150 Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps commutatif $K$ . Soit $u \in L (E)$ .

Polynômes d’endomorphismes

L’algèbre $K [u]$

Notation 1. On note $u^{0} = id_{E}$ et $u^{k} = k fois u \circ \dots \circ u$

Définition 2. À tout polynôme $P = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k} \in K [X]$ on fait correspondre l’endomorphisme $P (u) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} u^{k}$ .

Proposition 3. L’ensemble, $K [u] = {P (u) ∣ P \in K [X]}$ est une sous-algèbre commutative de $L (E)$ , de dimension inférieure ou égale à $n^{2}$ .

Remarque 4. Au vu de l’isomorphisme entre $L (E)$ et $M_{n} (K)$ , on définit de même $K [A]$ pour une matrice $A \in M_{n} (K)$ . Si $A$ est la matrice de $u$ dans une base de $E$ , alors pour tout $P \in K [X]$ , $P (A)$ est la matrice de $P (u)$ dans cette même base. Toute les propriétés énoncées pour les endomorphismes sont vraies pour les matrices, et réciproquement.

[GOU21]
p. 184

Proposition 5. Soient $M \in M_{n} (K)$ triangulaire de la forme $M = α_{1} 0 ⋮ 0 * α_{2} ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 0 * ⋮ * α_{n}$ et $P \in K [X]$ . Alors, $P (M)$ est de la forme $P (M) = P (α_{1}) 0 ⋮ 0 * P (α_{2}) ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 0 * ⋮ * P (α_{n})$

Polynôme caractéristique de $u$

[ROM21]
p. 643

Définition 6. Soit $λ \in K$ .

On dit que $λ$ est valeur propre de $u$ si $E_{λ} = Ker (u - λ id_{E})$ n’est pas réduit à ${0}$ .
Un vecteur $x \neq = 0$ tel que $u (x) = λ x$ est un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $λ$ .
$E_{λ}$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $λ$ .
L’ensemble des valeurs propres de $u$ est appelé spectre de $u$ . On le note $Sp (u)$ .

Proposition 7. En notant $χ_{u} = det (X id_{E} - u)$ , $Sp (u) = {λ \in K ∣ χ_{u} (λ) = 0}$

p. 604

Théorème 8. Soit $P \in K [X]$ . Pour tout valeur propre $λ$ de $u$ (voir Définition 6), $P (λ)$ est une valeur propre de $P (u)$ . Si le corps $K$ est algébriquement clos, on a alors $Sp (P (u)) = {P (λ) ∣ λ \in Sp (u)}$

Contre-exemple 9. Pour $A = (01 - 1 0) \in M_{2} (R)$ et $P = X^{2}$ , on a $A^{2} = - I_{2}$ et $Sp (A) = \emptyset$ .

p. 644

Définition 10. Le polynôme $χ_{u}$ précédent est appelé polynôme caractéristique de $u$ .

Remarque 11. On peut définir de la même manière les mêmes notions pour une matrice de $M_{n} (K)$ (une valeur est propre pour une matrice si et seulement si elle l’est pour l’endomorphisme associé). On reprendra les mêmes notations.

Exemple 12. Pour $A = (a c b d) \in M_{2} (K)$ , on a $χ_{A} = X^{2} - trace (A) X + det (A)$ .

Proposition 13. Soit $λ$ une valeur propre de $u$ de multiplicité $α$ en tant que racine de $χ_{u}$ . Alors, $dim (E_{λ}) \in [[1, α]]$

[GOU21]
p. 172

Proposition 14.

Le polynôme caractéristique est un invariant de similitude.
Soit $A \in M_{n} (K)$ . On note $χ_{A} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}$ . Alors, $a_{0} = det (A)$ et $a_{n - 1} = trace (A)$ (à un signe près).

Polynôme minimal de $u$

[ROM21]
p. 604

Lemme 15.

$Ann (u) = {P \in K [X] ∣ P (u) = 0}$ est un sous-ensemble de $K [u]$ non réduit au polynôme nul.
$Ann (u)$ est le noyau de $P \mapsto P (u)$ : c’est un idéal de $K [u]$ .
Il existe un unique polynôme unitaire engendrant cet idéal.

Définition 16. On appelle idéal annulateur de $u$ l’idéal $Ann (u)$ . Le polynôme unitaire générateur est noté $π_{u}$ et est appelé polynôme minimal de $u$ .

Remarque 17.

$π_{u}$ est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant $u$ .
Si $A \in M_{n} (K)$ est la matrice de $u$ dans une base de $E$ , on a $Ann (u) = Ann (A)$ et $π_{u} = π_{A}$ .

Exemple 18. Un endomorphisme est nilpotent d’indice $q$ si et seulement si son polynôme minimal est $X^{q}$ .

Proposition 19. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ . Alors, le polynôme minimal de l’endomorphisme $u_{∣ F} : F \to F$ divise $π_{u}$ .

Proposition 20.

Les valeurs propres de $u$ sont racines de tout polynôme annulateur.
Les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $π_{u}$ .

[GOU21]
p. 186

Remarque 21. $π_{u}$ et $χ_{u}$ partagent dont les mêmes racines.

[ROM21]
p. 606

Théorème 22. $P \mapsto P (u)$ induit un isomorphisme : $K [X] / (π_{u}) ≅ K [u]$

Corollaire 23. L’espace vectoriel $K [u]$ est de dimension égale à $p_{u} = de g (π_{u})$ , une base étant donnée par $(u^{k})_{k \in [[1, p_{u}]]}$ .

Corollaire 24. $K [u] est un corps ⟺ K [u] est int \overset{e}{ˋ} gre ⟺ u est irr \overset{e}{ˊ} ductible$

Théorème 25 (Cayley-Hamilton). $π_{u} ∣ χ_{u}$

Corollaire 26. $dim (K [u]) \leq n$

Corollaire 27. Si $u$ est inversible, $u^{- 1} = - \frac{1}{det ( u )} k = 1 \sum n a_{k} u^{k - 1}$ En particulier, $u^{- 1} \in K [u]$ .

Corollaire 28. $u$ est nilpotent si et seulement si $χ_{u} = X^{n}$ .

Réduction d’endomorphismes

Diagonalisation

p. 683

Définition 29.

On dit que $u$ est diagonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale.
On dit qu’une matrice $A \in M_{n} (K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

Remarque 30. $u$ est diagonalisable si et seulement si sa matrice dans n’importe quelle base de $E$ l’est.

[BMP]
p. 166

Exemple 31.

Les projecteurs (ie. les endomorphismes $p \in L (E)$ tels que $p^{2} = p$ ) sont toujours diagonalisables, à valeurs propres dans ${0, 1}$ .
Les symétries (ie. les endomorphismes $s \in L (E)$ tels que $s^{2} = id_{E}$ ) sont toujours diagonalisables, à valeurs propres dans ${\pm 1}$ . Par exemple, l’endomorphisme de transposition $A \mapsto (^{t} A$ est diagonalisable.

[ROM21]
p. 683

Proposition 32. Si $u$ a $n$ valeurs propres distinctes dans $K$ , alors il est diagonalisable.

p. 609

Théorème 33 (Lemme des noyaux). Soit $P = P_{1} \dots P_{k} \in K [X]$ où les polynômes $P_{1}, \dots, P_{k}$ sont premiers entre eux deux à deux. Alors, $Ker (P (u)) = i = 1 ⨁ k Ker (P_{i} (u))$

p. 683

Théorème 34. Soit $Sp (u) = {λ_{1}, \dots, λ_{p}}$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable sur $K$ .
$E = ⨁_{k = 1}^{p} E_{λ_{k}}$ .
$\sum_{k = 1}^{p} dim (E_{λ_{k}}) = n$ .
$χ_{n}$ est scindé sur $K$ et pour tout $k \in [[1, p]]$ , la dimension de $E_{λ_{k}}$ est égale à la multiplicité de $λ_{k}$ dans $χ_{u}$ .
$\exists P \in Ann (u)$ scindé à racines simples.
$π_{u}$ est scindé à racines simples.

[GOU21]
p. 177

Exemple 35. $03 - 2 2 - 2 2 - 1 01$ est diagonalisable, semblable à $100020 00 - 4$ .

[ROM21]
p. 684

Théorème 36 (Diagonalisation simultanée). Soit $(u_{i})_{i \in I}$ une famille d’endomorphismes de $E$ diagonalisables. Il existe une base commune de diagonalisation dans $E$ pour $(u_{i})_{i \in I}$ si et seulement si ces endomorphismes commutent deux-à-deux.

p. 734

Théorème 37 (Spectral). Tout endomorphisme symétrique se diagonalise dans une base orthonormée.

Trigonalisation

p. 675

Définition 38.

On dit que $u$ est trigonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
On dit qu’une matrice $A \in M_{n} (K)$ est trigonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

Remarque 39. $u$ est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans n’importe quelle base de $E$ l’est.

Exemple 40. Une matrice à coefficients réels ayant des valeurs propres imaginaires pures n’est pas trigonalisable dans $M_{n} (R)$ .

Théorème 41. $u$ est trigonalisable sur $K$ si et seulement si $χ_{u}$ est scindé sur $K$ .

Corollaire 42. Si $K$ est algébriquement clos, tout endomorphisme de $u$ est trigonalisable sur $K$ .

Proposition 43. Si $u$ est trigonalisable, sa trace est la somme de ses valeurs propres et son déterminant est le produit de ses valeurs propres.

Théorème 44 (Trigonalisation simultanée). Soit $(u_{i})_{i \in I}$ une famille d’endomorphismes de $E$ diagonalisables qui commutent deux-à-deux. Alors, il existe une base commune de trigonalisation.

Décomposition de Dunford

[GOU21]
p. 203

decomposition-de-dunford

Théorème 45 (Décomposition de Dunford). On suppose que $π_{u}$ est scindé sur $K$ . Alors il existe un unique couple d’endomorphismes $(d, n)$ tels que :

$d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent.
$u = d + n$ .
$d n = n d$ .

Corollaire 46. Si $u$ vérifie les hypothèse précédentes, pour tout $k \in N$ , $u^{k} = (d + n)^{k} = \sum_{i = 0}^{m} (i k) d^{i} n^{k - i}$ , avec $m = min (k, l)$ où $l$ désigne l’indice de nilpotence de $n$ .

Remarque 47. On peut montrer de plus que $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ .

Applications

Commutant

[FGN2]
p. 160

Soit $A \in M_{n} (K)$ .

Notation 48. On note $C (A)$ le commutant de $A$ .

Lemme 49. $dim_{K} (C (A)) \geq n$

dimension-du-commutant

Application 50. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On note $C (A)$ le commutant de $A$ . Alors, $K [A] = C (A) ⟺ π_{A} = χ_{A} = det (X I_{n} - A)$

Exponentielles de matrices

[ROM21]
p. 761

Lemme 51.

La série entière $\sum \frac{z ^{k}}{k !}$ a un rayon de convergence infini.
$\sum \frac{A ^{k}}{k !}$ est convergente pour toute matrice $A \in M_{n} (K)$ .

Définition 52. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On définit l’exponentielle de $A$ par $k = 0 \sum + \infty \frac{A ^{k}}{k !}$ on la note aussi $exp (A)$ ou $e^{A}$ .

Théorème 53. Soit $A \in M_{n} (K)$ .

$exp : M_{n} (K) \to M_{n} (K)$ est continue.
Si $A$ est nilpotente d’indice $q$ , $exp (A) = \sum_{k = 0}^{q - 1} \frac{A ^{k}}{k !}$ .
$exp (A) \in K [A]$ . En particulier, $exp (A)$ commute avec $A$ .
Si $A = Diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ , alors $exp (A) = Diag (e_{1}^{λ}, \dots, e_{n}^{λ})$ .
Si $B = P A P^{- 1}$ pour $P \in GL_{n} (K)$ , alors $e^{B} = P^{- 1} e^{A} P$ .
$det (e^{A}) = e^{trace (A)}$ .
$t \mapsto e^{t A}$ est de classe $C^{\infty}$ , de dérivée $t \mapsto e^{t A} A$ .

Proposition 54. Soient $A, B \in M_{n} (K)$ qui commutent. Alors, $e^{A} e^{B} = e^{A + B} = e^{B} e^{A}$

Corollaire 55. Soit $A \in M_{n} (K)$ . Alors, $e^{A}$ est inversible, d’inverse $e^{- A}$ .

Exemple 56. Soit $A \in M_{n} (K)$ qui admet une décomposition de Dunford $A = D + N$ où $D$ est diagonalisable et $N$ est nilpotente d’indice $q$ . Alors,

$e^{A} = e^{D} e^{N} = e^{D} \sum_{k = 0}^{q - 1} \frac{N ^{k}}{k !}$ .
La décomposition de Dunford de $e^{A}$ est $e^{A} = e^{D} + e^{D} (e^{N} - I_{n})$ avec $e^{D}$ diagonalisable et $e^{D} (e^{N} - I_{n})$ nilpotente.

[GOU20]
p. 380

Application 57. Une équation différentielle linéaire homogène $(H) : Y^{'} = A Y$ (où $A$ est constante en $t$ ) a ses solutions maximales définies sur $R$ et le problème de Cauchy ${Y^{'} = A Y Y (0) = y_{0}$ a pour (unique) solution $t \mapsto e^{t A} y_{0}$ .

[I-P]
p. 177

Application 58 (Équation de Sylvester). Soient $A$ et $B \in M_{n} (C)$ deux matrices dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative. Alors pour tout $C \in M_{n} (C)$ , l’équation $A X + XB = C$ admet une unique solution $X$ dans $M_{n} (C)$ .

Étude d’une suite de polygones

[GOU21]
p. 153

Lemme 59 (Déterminant circulant). Soient $n \in N^{*}$ et $a_{1}, \dots, a_{n} \in C$ . On pose $ω = e^{\frac{2 iπ}{n}}$ . Alors $a_{0} a_{n - 1} ⋮ a_{1} a_{1} a_{0} ⋮ a_{2} \dots \dots ⋱ \dots a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{0} = j = 0 \prod n - 1 P (ω^{j})$ où $P = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} X^{k}$ .

[I-P]
p. 389

Application 60 (Suite de polygones). Soit $P_{0}$ un polygone dont les sommets sont ${z_{0, 1}, \dots, z_{0, n}}$ . On définit la suite de polygones $(P_{k})$ par récurrence en disant que, pour tout $k \in N^{*}$ , les sommets de $P_{k + 1}$ sont les milieux des arêtes de $P_{k}$ .