152 Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $K$ de dimension finie $n$ . Soit $u \in L (E)$ un endomorphisme de $E$ .

Spectre d’un endomorphisme

Valeurs propres, vecteurs propres

[GOU21]
p. 171

Définition 1. Soit $λ \in K$ .

On dit que $λ$ est valeur propre de $u$ si $u - λ id_{E}$ est non injective.
Un vecteur $x \neq = 0$ tel que $u (x) = λ x$ est un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $λ$ .
$E_{λ} = Ker (u - λ id_{E})$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $λ$ .
L’ensemble des valeurs propres de $u$ est appelé spectre de $u$ . On le note $Sp (u)$ .

Remarque 2.

$0$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $Ker (f) \neq = {0}$ .
On peut définir de la même manière les mêmes notions pour une matrice de $M_{n} (K)$ (une valeur est propre pour une matrice si et seulement si elle l’est pour l’endomorphisme associé). On reprendra les mêmes notations.
Les sous-espaces $E_{λ}$ sont stables par $u$ pour toute valeur propre $λ$ .

Exemple 3. $111$ est vecteur propre de $03 - 2 2 - 2 2 - 1 01$ associé à la valeur propre $1$ .

Théorème 4. Soient $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ des valeurs propres de $u$ , distinctes deux à deux. Alors les sous-espaces propres $E_{λ_{1}}, \dots, E_{λ_{k}}$ sont en somme directe.

[ROM21]
p. 604

Théorème 5. Soit $P \in K [X]$ . Pour tout valeur propre $λ$ de $u$ , $P (λ)$ est une valeur propre de $P (u)$ . Si le corps $K$ est algébriquement clos, on a alors $Sp (P (u)) = {P (λ) ∣ λ \in Sp (u)}$

Contre-exemple 6. Pour $A = (01 - 1 0) \in M_{2} (R)$ et $P = X^{2}$ , on a $A^{2} = - I_{2}$ et $Sp (A) = \emptyset$ .

Polynôme caractéristique

p. 644

Proposition 7. En notant $χ_{u} = det (X id_{E} - u)$ , $Sp (u) = {λ \in K ∣ χ_{u} (λ) = 0}$

Définition 8. Le polynôme $χ_{u}$ précédent est appelé polynôme caractéristique de $u$ .

Remarque 9. On peut définir la même notion pour une matrice $A \in M_{n} (K)$ , ces deux notions coïncidant bien si $A$ est la matrice de $u$ dans une base quelconque de $E$ .

Exemple 10. Pour $A = (a c b d) \in M_{2} (K)$ , on a $χ_{A} = X^{2} - trace (A) X + det (A)$ .

Proposition 11. Soit $λ$ une valeur propre de $u$ de multiplicité $α$ en tant que racine de $χ_{u}$ . Alors, $dim (E_{λ}) \in [[1, α]]$

[GOU21]
p. 172

Proposition 12.

Le polynôme caractéristique est un invariant de similitude.
Soit $A \in M_{n} (K)$ . On note $χ_{A} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}$ . Alors, $a_{0} = det (A)$ et $a_{n - 1} = trace (A)$ (à un signe près).

Polynôme minimal

[ROM21]
p. 604

Lemme 13.

$Ann (u) = {P \in K [X] ∣ P (u) = 0}$ est un sous-ensemble de $K [u]$ non réduit au polynôme nul.
$Ann (u)$ est le noyau de $P \mapsto P (u)$ : c’est un idéal de $K [u]$ .
Il existe un unique polynôme unitaire engendrant cet idéal.

Définition 14. On appelle idéal annulateur de $u$ l’idéal $Ann (u)$ . Le polynôme unitaire générateur est noté $π_{u}$ et est appelé polynôme minimal de $u$ .

Remarque 15.

$π_{u}$ est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant $u$ .
Si $A \in M_{n} (K)$ est la matrice de $u$ dans une base de $E$ , on a $Ann (u) = Ann (A)$ et $π_{u} = π_{A}$ .

Exemple 16. Un endomorphisme est nilpotent d’indice $q$ si et seulement si son polynôme minimal est $X^{q}$ .

Proposition 17. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ . Alors, le polynôme minimal de l’endomorphisme $u_{∣ F} : F \to F$ divise $π_{u}$ .

Proposition 18.

Les valeurs propres de $u$ sont racines de tout polynôme annulateur.
Les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $π_{u}$ .

[GOU21]
p. 186

Remarque 19. $π_{u}$ et $χ_{u}$ partagent dont les mêmes racines.

[ROM21]
p. 607

Théorème 20 (Cayley-Hamilton). $π_{u} ∣ χ_{u}$

Corollaire 21. $dim (K [u]) \leq n$

Diagonalisabilité

Définition

p. 683

Définition 22.

On dit que $u$ est diagonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale.
On dit qu’une matrice $A \in M_{n} (K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

Remarque 23. $u$ est diagonalisable si et seulement si sa matrice dans n’importe quelle base de $E$ l’est.

[BMP]
p. 166

Exemple 24.

Les projecteurs (ie. les endomorphismes $p \in L (E)$ tels que $p^{2} = p$ ) sont toujours diagonalisables, à valeurs propres dans ${0, 1}$ .
Les symétries (ie. les endomorphismes $s \in L (E)$ tels que $s^{2} = id_{E}$ ) sont toujours diagonalisables, à valeurs propres dans ${\pm 1}$ . Par exemple, l’endomorphisme de transposition $A \mapsto (^{t} A$ est diagonalisable.

Critères

[ROM21]
p. 683

Proposition 25. Si $u$ a $n$ valeurs propres distinctes dans $K$ , alors il est diagonalisable.

p. 609

Théorème 26 (Lemme des noyaux). Soit $P = P_{1} \dots P_{k} \in K [X]$ où les polynômes $P_{1}, \dots, P_{k}$ sont premiers entre eux deux à deux. Alors, $Ker (P (u)) = i = 1 ⨁ k Ker (P_{i} (u))$

p. 683

Théorème 27. Soit $Sp (u) = {λ_{1}, \dots, λ_{p}}$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable sur $K$ .
$E = ⨁_{k = 1}^{p} E_{λ_{k}}$ .
$\sum_{k = 1}^{p} dim (E_{λ_{k}}) = n$ .
$χ_{n}$ est scindé sur $K$ et pour tout $k \in [[1, p]]$ , la dimension de $E_{λ_{k}}$ est égale à la multiplicité de $λ_{k}$ dans $χ_{u}$ .
$\exists P \in Ann (u)$ scindé à racines simples.
$π_{u}$ est scindé à racines simples.

[GOU21]
p. 177

Exemple 28. $03 - 2 2 - 2 2 - 1 01$ est diagonalisable, semblable à $100020 00 - 4$ .

p. 188

Corollaire 29. Sur $K = F_{q}$ , $u$ est diagonalisable si et seulement si $u^{q} = u$ .

p. 176

Théorème 30 (Diagonalisation simultanée). Soit $(u_{i})_{i \in I}$ une famille d’endomorphismes de $E$ diagonalisables. Il existe une base commune de diagonalisation dans $E$ pour $(u_{i})_{i \in I}$ si et seulement si ces endomorphismes commutent deux-à-deux.

Remarque 31. La réciproque est vraie.

Exemples d’endomorphismes diagonalisables dans un espace euclidien ou hermitien

On se place dans le cas où $K = R$ ou $C$ . Si $K = R$ , on munit $E$ d’un produit scalaire $⟨ ., . ⟩$ . Si $K = C$ , on munit $E$ d’un produit scalaire hermitien $⟨ ., . ⟩$ .

Endomorphismes autoadjoints

[GOU21]
p. 255

Lemme 32. Il existe un unique $u^{*} \in L (E)$ tel que $\forall x, y \in E, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u^{*} (y)⟩$

Définition 33. L’endomorphisme $u^{*}$ précédent est l’adjoint de $u$ . On dit que $u$ est autoadjoint si $u = u^{*}$ .

Proposition 34. Soit $v \in L (E)$ . Alors $v = u^{*}$ si et seulement si la matrice de $v$ dans une base orthonormée $B$ de $E$ est la transposée (transconjuguée dans le cas hermitien) de la matrice de $u$ dans $B$ .

Théorème 35. Tout endomorphisme autoadjoint se diagonalise dans une base orthonormée, ses valeurs propres étant réelles.

[C-G]
p. 376

Lemme 36. $\forall A \in S_{n}^{++} (R) \exists! B \in S_{n}^{++} (R) telle que B^{2} = A$

decomposition-polaire

Application 37 (Décomposition polaire). L’application $μ : O_{n} (R) \times S_{n}^{++} (R) (O, S) \to \mapsto GL_{n} (R) OS$ est un homéomorphisme.

Endomorphismes normaux

On suppose dans toute cette sous-section que $K = C$ .

[GRI]
p. 286

Définition 38. $u$ est dit normal s’il est tel que $u \circ u^{*} = u^{*} \circ u$ .

Proposition 39. On suppose $u$ normal. Soit $λ \in C$ une valeur propre de $u$ . Alors :

$E_{λ}^{⊥} = {x \in E^{λ} ∣ \forall y \in E^{λ}, ⟨ x, y ⟩ = 0}$ est stable par $u$ .
$u_{∣ E_{λ}^{⊥}}$ est normal.

Corollaire 40. On suppose $u$ normal. Alors $u$ est diagonalisable dans une base orthonormée.

Topologie

[BMP]
p. 179

Proposition 41. L’ensemble $D_{n} (C)$ des matrices diagonalisables à coefficients complexes est dense dans $M_{n} (C)$ .

Application 42. L’application qui à une matrice $M \in M_{n} (C)$ associe la partie diagonalisable de sa décomposition de Dunford $M = D + N$ n’est pas continue.

p. 217

Application 43. $\forall U \in M_{n} (C), χ_{U} (U) = 0$

Applications

Réduction

[GOU21]
p. 203

decomposition-de-dunford

Théorème 44 (Décomposition de Dunford). On suppose que $π_{u}$ est scindé sur $K$ . Alors il existe un unique couple d’endomorphismes $(d, n)$ tels que :

$d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent.
$u = d + n$ .
$d n = n d$ .

Corollaire 45. Si $u$ vérifie les hypothèse précédentes, pour tout $k \in N$ , $u^{k} = (d + n)^{k} = \sum_{i = 0}^{m} (i k) d^{i} n^{k - i}$ , avec $m = min (k, l)$ où $l$ désigne l’indice de nilpotence de $n$ .

Remarque 46. On peut montrer de plus que $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ .

Calcul d’exponentielles

[ROM21]
p. 761

Lemme 47.

La série entière $\sum \frac{z ^{k}}{k !}$ a un rayon de convergence infini.
$\sum \frac{A ^{k}}{k !}$ est convergente pour toute matrice $A \in M_{n} (K)$ .

Définition 48. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On définit l’exponentielle de $A$ par $k = 0 \sum + \infty \frac{A ^{k}}{k !}$ on la note aussi $exp (A)$ ou $e^{A}$ .

Théorème 49. Soit $A \in M_{n} (K)$ .

Si $A = Diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ , alors $exp (A) = Diag (e_{1}^{λ}, \dots, e_{n}^{λ})$ .
Si $B = P A P^{- 1}$ pour $P \in GL_{n} (K)$ , alors $e^{B} = P^{- 1} e^{A} P$ .
$det (e^{A}) = e^{trace (A)}$ .
$t \mapsto e^{t A}$ est de classe $C^{\infty}$ , de dérivée $t \mapsto e^{t A} A$ .

Proposition 50. Soient $A, B \in M_{n} (K)$ qui commutent. Alors, $e^{A} e^{B} = e^{A + B} = e^{B} e^{A}$

Exemple 51. Soit $A \in M_{n} (K)$ qui admet une décomposition de Dunford $A = D + N$ où $D$ est diagonalisable et $N$ est nilpotente d’indice $q$ . Alors,

$e^{A} = e^{D} e^{N} = e^{D} \sum_{k = 0}^{q - 1} \frac{N ^{k}}{k !}$ .
La décomposition de Dunford de $e^{A}$ est $e^{A} = e^{D} + e^{D} (e^{N} - I_{n})$ avec $e^{D}$ diagonalisable et $e^{D} (e^{N} - I_{n})$ nilpotente.

Application 52. Soit $A \in M_{n} (K)$ dont le polynôme caractéristique est scindé sur $K$ . Alors $A$ est diagonalisable si et seulement si $e^{A}$ l’est.

[GOU20]
p. 380

Application 53. Une équation différentielle linéaire homogène $(H) : Y^{'} = A Y$ (où $A$ est constante en $t$ ) a ses solutions maximales définies sur $R$ et le problème de Cauchy ${Y^{'} = A Y Y (0) = y_{0}$ a pour (unique) solution $t \mapsto e^{t A} y_{0}$ .