • Polynôme caractéristique de le polynôme .

  • Polynôme minimal de l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéal .

Proposition 38.

Proposition 39.

  • est trigonalisable si et seulement si est scindé sur .

  • est diagonalisable si et seulement si est scindé à racines simples sur .

Corollaire 40. Si , est diagonalisable si et seulement si .

Théorème 41 (Cayley-Hamilton).

À l’étude du groupe linéaire

Théorème 42. Soit . Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. transforme toute base de en une base de .

  7. Il existe tel que .

  8. Il existe tel que .

Proposition 43. est un morphisme surjectif.

Soit un nombre premier . On se place sur le corps .

Définition 44. Soit un hyperplan de et un supplémentaire de . On définit la dilatation de base , de direction et de rapport par

Théorème 45. Si , les dilatations engendre .

Notation 46. Soit . On note le symbole de Legendre de modulo .

Lemme 47. est un morphisme de groupes.

Lemme 48. Il y a résidus quadratiques dans .

Théorème 49. Le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique.

Théorème 50 (Frobenius-Zolotarev). est vu comme une permutation des éléments de .

Annexes

tikzpicture-1
La suite de polygones.