153 Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

algebra

Spectre d’un endomorphisme

Soit un espace vectoriel sur un corps de dimension finie . Soit un endomorphisme de .

Valeurs propres, vecteurs propres

Définition 1. Soit .

  • On dit que est valeur propre de si est non injective.

  • Un vecteur tel que est un vecteur propre de associé à la valeur propre .

  • est le sous-espace propre associé à la valeur propre .

  • L’ensemble des valeurs propres de est appelé spectre de . On le note .

Remarque 2.

  • est valeur propre de si et seulement si .

  • On peut définir de la même manière les mêmes notions pour une matrice de (une valeur est propre pour une matrice si et seulement si elle l’est pour l’endomorphisme associé). On reprendra les mêmes notations.

  • Les sous-espaces sont stables par pour toute valeur propre .

Exemple 3. est vecteur propre de associé à la valeur propre .

Théorème 4. Soient des valeurs propres de , distinctes deux à deux. Alors les sous-espaces propres sont en somme directe.

Théorème 5. Soit . Pour tout valeur propre de , est une valeur propre de . Si le corps est algébriquement clos, on a alors

Contre-exemple 6. Pour et , on a et .

Polynôme caractéristique

Proposition 7. En notant ,

Définition 8. Le polynôme précédent est appelé polynôme caractéristique de .

Remarque 9. On peut définir la même notion pour une matrice , ces deux notions coïncidant bien si est la matrice de dans une base quelconque de .

Exemple 10. Pour , on a .

Proposition 11. Soit une valeur propre de de multiplicité en tant que racine de . Alors,

Proposition 12.

  1. Le polynôme caractéristique est un invariant de similitude.

  2. Soit . On note . Alors, et (à un signe près).

Polynôme minimal

Lemme 13.

  1. est un sous-ensemble de non réduit au polynôme nul.

  2. est le noyau de : c’est un idéal de .

  3. Il existe un unique polynôme unitaire engendrant cet idéal.

Définition 14. On appelle idéal annulateur de l’idéal . Le polynôme unitaire générateur est noté et est appelé polynôme minimal de .

Remarque 15.

  • est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant .

  • Si est la matrice de dans une base de , on a et .

Exemple 16. Un endomorphisme est nilpotent d’indice si et seulement si son polynôme minimal est .

Proposition 17. Soit un sous-espace vectoriel de stable par . Alors, le polynôme minimal de l’endomorphisme divise .

Proposition 18.

  1. Les valeurs propres de sont racines de tout polynôme annulateur.

  2. Les valeurs propres de sont exactement les racines de .

Remarque 19. et partagent dont les mêmes racines.

Théorème 20 (Cayley-Hamilton).

Corollaire 21.

Localisation

Soit .

Disques de Gerschgörin

Notation 22. On note :

  • Pour tout , et .

  • Pour tout , et .

Théorème 23 (Gerschgörin-Hadamard). Soit une valeur propre de . Alors, il existe tel que .

Remarque 24. Ainsi, Les disques de cette réunion sont appelés disques de Gerschgörin.

Exemple 25. Soient . On pose Alors,

Exemple 26. Soit Alors,

Corollaire 27. Pour toute valeur propre de , on a

Corollaire 28. On suppose à diagonale strictement dominante (ie. , ). Alors, est inversible.

Théorème 29 (Ostrowski). Pour tout et toute valeur propre de , il existe tel que

Remarque 30. C’est une généralisation du Théorème 23 : pour , on retrouve l’énoncé correspondant.

Corollaire 31. Pour toute valeur propre de , il existe tel que

Utilisation du rayon spectral

Notation 32. À toute norme sur , on associe la norme matricielle

Définition 33. Le rayon spectral de , noté est défini par

Théorème 34. On a est la norme matricielle associée à la norme euclidienne sur et est la transconjuguée de .

Théorème 35.

  1. On a pour toute norme matricielle induite par une norme vectorielle.

  2. désigne l’ensemble de toutes les normes matricielles induites par une norme vectorielle.

Théorème 36 (Décomposition de Dunford). Soit un endomorphisme tel que son polynôme minimal soit scindé sur . Alors il existe un unique couple d’endomorphismes tel que :

  • .

  • est diagonalisable et est nilpotent.

  • .

Corollaire 37 (Théorème de Gelfand). Soit une norme sur . Alors,

Application à l’étude d’une suite de polygones

Proposition 38. Les conditions suivantes sont équivalentes.

  1. .

  2. Pour toute valeur initiale , la suite définie par récurrence pour tout par , converge vers le vecteur nul.

  3. .

  4. Il existe au moins une norme matricielle induite par une norme vectorielle telle que .

Lemme 39 (Déterminant circulant). Soient et . On pose . Alors .

Application 40 (Suite de polygones). Soit un polygone dont les sommets sont . On définit la suite de polygones par récurrence en disant que, pour tout , les sommets de sont les milieux des arêtes de .

Alors la suite converge vers l’isobarycentre de .

Approximation

Soit .

Théorème 41. On suppose que la valeur propre de de module maximum est unique. On la note . Elle est alors réelle est simple, l’espace propre associé est une droite vectorielle et on a

On suppose pour la suite que la valeur propre de de module maximum est unique. On la note .

Notation 42. On note et on définit :

  • et .

  • avec et .

  • avec norme quelconque sur .

  • Pour tout , on note la -ième composante du vecteur , celle de et celle de .

Théorème 43 (Méthode la puissance itérée). On a :

  1. .

  2. est un vecteur propre non nul associé à la valeur propre .

  3. .

  4. Pour tout , tel que ,

Remarque 44.

  • Si est inversible, la méthode précédente appliquée à permet de calculer la valeur propre de plus petit module de (quand cette dernière est unique).

  • En notant un vecteur propre de associé à la valeur propre de norme euclidienne égale à , les valeurs propres de la matrice sont . On pourra alors appliquer la méthode à .

Annexes

tikzpicture-1
La suite de polygones.