151 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

algebra

Soit un espace vectoriel sur un corps de dimension finie . Soit un endomorphisme de .

Stabilité

Définitions, endomorphismes induits

Définition 1. Soit un sous-espace vectoriel de . On dit que est stable par si .

Exemple 2. Le noyau et l’image de sont stables par .

Proposition 3. Si , alors admet au moins une droite ou un plan stable.

Proposition 4. Soit un sous-espace de stable par . Alors induit deux endomorphismes :

  • la restriction de à .

  • obtenu par passage au quotient.

Définition 5. Soit la matrice de l’endomorphisme dans une base quelconque de . On définit le polynôme caractéristique de par .

Proposition 6. Soit un sous-espace de stable par de dimension . Soit une base de telle que les premiers vecteurs forment une base de . Alors :

  1. La matrice de dans la base est de la forme

  2. est une base de désigne la projection canonique sur le quotient.

  3. et .

  4. .

Sous-espaces stables et polynôme minimal

Proposition 7. Il existe un polynôme qui engendre l’idéal . Il s’agit du polynôme minimal de noté .

Théorème 8 (Cayley-Hamilton).

Proposition 9. Soit un sous-espace de stable par . Alors .

Proposition 10. Si avec et deux sous-espaces stables par , alors .

Proposition 11. Soient et deux polynômes unitaires tels que . On note . Alors .

Recherche de sous-espaces stables

Définition 12. On suppose que le polynôme caractéristique de est scindé sur : Pour tout , le sous-espace vectoriel s’appelle le sous-espace caractéristique de associé à .

Proposition 13 (Lemme des noyaux). Soient premiers entre eux. Alors

Proposition 14. On suppose que le polynôme caractéristique de est scindé sur . On note les sous-espaces caractéristiques de .

  • , est stable par .

  • .

  • , est la multiplicité de dans .

Remarque 15. Plus généralement, est stable par . C’est en fait un corollaire de la proposition suivante.

Proposition 16. Soient tels que (pour la composition). Alors le noyau et l’image de sont stables par (et réciproquement).

Proposition 17. On suppose que le polynôme caractéristique de est scindé sur . Alors :

  1. est de la forme :

  2. , .

  3. , est l’indice de nilpotence de l’endomorphisme .

Utilisation de la dualité

Définition 18. On appelle forme linéaire de toute application linéaire de dans et on note appelé dual de l’ensemble des formes linéaires de .

Proposition 19. est un espace vectoriel sur de dimension .

Définition 20. Si , on note l’orthogonal (au sens de la dualité) de qui est un sous-espace vectoriel de .

Proposition 21. Si est un sous-espace vectoriel de , on a .

Définition 22. On définit l’application transposée de par

Proposition 23. Un sous-espace vectoriel de est stable par si et seulement si est stable par .

Remarque 24. C’est un résultat qui peut s’avérer utile dans les démonstrations par récurrence s’appuyant sur la dimension d’un sous-espace stable (cf. Théorème 31).

Application à la réduction d’endomorphismes

Diagonalisation et trigonalisation

Définition 25. On dit que est valeur propre de s’il existe tel que . est alors un vecteur propre de associé à . Le sous-espace est le sous-espace propre associé à .

Définition 26. On dit que est diagonalisable (resp. trigonalisable) s’il existe une base de telle que soit diagonale (resp. triangulaire supérieure).

Théorème 27. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. est diagonalisable.

  2. est scindé à racines simples.

  3. est scindé et, pour toute valeur propre , la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité de dans .

  4. est somme directe des sous-espaces propres de .

Exemple 28.

  • Soit tel que . Alors est annulé par donc est diagonalisable et à valeurs propres dans .

  • Soit tel que . Alors si , est annulé par donc est diagonalisable et à valeurs propres dans .

Théorème 29. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. est trigonalisable.

  2. est scindé.

  3. est scindé.

Exemple 30. Si est algébriquement clos, tout endomorphisme de est trigonalisable.

Théorème 31. Soit une famille d’endomorphismes telle que . Si tous les sont trigonalisables (resp. diagonalisables), on peut co-trigonaliser (resp. co-diagonaliser) la famille .

Remarque 32. Dans le cas de la diagonalisabilité, cette condition est à la fois nécessaire et suffisante.

Proposition 33. On suppose que est diagonalisable. Soit un sous-espace de stable par . Alors est diagonalisable.

Application 34. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. est trigonalisable avec des zéros sur la diagonale.

  2. est nilpotent (ie. tel que ).

  3. .

  4. est l’indice de nilpotence de .

Décomposition de Dunford

Théorème 35 (Décomposition de Dunford). On suppose que est scindé sur . Alors il existe un unique couple d’endomorphismes tels que :

  • est diagonalisable et est nilpotent.

  • .

  • .

Corollaire 36. Si vérifie les hypothèse précédentes, pour tout , , avec désigne l’indice de nilpotence de .

Remarque 37.

  • Un autre intérêt est le calcul d’exponentielles de matrices.

  • On peut montrer de plus que et sont des polynômes en .

Réduction de Jordan

Définition 38. Un bloc de Jordan de taille associé à désigne la matrice suivante :

Proposition 39. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. Il existe une base de telle que la matrice de est .

  2. est nilpotent et cyclique (voir Définition 43).

  3. est nilpotent d’indice de nilpotence .

Théorème 40 (Réduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent). On suppose que est nilpotent. Alors il existe des entiers et une base de tels que : De plus, on a unicité dans cette décomposition.

Remarque 41. Comme l’indice de nilpotence d’un bloc de Jordan est égal à sa taille, l’indice de nilpotence de est la plus grande des tailles des blocs de Jordan de la réduite.

Théorème 42 (Réduction de Jordan d’un endomorphisme). On suppose que le polynôme caractéristique de est scindé sur : Alors il existe des entiers et une base de tels que : De plus, on a unicité dans cette décomposition.

Décomposition de Frobenius

Définition 43. On dit que est cyclique s’il existe tel que .

Proposition 44. est cyclique si et seulement si .

Définition 45. Soit . On appelle matrice compagnon de la matrice

Proposition 46. est cyclique si et seulement s’il existe une base de telle que .

Théorème 47. Il existe des sous-espaces vectoriels de tous stables par tels que :

  • .

  • est cyclique pour tout .

  • Si , on a pour tout .

La famille de polynômes ne dépend que de et non du choix de la décomposition. On l’appelle suite des invariants de similitude de .

Théorème 48 (Réduction de Frobenius). Si désigne la suite des invariants de , alors il existe une base de telle que : On a d’ailleurs et .

Corollaire 49. Deux endomorphismes de sont semblables si et seulement s’ils ont la même suite d’invariants de similitude.

Application 50. Toute matrice est semblable à sa transposée.

Endomorphismes remarquables

Endomorphismes normaux

Soit un espace vectoriel sur de dimension finie . On munit d’un produit scalaire , qui en fait un espace hermitien.

Notation 51. On note l’adjoint de .

Définition 52. Un endomorphisme est dit normal s’il est tel que .

Proposition 53. On suppose normal. Soit une valeur propre de . Alors :

  1. est stable par .

  2. est normal.

Corollaire 54. On suppose normal. Alors est diagonalisable dans une base orthonormée.

Sous-representations

Soit un groupe d’ordre fini.

Définition 55.

  • Une représentation linéaire est un morphisme de dans désigne un espace-vectoriel de dimension finie sur .

  • On dit que est le degré de .

  • On dit que est irréductible si et si aucun sous-espace vectoriel de n’est stable par pour tout , hormis et .

Exemple 56. Soit le morphisme structurel d’une action de sur un ensemble de cardinal . On obtient une représentation de sur en posant c’est la représentation par permutations de associé à l’action. Elle est de degré .

Définition 57. La représentation par permutations de associée à l’action par translation à gauche de sur lui-même est la représentation régulière de , on la note .

Définition 58. Soit une représentation linéaire de . On suppose avec et stables par pour tout . On dit alors que est somme directe de et de .

Théorème 59 (Maschke). Toute représentation linéaire de est somme directe de représentations irréductibles.

Annexes

tikzpicture-1
Endomorphismes induits par sur un sous-espace stable .
Diagonalisable Trigonalisable Quelconque
Décomposition de suivant les vecteurs propres de Dunford de Frobenius
Sous-espace stable espace propre espace caractéristique engendré par un élément
homothétie homothétie + nilpotent cyclique
Réduction d’un endomorphisme en fonction de ses propriétés.