153 Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

algebra

Spectre d’un endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $K$ de dimension finie $n$ . Soit $u \in L (E)$ un endomorphisme de $E$ .

Valeurs propres, vecteurs propres

[GOU21]
p. 171

Définition 1. Soit $λ \in K$ .

On dit que $λ$ est valeur propre de $u$ si $u - λ id_{E}$ est non injective.
Un vecteur $x \neq = 0$ tel que $u (x) = λ x$ est un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $λ$ .
$E_{λ} = Ker (u - λ id_{E})$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $λ$ .
L’ensemble des valeurs propres de $u$ est appelé spectre de $u$ . On le note $Sp (u)$ .

Remarque 2.

$0$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $Ker (f) \neq = {0}$ .
On peut définir de la même manière les mêmes notions pour une matrice de $M_{n} (K)$ (une valeur est propre pour une matrice si et seulement si elle l’est pour l’endomorphisme associé). On reprendra les mêmes notations.
Les sous-espaces $E_{λ}$ sont stables par $u$ pour toute valeur propre $λ$ .

Exemple 3. $111$ est vecteur propre de $03 - 2 2 - 2 2 - 1 01$ associé à la valeur propre $1$ .

Théorème 4. Soient $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ des valeurs propres de $u$ , distinctes deux à deux. Alors les sous-espaces propres $E_{λ_{1}}, \dots, E_{λ_{k}}$ sont en somme directe.

[ROM21]
p. 604

Théorème 5. Soit $P \in K [X]$ . Pour tout valeur propre $λ$ de $u$ , $P (λ)$ est une valeur propre de $P (u)$ . Si le corps $K$ est algébriquement clos, on a alors $Sp (P (u)) = {P (λ) ∣ λ \in Sp (u)}$

Contre-exemple 6. Pour $A = (01 - 1 0) \in M_{2} (R)$ et $P = X^{2}$ , on a $A^{2} = - I_{2}$ et $Sp (A) = \emptyset$ .

Polynôme caractéristique

p. 644

Proposition 7. En notant $χ_{u} = det (X id_{E} - u)$ , $Sp (u) = {λ \in K ∣ χ_{u} (λ) = 0}$

Définition 8. Le polynôme $χ_{u}$ précédent est appelé polynôme caractéristique de $u$ .

Remarque 9. On peut définir la même notion pour une matrice $A \in M_{n} (K)$ , ces deux notions coïncidant bien si $A$ est la matrice de $u$ dans une base quelconque de $E$ .

Exemple 10. Pour $A = (a c b d) \in M_{2} (K)$ , on a $χ_{A} = X^{2} - trace (A) X + det (A)$ .

Proposition 11. Soit $λ$ une valeur propre de $u$ de multiplicité $α$ en tant que racine de $χ_{u}$ . Alors, $dim (E_{λ}) \in [[1, α]]$

[GOU21]
p. 172

Proposition 12.

Le polynôme caractéristique est un invariant de similitude.
Soit $A \in M_{n} (K)$ . On note $χ_{A} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}$ . Alors, $a_{0} = det (A)$ et $a_{n - 1} = trace (A)$ (à un signe près).

p. 153

Lemme 13 (Déterminant circulant). Soient $n \in N^{*}$ et $a_{1}, \dots, a_{n} \in C$ . On pose $ω = e^{\frac{2 iπ}{n}}$ . Alors $a_{0} a_{n - 1} ⋮ a_{1} a_{1} a_{0} ⋮ a_{2} \dots \dots ⋱ \dots a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{0} = j = 0 \prod n - 1 P (ω^{j})$ où $P = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} X^{k}$ .

[I-P]
p. 389

suite-de-polygones

Application 14 (Suite de polygones). Soit $P_{0}$ un polygone dont les sommets sont ${z_{0, 1}, \dots, z_{0, n}}$ . On définit la suite de polygones $(P_{k})$ par récurrence en disant que, pour tout $k \in N^{*}$ , les sommets de $P_{k + 1}$ sont les milieux des arêtes de $P_{k}$ .

Alors la suite $(P_{k})$ converge vers l’isobarycentre de $P_{0}$ .

Polynôme minimal

[ROM21]
p. 604

Lemme 15.

$Ann (u) = {P \in K [X] ∣ P (u) = 0}$ est un sous-ensemble de $K [u]$ non réduit au polynôme nul.
$Ann (u)$ est le noyau de $P \mapsto P (u)$ : c’est un idéal de $K [u]$ .
Il existe un unique polynôme unitaire engendrant cet idéal.

Définition 16. On appelle idéal annulateur de $u$ l’idéal $Ann (u)$ . Le polynôme unitaire générateur est noté $π_{u}$ et est appelé polynôme minimal de $u$ .

Remarque 17.

$π_{u}$ est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant $u$ .
Si $A \in M_{n} (K)$ est la matrice de $u$ dans une base de $E$ , on a $Ann (u) = Ann (A)$ et $π_{u} = π_{A}$ .

Exemple 18. Un endomorphisme est nilpotent d’indice $q$ si et seulement si son polynôme minimal est $X^{q}$ .

Proposition 19. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ . Alors, le polynôme minimal de l’endomorphisme $u_{∣ F} : F \to F$ divise $π_{u}$ .

Proposition 20.

Les valeurs propres de $u$ sont racines de tout polynôme annulateur.
Les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $π_{u}$ .

[GOU21]
p. 186

Remarque 21. $π_{u}$ et $χ_{u}$ partagent dont les mêmes racines.

[ROM21]
p. 607

Théorème 22 (Cayley-Hamilton). $π_{u} ∣ χ_{u}$

Corollaire 23. $dim (K [u]) \leq n$

Localisation

Soit $A = (a_{i, j})_{i, j \in [[1, n]]} \in M_{n} (C)$ .

Disques de Gerschgörin

p. 650

Notation 24. On note :

Pour tout $i \in [[1, n]]$ , $L_{i} = \sum_{j = 1 j \neq = i}^{n} ∣ a_{i, j} ∣$ et $L = max_{i \in [[1, n]]} {L_{i} + ∣ a_{i, i} ∣}$ .
Pour tout $j \in [[1, n]]$ , $C_{j} = \sum_{i = 1 i \neq = j}^{n} ∣ a_{i, j} ∣$ et $C = max_{j \in [[1, n]]} {C_{j} + ∣ a_{j, j} ∣}$ .

Théorème 25 (Gerschgörin-Hadamard). Soit $λ \in C$ une valeur propre de $A$ . Alors, il existe $i \in [[1, n]]$ tel que $∣ λ - a_{i, i} ∣ \leq L_{i}$ .

[FGN2]
p. 189

Remarque 26. Ainsi, $Sp (A) \subseteq i = 1 ⋃ n {z \in C ∣ ∣ z - a_{i, i} ∣ \leq L_{i}}$ Les disques de cette réunion sont appelés disques de Gerschgörin.

[ROM21]
p. 672

Exemple 27. Soient $a, b \in R^{2}$ . On pose $A (a, b) = a b 0 ⋮ 0 b a ⋱ ⋱ \dots 0 b ⋱ b 0 \dots ⋱ ⋱ a b 0 ⋮ 0 b a$ Alors, $Sp (A (a, b)) = {a + 2 b cos (\frac{kπ}{n + 1}) ∣ k \in [[1, n]]}$

Exemple 28. Soit $A = 1 - 1 0 ⋮ 0 01 ⋱ ⋱ \dots \dots 0 ⋱ - 1 0 0 \dots ⋱ 1 - 1 - 1 0 ⋮ 01$ Alors, $Sp ((^{t} AA) = {4 sin (\frac{kπ}{n})^{2} ∣ k \in [[0, n - 1]]}$

p. 651

Corollaire 29. Pour toute valeur propre $λ \in C$ de $A$ , on a $λ \leq min (L, C)$

Corollaire 30. On suppose $A$ à diagonale strictement dominante (ie. $\forall i \in [[1, n]]$ , $∣ a_{i, i} ∣ > \sum_{j = 1 j \neq = i}^{n} ∣ a_{i, j} ∣$ ). Alors, $A$ est inversible.

Théorème 31 (Ostrowski). Pour tout $α \in [0, 1]$ et toute valeur propre $λ \in C$ de $A$ , il existe $i \in [[1, n]]$ tel que $∣ λ - a_{i, i} ∣ \leq L_{i}^{α} C_{i}^{1 - α}$

Remarque 32. C’est une généralisation du Théorème 25 : pour $α = 1$ , on retrouve l’énoncé correspondant.

Corollaire 33. Pour toute valeur propre $λ \in C$ de $A$ , il existe $i \in [[1, n]]$ tel que $∣ λ ∣^{2} \leq (L_{i} + ∣ a_{i, i} ∣) (C_{i} + ∣ a_{i, i} ∣)$

Utilisation du rayon spectral

Notation 34. À toute norme $∥.∥$ sur $C^{n}$ , on associe la norme matricielle $∣∣∣.∣∣∣ : M \mapsto x \in C^{n} ∖ {0} sup \frac{∥ M x ∥}{∥ x ∥}$

Définition 35. Le rayon spectral de $A$ , noté $ρ (A)$ est défini par $ρ (A) = λ \in Sp (A) max ∣ λ ∣$

Théorème 36. On a $∣∣∣ A ∣∣ ∣_{2} = ∣∣∣ A^{*} A ∣∣ ∣_{2} = ρ (A^{*} A)$ où $∣∣∣.∣∣ ∣_{2}$ est la norme matricielle associée à la norme euclidienne sur $C^{n}$ et $A^{*}$ est la transconjuguée de $A$ .

Théorème 37.

On a $ρ (A) \leq ∣∣∣ A ∣∣∣$ pour toute norme matricielle $∣∣∣.∣∣∣$ induite par une norme vectorielle.
$ρ (A) = in f_{∣∣∣.∣∣∣ \in N} ∣∣∣ A ∣∣∣$ où $N$ désigne l’ensemble de toutes les normes matricielles induites par une norme vectorielle.

[GOU21]
p. 203

decomposition-de-dunford

Théorème 38 (Décomposition de Dunford). Soit $f \in E$ un endomorphisme tel que son polynôme minimal $π_{f}$ soit scindé sur $K$ . Alors il existe un unique couple d’endomorphismes $(d, n)$ tel que :

$f = d + n$ .
$d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent.
$d \circ n = n \circ d$ .

[ROM21]
p. 660

Corollaire 39 (Théorème de Gelfand). Soit $∥.∥$ une norme sur $M_{n} (C)$ . Alors, $ρ (A) = k \to + \infty lim ∥ A^{k} ∥^{\frac{1}{k}}$

Proposition 40. Les conditions suivantes sont équivalentes.

$lim_{k \to + \infty} A^{k} = 0$ .
Pour toute valeur initiale $x_{0} \in C^{n}$ , la suite définie par récurrence pour tout $k \in N$ par $x_{k + 1} = A x_{k}$ , converge vers le vecteur nul.
$ρ (A) < 1$ .
Il existe au moins une norme matricielle $∣∣∣.∣∣∣$ induite par une norme vectorielle telle que $∣∣∣ A ∣∣∣ < 1$ .

Approximation

Soit $A = (a_{i, j})_{i, j \in [[1, n]]} \in M_{n} (R)$ .

[ROM19-2]
p. 210

Théorème 41. On suppose que la valeur propre de $A$ de module maximum est unique. On la note $λ_{1}$ . Elle est alors réelle est simple, l’espace propre associé est une droite vectorielle et on a $R^{n} = Ker (A - λ_{1} I_{n}) \oplus Im (A - λ_{1} I_{n})$

On suppose pour la suite que la valeur propre de $A$ de module maximum est unique. On la note $λ_{1}$ .

Notation 42. On note et on définit :

$E_{1} = Ker (A - λ_{1} I_{n})$ et $F_{1} = Im (A - λ_{1} I_{n})$ .
$x_{0} = e_{1} + f_{1}$ avec $e_{1} \in E_{1} ∖ {0}$ et $f_{1} \in F_{1}$ .
$\forall k \in N, x_{k + 1} = \frac{1}{∥ A x _{k} ∥} a_{k}$ avec $∥.∥$ norme quelconque sur $R^{n}$ .
Pour tout $j \in [[1, n]]$ , on note $e_{1, j}$ la $j$ -ième composante du vecteur $e_{1}$ , $x_{k, j}$ celle de $x_{k}$ et $(A x_{k})_{j}$ celle de $A x_{k}$ .

Théorème 43 (Méthode la puissance itérée). On a :

$lim_{k \to + \infty} ∥ A x_{k} ∥ = ∣ λ_{1} ∣ = ρ (A)$ .
$lim_{k \to + \infty} x_{2 k} = v_{1}$ où $v_{1}$ est un vecteur propre non nul associé à la valeur propre $λ_{1}$ .
$lim_{k \to + \infty} x_{2 k + 1} = signe (λ_{1}) v_{1}$ .
Pour tout $j \in [[1, n]]$ , tel que $e_{1, j} \neq = 0$ , $k \to + \infty lim \frac{( A x _{k} ) _{j}}{x _{k, j}} = λ_{1}$

Remarque 44.

Si $A$ est inversible, la méthode précédente appliquée à $A^{- 1}$ permet de calculer la valeur propre de plus petit module de $A$ (quand cette dernière est unique).
En notant $e_{1}$ un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $λ_{1}$ de norme euclidienne égale à $1$ , les valeurs propres de la matrice $B = A - λ_{1} e_{1} (^{t} e_{1}$ sont $0, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ . On pourra alors appliquer la méthode à $B$ .

Annexes

[I-P]
p. 389