149 Déterminant. Exemples et applications.

Déterminant. Exemples et applications.

algebra

Soient $K$ un corps commutatif et $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur $K$ .

Construction

Formes $n$ -linéaires alternées et déterminant

Définition 1. Soient $E_{1}, \dots, E_{p}$ et $F$ des espaces vectoriels sur $K$ et $f : E_{1}, \dots, E_{p} \to F$ .

$f$ est dite $p$ -linéaire si en tout point les $p$ applications partielles sont linéaires.
Si $f$ est $p$ -linéaire et si $E_{1} = \dots = E_{p}$ ainsi que $F = K$ , $f$ est une forme $p$ -linéaire. On note $L_{p} (E, K)$ l’ensemble des formes $p$ -linéaires sur $E$ .
Si de plus $f (x_{1}, \dots, x_{p}) = 0$ dès que deux vecteurs parmi les $x_{i}$ sont égaux, alors $f$ est dite alternée.

Exemple 2. En reprenant les notations précédentes, pour $p = 2$ , $f$ est bilinéaire.

Proposition 3. $L_{p} (E, K)$ est un espace vectoriel et, $dim (L_{p} (E, K)) = dim (E)^{p}$ .

Théorème 4. L’ensemble des formes $n$ -linéaires alternées sur $E$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension $1$ . De plus, il existe une unique forme $n$ -linéaire alternée $f$ prenant la valeur $1$ sur une base $B$ de $E$ . On note $f = det_{B}$ .

Définition 5. $det_{B}$ est l’application déterminant dans la base $B$ . En l’absence d’ambiguïté, on s’autorise à noter $det = det_{B}$ .

Proposition 6. Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Si $x_{1}, \dots, x_{n} \in E$ ( $\forall i \in [[1, n]]$ , on peut écrire $x_{i} = \sum_{j = 1}^{n} x_{i, j} e_{j}$ ), on a la formule $det_{B} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{σ \in S_{n}} ϵ (σ) \prod_{i = 1}^{n} x_{i, σ (i)}$ .

Proposition 7. Soit $B$ une base de $E$ . Si $B^{'}$ est une autre base de $E$ , alors $det_{B^{'}} = det_{B^{'}} (B) det_{B}$ .

Théorème 8. Une famille de vecteurs est liée si et seulement si son déterminant est nul dans une base quelconque de $E$ .

Déterminant d’un endomorphisme

Lemme 9. Soient $f \in L (E)$ et $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Le scalaire $det_{B} (f (e_{1}), \dots, f (e_{n}))$ ne dépend pas de la base $B$ considérée.

Définition 10. Soient $f \in L (E)$ et $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . On appelle déterminant de $f$ le scalaire $det_{B} (f (e_{1}), \dots, f (e_{n}))$ . On le note $det (f)$ .

Proposition 11. Soient $f, g \in L (E)$ .

$det (f \circ g) = det (f) \times det (g)$ .
$det (id_{e}) = 1$ .
$f \in GL (E) ⟺ det (f) \neq = 0$ . Dans ce cas, on a $det (f^{- 1}) = det (f)^{- 1}$ .

Déterminant d’une matrice carrée

Définition 12. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On appelle déterminant de $A$ , le déterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique de $K^{n}$ . On le note $det (A)$ .

Notation 13. Si $A = (a_{i, j})_{i, j \in [[1, n]]} \in M_{n} (K)$ , on note son déterminant sous la forme $det (A) = a_{1, 1} ⋮ a_{n, 1} \dots ⋱ \dots a_{1, n} ⋮ a_{n, n}$

[GRI]
p. 104

Exemple 14.

$a b c d = a d - b c$ .
$121 - 2 15 3 - 1 1 = 39$ .

[GOU21]
p. 142

Proposition 15. Soit $A \in M_{n} (K)$ .

$det (A) = det ((^{t} A)$ .
$det (A)$ dépend linéairement des colonnes (resp. des lignes) de $A$ .
$\forall λ \in K, det (λ A) = λ^{n} det (A)$ .
$det (A) \neq = 0 ⟺ A \in GL_{n} (K)$ .
Si $A$ est la matrice de $f \in L (E)$ dans une base, alors $det (f) = det (A)$ .
Si $B \in M_{n} (K)$ , $det (A B) = det (A) det (B)$ .
Deux matrices semblables ont le même déterminant.

Méthodes de calcul

Propriétés

Proposition 16. Soit $A \in M_{n} (K)$ .

Si on effectue une permutation $σ \in S_{n}$ sur les colonnes ou les lignes de $A$ , le déterminant est multiplié par $ϵ (σ)$ (la signature de $σ$ ).
Si $A$ est triangulaire, $det (A)$ est le produit des éléments diagonaux de $A$ .
On ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes. Même chose sur les lignes.

Exemple 17. $11 - 1 201 11 m = 11 - 1 201 00 m + 1 = - 2 (m + 1)$

Proposition 18 (Déterminant par blocs). Soit $M \in M_{n} (K)$ une matrice triangulaire par blocs, de la forme $M = (A 0 C B)$ alors $det (M) = det (A) det (B)$ .

Mineurs et cofacteurs

Définition 19. Soit $A = (a_{i, j})_{i, j \in [[1, n]]} \in M_{n} (K)$ .

Pour tout $i, j \in [[1, n]]$ , on appelle mineur de l’élément $a_{i, j}$ le déterminant $Δ_{i, j}$ de la matrice obtenue en supprimant la $i$ -ième ligne et la $j$ -ième colonne de $A$ .
Le scalaire $A_{i, j} = (- 1)^{i + j} Δ_{i, j}$ s’appelle le cofacteur de $a_{i, j}$ .
On appelle mineurs principaux de $A$ les déterminants $Δ_{k} = det ((a_{i, j})_{i, j \in [[1, k]]})$ pour $k \in [[1, n]]$ .

Proposition 20. En reprenant les notations précédentes :

Soit $j \in [[1, n]]$ . On a $det (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i, j} A_{i, j}$ (développement par rapport à la $j$ -ième colonne).
Soit $i \in [[1, n]]$ . On a $det (A) = \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} A_{i, j}$ (développement par rapport à la $i$ -ième ligne).

[GRI]
p. 118

Exemple 21. $600022 - 6 73 = 62273 = 6 (6 - 14) = - 48$

[GOU21]
p. 143

Définition 22. Soit $A \in M_{n} (K)$ . La matrice $(A_{i, j})_{i, j \in [[1, n]]}$ des cofacteurs des éléments de $A$ est appelée comatrice de $A$ , et on la note $com (A)$ .

Proposition 23. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On a : $A (^{t} com (A) = (^{t} com (A) A = det (A) I_{n}$

Corollaire 24. Soit $A \in GL_{n} (K)$ . Alors, $A^{- 1} = \frac{1}{det ( A )} (^{t} com (A)$

Exemple 25. Soit $A = (a c b d) \in GL_{2} (K)$ . Alors, $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$

Exemples classiques

Exemple 26 (Déterminant de Vandermonde). Soient $a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ . Alors $11 ⋮ 1 a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots ⋱ \dots a_{1}^{n - 1} a_{2}^{n - 1} ⋮ a_{n}^{n - 1} = 1 \leq i < j \leq n \prod (a_{j} - a_{i})$

p. 150

Exemple 27 (Déterminant de Cauchy). Soient $a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n} \in K$ tels que pour tout $i, j \in [[1, n]]$ , $a_{i} + b_{j} \neq = 0$ . Alors $det (\frac{1}{a _{i} + b _{j}}) = \frac{\prod _{1 \leq i < j \leq n} ( a _{j} - a _{i} ) \prod _{1 \leq i < j \leq n} ( b _{j} - b _{i} )}{\prod _{i, j = 1}^{n} ( a _{i} + b _{j} )}$

p. 153

Exemple 28 (Déterminant circulant). Soient $a_{1}, \dots, a_{n} \in C$ . On pose $ω = e^{\frac{2 iπ}{n}}$ . Alors $a_{0} a_{n - 1} ⋮ a_{1} a_{1} a_{0} ⋮ a_{2} \dots \dots ⋱ \dots a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{0} = j = 0 \prod n - 1 P (ω^{j})$ où $P = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} X^{k}$ .

Applications

En géométrie

Volume d’un parallélépipède

[GRI]
p. 130

Théorème 29. L’aire $A (v, w)$ du parallélogramme engendré par deux vecteurs $v, w \in R^{n}$ est égale à $A (v, w) = ∣ det (v, w) ∣$

Corollaire 30. Soient $v_{1}, \dots, v_{n} \in R^{n}$ . On note $V (v_{1}, \dots, v_{n})$ le volume du parallélépipède rectangle engendré par $v_{1}, \dots, v_{n}$ (ie. l’ensemble ${z \in R^{n} ∣ z = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i}, λ_{i} \in [0, 1]}$ ). On a alors : $V (v_{1}, \dots, v_{n}) = ∣ det (v_{1}, \dots, v_{n}) ∣$

Suite de polygones

[I-P]
p. 389

suite-de-polygones

Théorème 31 (Suite de polygones). Soit $P_{0}$ un polygone dont les sommets sont ${z_{0, 1}, \dots, z_{0, n}}$ . On définit la suite de polygones $(P_{k})$ par récurrence en disant que, pour tout $k \in N^{*}$ , les sommets de $P_{k + 1}$ sont les milieux des arêtes de $P_{k}$ .

Alors la suite $(P_{k})$ converge vers l’isobarycentre de $P_{0}$ .

En algèbre linéaire

Aux systèmes d’équations linéaires

p. 143

On cherche à résoudre un système d’équations linéaires de la forme

$A X = B (S)$

avec $A = (a_{i, j})_{i \in [[1, p]] j \in [[1, q]]}$ et $B = (b_{i})_{i \in [[1, p]]} \in K^{p}$ .

Théorème 32 (Formules de Cramer). On se place dans le cas $p = q = n$ . Alors, $(S)$ admet une unique solution si et seulement si $det (A) \neq = 0$ . Dans ce cas, elle est donnée par $X = (x_{i})_{i \in [[1, n]]}$ où $\forall i \in [[1, n]], x_{i} = \frac{det ( A _{i} )}{det ( A )}$ avec $A_{i}$ obtenue en remplaçant la $i$ -ième colonne de $A$ par $B$ .

Lemme 33. Soit $r = rang (A)$ . Il existe un déterminant $Δ$ d’ordre $r$ extrait de $A$ .

Définition 34.

Le déterminant $Δ$ précédent est le déterminant principal de $A$ .
Les équations (resp. inconnues) dont les indices sont deux des lignes (resp. colonnes) de $Δ$ s’appellent les équations principales (resp. inconnues principales).
Si $Δ = det (a_{i, j})_{i \in I j \in J}$ , on appelle déterminants caractéristiques les déterminants d’ordre $r + 1$ de la forme

$(a_{i, j})_{i \in I j \in J}$ $(b_{i})_{i \in I}$

$(a_{k, j})_{j \in J}$ $b_{k}$

avec $k \in / J$ .

$(a_{i, j})_{i \in I j \in J}$	$(b_{i})_{i \in I}$
$(a_{k, j})_{j \in J}$	$b_{k}$

Théorème 35 (Rouché-Fontené). Le système $(S)$ admet des solutions si et seulement si $p = r$ ou les $p - r$ déterminants caractéristiques sont nuls. Le système est alors équivalent au système des équations principales. Les inconnues principales étant déterminées par un système de Cramer à l’aide des inconnues non principales.

Exemple 36. Si, $(S) ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + z + t = 1 x - z - t = 1 - x + y + z + 2 t = m m \in R$ on a $rang (A) = 2$ , $(S)$ admet des solutions si et seulement si $m = - 1$ , et $(S) ⟺ {x + 2 y = 1 + z - t x = 1 + z + t ⟺ {x = 1 + z + t y = - t$

À la réduction des endomorphismes

[GOU21]
p. 171

p. 186

Définition 37. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On appelle :

Polynôme caractéristique de $A$ le polynôme $χ_{A} = det (A - X I_{n})$ .
Polynôme minimal de $A$ l’unique polynôme unitaire $π_{A}$ qui engendre l’idéal $Ann (A) = {Q \in K [X] ∣ Q (A) = 0}$ .

p. 172

Proposition 38. $λ est valeur propre de A ⟺ χ_{A} (λ) = 0 ⟺ π_{A} (λ) = 0$

p. 185

Proposition 39.

$A$ est trigonalisable si et seulement si $χ_{A}$ est scindé sur $K$ .
$A$ est diagonalisable si et seulement si $π_{A}$ est scindé à racines simples sur $K$ .

Corollaire 40. Si $K = F_{q}$ , $A$ est diagonalisable si et seulement si $A^{q} = A$ .

Théorème 41 (Cayley-Hamilton). $π_{u} ∣ χ_{u}$

À l’étude du groupe linéaire

[ROM21]
p. 140

Théorème 42. Soit $u \in L (E)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u \in GL (E)$ .
$Ker (u) = {0}$ .
$Im (u) = E$ .
$rang (u) = n$ .
$det (u) = 0$ .
$u$ transforme toute base de $E$ en une base de $E$ .
Il existe $v \in L (E)$ tel que $u \circ v = id_{E}$ .
Il existe $w \in L (E)$ tel que $w \circ u = id_{E}$ .

[PER]
p. 95

Proposition 43. $det : GL (E) \to K^{*}$ est un morphisme surjectif.

[I-P]
p. 203

Soit $p$ un nombre premier $\geq 3$ . On se place sur le corps $K = F_{p}$ .

Définition 44. Soit $H$ un hyperplan de $E$ et $G$ un supplémentaire de $H$ . On définit $f$ la dilatation de base $H$ , de direction $G$ et de rapport $λ \in K^{*}$ par $\forall x \in H, \forall y \in G, f (x + y) = x + λ y$

Théorème 45. Si $∣ K ∣ \geq 3$ , les dilatations engendre $GL (E)$ .

Notation 46. Soit $a \in F_{p}$ . On note $(\frac{a}{p})$ le symbole de Legendre de $a$ modulo $p$ .

Lemme 47. $a \mapsto (\frac{a}{p})$ est un morphisme de groupes.

Lemme 48. Il y a $\frac{p - 1}{2}$ résidus quadratiques dans $F_{p}^{*}$ .

Théorème 49. Le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique.

theoreme-de-frobenius-zolotarev

Théorème 50 (Frobenius-Zolotarev). $\forall u \in GL (E), ϵ (u) = (\frac{det ( u )}{p})$ où $u$ est vu comme une permutation des éléments de $E$ .