151 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $K$ de dimension finie $n$ . Soit $u \in L (E)$ un endomorphisme de $E$ .

Stabilité

Définitions, endomorphismes induits

[BMP]
p. 158

Définition 1. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . On dit que $F$ est stable par $u$ si $u (F) \subseteq F$ .

Exemple 2. Le noyau et l’image de $u$ sont stables par $u$ .

Proposition 3. Si $K = R$ , alors $u$ admet au moins une droite ou un plan stable.

Proposition 4. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$ . Alors $u$ induit deux endomorphismes :

$u_{∣ F} : F \to F$ la restriction de $u$ à $F$ .
$\overline{u} : E / F \to E / F$ obtenu par passage au quotient.

p. 163

Définition 5. Soit $A$ la matrice de l’endomorphisme $u$ dans une base quelconque de $E$ . On définit le polynôme caractéristique de $u$ par $χ_{u} = det (X I_{n} - A)$ .

p. 158

Proposition 6. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$ de dimension $r$ . Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ telle que les $r$ premiers vecteurs forment une base $B_{F}$ de $F$ . Alors :

La matrice de $u$ dans la base $B$ est de la forme $Mat (u, B) = (A 0 C B)$
$B_{E / F} = π_{F} (B ∖ B_{F})$ est une base de $E / F$ où $π_{F} : E \to E / F$ désigne la projection canonique sur le quotient.
$A = Mat (u_{∣ F}, B_{F})$ et $B = Mat (\overline{u}, B_{E / F})$ .
$χ_{u} = χ_{u_{∣ F}} χ_{\overline{u}}$ .

Sous-espaces stables et polynôme minimal

p. 161

Proposition 7. Il existe un polynôme qui engendre l’idéal ${P \in K [X] ∣ P (u) = 0}$ . Il s’agit du polynôme minimal de $u$ noté $π_{u}$ .

Théorème 8 (Cayley-Hamilton). $π_{u} ∣ χ_{u}$

Proposition 9. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$ . Alors $π_{u_{∣ F}} ∣ π_{u}$ .

Proposition 10. Si $E = F_{1} \oplus F_{2}$ avec $F_{1}$ et $F_{2}$ deux sous-espaces stables par $u$ , alors $π_{u} = ppcm (π_{u_{∣ F_{1}}}, π_{u_{∣ F_{2}}})$ .

Proposition 11. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes unitaires tels que $π_{u} = PQ$ . On note $F = Ker (P (u))$ . Alors $π_{u_{∣ F}} = P$ .

Recherche de sous-espaces stables

[GOU21]
p. 201

Définition 12. On suppose que le polynôme caractéristique de $u$ est scindé sur $K$ : $χ_{u} = i = 1 \prod p (X - λ_{i})^{α_{i}} o \overset{u}{ˋ} les λ_{i} sont distincts deux- \overset{a}{ˋ} -deux$ Pour tout $i \in [[1, p]]$ , le sous-espace vectoriel $N_{i} = Ker (f - λ_{i} id_{E})^{α_{i}}$ s’appelle le sous-espace caractéristique de $f$ associé à $λ_{i}$ .

p. 185

Proposition 13 (Lemme des noyaux). Soient $P_{1}, \dots, P_{r} \in K [X]$ premiers entre eux. Alors $i = 1 ⨁ r Ker (P_{i} (u)) = Ker ((i = 1 \prod r P_{i}) (u))$

p. 202

Proposition 14. On suppose que le polynôme caractéristique de $u$ est scindé sur $K$ . On note $N_{1}, \dots, N_{p}$ les sous-espaces caractéristiques de $u$ .

$\forall i \in [[1, p]]$ , $N_{i}$ est stable par $u$ .
$E = N_{1} \oplus \dots \oplus N_{p}$ .
$\forall i \in [[1, p]]$ , $dim N_{i} = α_{i}$ où $α_{i}$ est la multiplicité de $λ_{i}$ dans $χ_{u}$ .

[BMP]
p. 159

Remarque 15. Plus généralement, $\forall λ \in K, \forall i \in N, Ker (u - λ id_{E})^{i}$ est stable par $u$ . C’est en fait un corollaire de la proposition suivante.

Proposition 16. Soient $u, v \in L (E)$ tels que $uv = vu$ (pour la composition). Alors le noyau et l’image de $v$ sont stables par $u$ (et réciproquement).

[GOU21]
p. 202

Proposition 17. On suppose que le polynôme caractéristique de $u$ est scindé sur $K$ . $χ_{u} = i = 1 \prod p (X - λ_{i})^{α_{i}} o \overset{u}{ˋ} les λ_{i} sont distincts deux- \overset{a}{ˋ} -deux$ Alors :

$π_{u}$ est de la forme : $π_{u} = i = 1 \prod p (X - λ_{i})^{r_{i}} o \overset{u}{ˋ} les λ_{i} sont distincts deux- \overset{a}{ˋ} -deux$
$\forall i \in [[1, p]]$ , $N_{i} = Ker (f - λ_{i} id_{E})^{r_{i}}$ .
$\forall i \in [[1, p]]$ , $r_{i}$ est l’indice de nilpotence de l’endomorphisme $f_{∣ N_{i}} - λ_{i} id_{N_{i}}$ .

Utilisation de la dualité

p. 132

Définition 18. On appelle forme linéaire de $E$ toute application linéaire de $E$ dans $K$ et on note $E^{*}$ appelé dual de $E$ l’ensemble des formes linéaires de $E$ .

Proposition 19. $E^{*}$ est un espace vectoriel sur $K$ de dimension $n$ .

Définition 20. Si $A \subset E$ , on note $A^{⊥} = {φ \in E^{*} ∣ \forall x \in A, φ (x) = 0}$ l’orthogonal (au sens de la dualité) de $A$ qui est un sous-espace vectoriel de $E^{*}$ .

Proposition 21. Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , on a $dim F + dim F^{⊥} = dim E$ .

Définition 22. On définit $(^{t} u : E^{*} \to E^{*}$ l’application transposée de $u$ par $\forall φ \in E^{*}, (^{t} u (φ) = φ \circ u$

Proposition 23. Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si et seulement si $F^{⊥}$ est stable par $(^{t} u$ .

Remarque 24. C’est un résultat qui peut s’avérer utile dans les démonstrations par récurrence s’appuyant sur la dimension d’un sous-espace stable (cf. Théorème 31).

Application à la réduction d’endomorphismes

Diagonalisation et trigonalisation

p. 171

Définition 25. On dit que $λ \in K$ est valeur propre de $u$ s’il existe $x \neq = 0$ tel que $u (x) = λ x$ . $x$ est alors un vecteur propre de $u$ associé à $λ$ . Le sous-espace $E_{λ} = {x \in E ∣ u (x) = λ x} = Ker (u - λ Id)$ est le sous-espace propre associé à $λ$ .

Définition 26. On dit que $u$ est diagonalisable (resp. trigonalisable) s’il existe une base $B$ de $E$ telle que $Mat (u, B)$ soit diagonale (resp. triangulaire supérieure).

[BMP]
p. 165

Théorème 27. Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable.
$π_{u}$ est scindé à racines simples.
$χ_{u}$ est scindé et, pour toute valeur propre $λ$ , la dimension du sous-espace propre $E_{λ}$ est égale à la multiplicité de $λ$ dans $χ_{u}$ .
$E$ est somme directe des sous-espaces propres de $u$ .

Exemple 28.

Soit $p \in L (E)$ tel que $p^{2} = p$ . Alors $p$ est annulé par $X^{2} - X$ donc est diagonalisable et à valeurs propres dans ${0, 1}$ .
Soit $s \in L (E)$ tel que $s^{2} = id_{E}$ . Alors si $car (K) \neq = 2$ , $s$ est annulé par $X^{2} - 1$ donc est diagonalisable et à valeurs propres dans ${\pm 1}$ .

Théorème 29. Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est trigonalisable.
$π_{u}$ est scindé.
$χ_{u}$ est scindé.

Exemple 30. Si $K$ est algébriquement clos, tout endomorphisme de $E$ est trigonalisable.

trigonalisation-simultanee

Théorème 31. Soit $(u_{i})_{i \in I}$ une famille d’endomorphismes telle que $\forall i, j \in I, u_{i} u_{j} = u_{j} u_{i}$ . Si tous les $u_{i}$ sont trigonalisables (resp. diagonalisables), on peut co-trigonaliser (resp. co-diagonaliser) la famille $(u_{i})_{i \in I}$ .

Remarque 32. Dans le cas de la diagonalisabilité, cette condition est à la fois nécessaire et suffisante.

[GOU21]
p. 174

Proposition 33. On suppose que $u$ est diagonalisable. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$ . Alors $u_{∣ F}$ est diagonalisable.

[BMP]
p. 170

Application 34. Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est trigonalisable avec des zéros sur la diagonale.
$u$ est nilpotent (ie. $\exists m \in N$ tel que $u^{m} = 0$ ).
$χ_{u} = X^{n}$ .
$π_{u} = X^{p}$ où $p$ est l’indice de nilpotence de $u$ .

Décomposition de Dunford

[GOU21]
p. 203

decomposition-de-dunford

Théorème 35 (Décomposition de Dunford). On suppose que $π_{u}$ est scindé sur $K$ . Alors il existe un unique couple d’endomorphismes $(d, n)$ tels que :

$d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent.
$u = d + n$ .
$d n = n d$ .

Corollaire 36. Si $u$ vérifie les hypothèse précédentes, pour tout $k \in N$ , $u^{k} = (d + n)^{k} = \sum_{i = 0}^{m} (i k) d^{i} n^{k - i}$ , avec $m = min (k, l)$ où $l$ désigne l’indice de nilpotence de $n$ .

Remarque 37.

Un autre intérêt est le calcul d’exponentielles de matrices.
On peut montrer de plus que $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ .

Réduction de Jordan

[BMP]
p. 171

Définition 38. Un bloc de Jordan de taille $m$ associé à $λ \in K$ désigne la matrice $J_{m} (λ)$ suivante : $J_{m} (λ) = λ 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 λ \in M_{m} (K)$

Proposition 39. Les assertions suivantes sont équivalentes :

Il existe une base de $E$ telle que la matrice de $u$ est $J_{n} (0)$ .
$u$ est nilpotent et cyclique (voir Définition 43).
$u$ est nilpotent d’indice de nilpotence $n$ .

Théorème 40 (Réduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent). On suppose que $u$ est nilpotent. Alors il existe des entiers $n_{1} \geq \dots \geq n_{p}$ et une base $B$ de $E$ tels que : $Mat (u, B) = J_{n_{1}} (0) ⋱ J_{n_{p}} (0)$ De plus, on a unicité dans cette décomposition.

Remarque 41. Comme l’indice de nilpotence d’un bloc de Jordan est égal à sa taille, l’indice de nilpotence de $u$ est la plus grande des tailles des blocs de Jordan de la réduite.

[GOU21]
p. 209

Théorème 42 (Réduction de Jordan d’un endomorphisme). On suppose que le polynôme caractéristique de $u$ est scindé sur $K$ : $χ_{u} = i = 1 \prod p (X - λ_{i})^{α_{i}} o \overset{u}{ˋ} les λ_{i} sont distincts deux- \overset{a}{ˋ} -deux$ Alors il existe des entiers $n_{1} \geq \dots \geq n_{p}$ et une base $B$ de $E$ tels que : $Mat (u, B) = J_{n_{1}} (λ_{1}) ⋱ J_{n_{p}} (λ_{p})$ De plus, on a unicité dans cette décomposition.

Réduction de Frobenius

p. 397

Définition 43. On dit que $u$ est cyclique s’il existe $x \in E$ tel que ${P (u) (x) ∣ P \in K [X]} = E$ .

Proposition 44. $u$ est cyclique si et seulement si $de g (π_{u}) = n$ .

Définition 45. Soit $P = X^{p} + a_{p - 1} X^{p - 1} + \dots + a_{0} \in K [X]$ . On appelle matrice compagnon de $P$ la matrice $C (P) = 010 ⋮ 0 \dots 01 ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ 01 - a_{0} - a_{1} ⋮ - a_{p - 2} - a_{p - 1}$

Proposition 46. $u$ est cyclique si et seulement s’il existe une base $B$ de $E$ telle que $Mat (u, B) = C (π_{u})$ .

Théorème 47. Il existe $F_{1}, \dots, F_{r}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tous stables par $u$ tels que :

$E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{r}$ .
$u_{i} = u_{∣ F_{i}}$ est cyclique pour tout $i$ .
Si $P_{i} = π_{u_{i}}$ , on a $P_{i + 1} ∣ P_{i}$ pour tout $i$ .

La famille de polynômes $P_{1}, \dots, P_{r}$ ne dépend que de $u$ et non du choix de la décomposition. On l’appelle suite des invariants de similitude de $u$ .

Théorème 48 (Réduction de Frobenius). Si $P_{1}, \dots, P_{r}$ désigne la suite des invariants de $u$ , alors il existe une base $B$ de $E$ telle que : $Mat (u, B) = C (P_{1}) ⋱ C (P_{r})$ On a d’ailleurs $P_{1} = π_{u}$ et $P_{1} \dots P_{r} = χ_{u}$ .

Corollaire 49. Deux endomorphismes de $E$ sont semblables si et seulement s’ils ont la même suite d’invariants de similitude.

Application 50. Toute matrice est semblable à sa transposée.

Endomorphismes remarquables

Endomorphismes normaux

Soit $E$ un espace vectoriel sur $C$ de dimension finie $n$ . On munit $E$ d’un produit scalaire $⟨ ., . ⟩$ , qui en fait un espace hermitien.

[GRI]
p. 286

Notation 51. On note $u^{*}$ l’adjoint de $u$ .

Définition 52. Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit normal s’il est tel que $u \circ u^{*} = u^{*} \circ u$ .

Proposition 53. On suppose $u$ normal. Soit $λ \in C$ une valeur propre de $u$ . Alors :

$E_{λ}^{⊥} = {x \in E^{λ} ∣ \forall y \in E^{λ}, ⟨ x, y ⟩ = 0}$ est stable par $u$ .
$u_{∣ E_{λ}^{⊥}}$ est normal.

Corollaire 54. On suppose $u$ normal. Alors $u$ est diagonalisable dans une base orthonormée.

Sous-représentations

[ULM21]
p. 144

Soit $G$ un groupe d’ordre fini.

Définition 55.

Une représentation linéaire $ρ$ est un morphisme de $G$ dans $GL (V)$ où $V$ désigne un espace-vectoriel de dimension finie $n$ sur $C$ .
On dit que $n$ est le degré de $ρ$ .
On dit que $ρ$ est irréductible si $V \neq = {0}$ et si aucun sous-espace vectoriel de $V$ n’est stable par $ρ (g)$ pour tout $g \in G$ , hormis ${0}$ et $V$ .

Exemple 56. Soit $φ : G \to S_{n}$ le morphisme structurel d’une action de $G$ sur un ensemble de cardinal $n$ . On obtient une représentation de $G$ sur $C^{n} = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ en posant $ρ (g) (e_{i}) = e_{φ (g) (i)}$ c’est la représentation par permutations de $G$ associé à l’action. Elle est de degré $n$ .

Définition 57. La représentation par permutations de $G$ associée à l’action par translation à gauche de $G$ sur lui-même est la représentation régulière de $G$ , on la note $ρ_{G}$ .

Définition 58. Soit $ρ : G \to GL (V)$ une représentation linéaire de $G$ . On suppose $V = W \oplus W_{0}$ avec $W$ et $W_{0}$ stables par $ρ (g)$ pour tout $g \in G$ . On dit alors que $ρ$ est somme directe de $ρ_{W}$ et de $ρ_{W_{0}}$ .

Théorème 59 (Maschke). Toute représentation linéaire de $G$ est somme directe de représentations irréductibles.

Annexes

[BMP]
p. 158

tikzpicture-1 — Endomorphismes induits par $u$ sur un sous-espace stable $F$ .

p. 157

$u$	Diagonalisable	Trigonalisable	Quelconque
Décomposition	de $E$ suivant les vecteurs propres	de Dunford	de Frobenius
Sous-espace stable $F$	espace propre	espace caractéristique	engendré par un élément
$u_{∣ F}$	homothétie	homothétie + nilpotent	cyclique

Réduction d’un endomorphisme en fonction de ses propriétés.