154 Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

algebra

Soit $K = R$ ou $C$ . Soit $n \geq 1$ .

Décomposition et réduction

Décomposition de Dunford

Décomposition classique

decomposition-de-dunford

Théorème 1 (Décomposition de Dunford). Soit $A \in M_{n} (K)$ . On suppose que $π_{A}$ est scindé sur $K$ . Alors il existe un unique couple de matrices $(D, N)$ tels que :

$D$ est diagonalisable et $N$ est nilpotente.
$A = D + N$ .
$D N = N D$ .

Corollaire 2. Si $A$ vérifie les hypothèse précédentes, pour tout $k \in N$ , $A^{k} = (D + N)^{k} = \sum_{i = 0}^{m} (i k) D^{i} N^{k - i}$ , avec $m = min (k, l)$ où $l$ désigne l’indice de nilpotence de $N$ .

Remarque 3. On peut montrer de plus que $D$ et $N$ sont des polynômes en $A$ .

[C-G]
p. 165

Exemple 4. On a la décomposition de Dunford suivante : $(1011) = (1001) + (0010)$

Contre-exemple 5. L’égalité suivante n’est pas une décomposition de Dunford : $(1012) = (1002) + (0010)$ car les deux matrices du membre de droite ne commutent pas.

[ROM21]
p. 761

Lemme 6.

La série entière $\sum \frac{z ^{k}}{k !}$ a un rayon de convergence infini.
$\sum \frac{A ^{k}}{k !}$ est convergente pour toute matrice $A \in M_{n} (K)$ .

Définition 7. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On définit l’exponentielle de $A$ par $k = 0 \sum + \infty \frac{A ^{k}}{k !}$ on la note aussi $exp (A)$ ou $e^{A}$ .

Théorème 8. Soit $A \in M_{n} (K)$ .

Si $A = Diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ , alors $exp (A) = Diag (e_{1}^{λ}, \dots, e_{n}^{λ})$ .
Si $B = P A P^{- 1}$ pour $P \in GL_{n} (K)$ , alors $e^{B} = P^{- 1} e^{A} P$ .
$det (e^{A}) = e^{trace (A)}$ .
$t \mapsto e^{t A}$ est de classe $C^{\infty}$ , de dérivée $t \mapsto e^{t A} A$ .

Proposition 9. Soient $A, B \in M_{n} (K)$ qui commutent. Alors, $e^{A} e^{B} = e^{A + B} = e^{B} e^{A}$

Exemple 10. Soit $A \in M_{n} (K)$ qui admet une décomposition de Dunford $A = D + N$ où $D$ est diagonalisable et $N$ est nilpotente d’indice $q$ . Alors,

$e^{A} = e^{D} e^{N} = e^{D} \sum_{k = 0}^{q - 1} \frac{N ^{k}}{k !}$ .
La décomposition de Dunford de $e^{A}$ est $e^{A} = e^{D} + e^{D} (e^{N} - I_{n})$ avec $e^{D}$ diagonalisable et $e^{D} (e^{N} - I_{n})$ nilpotente.

[GOU20]
p. 380

Application 11. Une équation différentielle linéaire homogène $(H) : Y^{'} = A Y$ (où $A$ est constante en $t$ ) a ses solutions maximales définies sur $R$ et le problème de Cauchy ${Y^{'} = A Y Y (0) = y_{0}$ a pour (unique) solution $t \mapsto e^{t A} y_{0}$ .

Décomposition multiplicative

[ROM21]
p. 687

Définition 12. On dit qu’une matrice $U \in M_{n} (K)$ est unipotente si $U - I_{n}$ est nilpotente.

Théorème 13 (Décomposition de Dunford multiplicative). Soit $A \in M_{n} (K)$ . On suppose que $π_{A}$ est scindé sur $K$ . Alors il existe un unique couple de matrices $(D, U)$ tels que :

$D$ est diagonalisable et $U$ est unipotente.
$A = D U$ .
$D U = U D$ .

Décomposition de Jordan

[BMP]
p. 171

Définition 14. Un bloc de Jordan de taille $m$ associé à $λ \in K$ désigne la matrice $J_{m} (λ)$ suivante : $J_{m} (λ) = λ 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 λ \in M_{m} (K)$

Proposition 15. Soit $A \in M_{n} (K)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$A$ est semblable à $J_{n} (0)$ .
$A$ est nilpotente et cyclique (voir Définition 21).
$A$ est nilpotente d’indice de nilpotence $n$ .

Théorème 16 (Réduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent). On suppose que $A$ est nilpotente. Alors il existe des entiers $n_{1} \geq \dots \geq n_{p}$ tels que $A$ est semblable à la matrice $J_{n_{1}} (0) ⋱ J_{n_{p}} (0)$ De plus, on a unicité dans cette décomposition.

Remarque 17. Comme l’indice de nilpotence d’un bloc de Jordan est égal à sa taille, l’indice de nilpotence de $A$ est la plus grande des tailles des blocs de Jordan de la réduite.

[GOU21]
p. 209

Théorème 18 (Réduction de Jordan d’un endomorphisme). Soit $A \in M_{n} (K)$ . On suppose que le polynôme caractéristique de $A$ est scindé sur $K$ : $χ_{A} = i = 1 \prod p (X - λ_{i})^{α_{i}} o \overset{u}{ˋ} les λ_{i} sont distincts deux- \overset{a}{ˋ} -deux$ Alors il existe des entiers $n_{1} \geq \dots \geq n_{p}$ tels que $A$ est semblable à la matrice $J_{n_{1}} (λ_{1}) ⋱ J_{n_{p}} (λ_{p})$ De plus, on a unicité dans cette décomposition.

Application 19. Soit $A \in M_{n} (K)$ . Alors, $A$ et $2 A$ sont semblables si et seulement si $A$ est nilpotente.

Application 20. Soit $A \in M_{n} (K)$ . Alors, $A$ et $(^{t} A$ sont semblables.

Décomposition de Frobenius

p. 397

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u \in L (E)$ .

Définition 21. On dit que $u$ est cyclique s’il existe $x \in E$ tel que ${P (u) (x) ∣ P \in K [X]} = E$ .

Proposition 22. $u$ est cyclique si et seulement si $de g (π_{u}) = n$ .

Définition 23. Soit $P = X^{p} + a_{p - 1} X^{p - 1} + \dots + a_{0} \in K [X]$ . On appelle matrice compagnon de $P$ la matrice $C (P) = 010 ⋮ 0 \dots 01 ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ 01 - a_{0} - a_{1} ⋮ - a_{p - 2} - a_{p - 1}$

Proposition 24. $u$ est cyclique si et seulement s’il existe une base $B$ de $E$ telle que $Mat (u, B) = C (π_{u})$ .

Théorème 25. Il existe $F_{1}, \dots, F_{r}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tous stables par $u$ tels que :

$E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{r}$ .
$u_{i} = u_{∣ F_{i}}$ est cyclique pour tout $i$ .
Si $P_{i} = π_{u_{i}}$ , on a $P_{i + 1} ∣ P_{i}$ pour tout $i$ .

La famille de polynômes $P_{1}, \dots, P_{r}$ ne dépend que de $u$ et non du choix de la décomposition. On l’appelle suite des invariants de similitude de $u$ .

Théorème 26 (Réduction de Frobenius). Si $P_{1}, \dots, P_{r}$ désigne la suite des invariants de $u$ , alors il existe une base $B$ de $E$ telle que : $Mat (u, B) = C (P_{1}) ⋱ C (P_{r})$ On a d’ailleurs $P_{1} = π_{u}$ et $P_{1} \dots P_{r} = χ_{u}$ .

Corollaire 27. Deux endomorphismes de $E$ sont semblables si et seulement s’ils ont la même suite d’invariants de similitude.

Application 28. Pour $n = 2$ ou $3$ , deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont mêmes polynômes minimal et caractéristique.

Application 29. Soit $L$ une extension de $K$ . Alors, si $A, B \in M_{n} (K)$ sont semblables dans $M_{n} (L)$ , elles le sont aussi dans $M_{n} (K)$ .

Décomposition et résolution de systèmes

Décomposition LU

[ROM21]
p. 690

Définition 30. Les sous-matrices principales d’une matrice $(a_{i, j})_{i, j \in [[1, n]]} \in M_{n} (K)$ sont les matrices $A_{k} = (a_{i, j})_{i, j \in [[1, k]]} \in M_{k} (K)$ où $k \in [[1, n]]$ . Les déterminants principaux sont les déterminants des matrices $A_{k}$ , pour $k \in [[1, n]]$ .

Théorème 31 (Décomposition lower-upper). Soit $A \in GL_{n} (K)$ . Alors, $A$ admet une décomposition $A = LU$ (où $L$ est une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité et $U$ une matrice triangulaire supérieure) si et seulement si tous les déterminants principaux de $A$ sont non nuls. Dans ce cas, une telle décomposition est unique.

Corollaire 32. Soit $A \in GL_{n} (K) \cap S_{n} (K)$ . Alors, on a l’unique décomposition de $A$ : $A = L D (^{t} L$ où $L$ est une matrice triangulaire inférieure et $D$ une matrice diagonale.

Application 33 (Décomposition de Cholesky). Soit $A \in M_{n} (R)$ . Alors, $A \in S_{n}^{++} (R)$ si et seulement s’il existe $B \in GL_{n} (R)$ triangulaire inférieure telle que $A = B (^{t} B$ . De plus, une telle décomposition est unique si on impose la positivité des coefficients diagonaux de $B$ .

[GRI]
p. 368

Exemple 34. On a la décomposition de Cholesky : $(1225) = (1201) (1021)$

[C-G]
p. 257

Proposition 35. Soit $A \in GL_{n} (K)$ vérifiant les hypothèses du Théorème 31. On définit la suite $(A_{k})$ où $A_{0} = A$ et $\forall k \in N$ , $A_{k + 1}$ est la matrice obtenue à partir de $A_{k}$ à l’aide du pivot de Gauss sur la $(k + 1)$ -ième colonne. Alors, $A_{n - 1}$ est la matrice $U$ de la décomposition $A = LU$ du Théorème 31.

Remarque 36. Pour résoudre un système linéaire $A X = Y$ , on se ramène à $A = LU$ en $O (\frac{2}{3} n^{3})$ . Puis, on résout deux systèmes triangulaires en cascade : $L X^{'} = Y puis U X = X^{'}$ ceux-ci demandant chacun $O (2 n^{2})$ opérations.

Théorème 37 (Décomposition PLU). Soit $A \in GL_{n} (K)$ . Alors, il existe $P \in GL_{n} (K)$ , matrice de permutations, telle que $P^{- 1} A$ admet une décomposition $LU$ .

Décomposition QR

[ROM21]
p. 692

Théorème 38 (Décomposition QR). Soit $A \in GL_{n} (R)$ . Alors, $A$ admet une décomposition $A = QR$ où $Q$ est une matrice orthogonale et $R$ est une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs. On a unicité d’une telle décomposition.

Corollaire 39 (Théorème d’Iwasawa). Soit $A \in GL_{n} (R)$ . Alors, $A$ admet une décomposition $A = Q D R$ où $Q$ est une matrice orthogonale, $D$ est une matrice diagonale à coefficients strictement positifs et $R$ est une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux égaux à $1$ . On a unicité d’une telle décomposition.

[GRI]
p. 272

Exemple 40. On a la factorisation QR suivante, $011101110 = \frac{1}{6} 033 2 - 1 1 22 - 2 \frac{1}{6} 23003301122$ qui peut être obtenue via un procédé de Gram-Schmidt.

p. 368

Remarque 41. Pour résoudre un système linéaire $A X = Y$ , si l’on a trouvé une telle factorisation $A = QR$ , on résout $RX = (^{t} Q Y$ c’est-à-dire, un seul système triangulaire (contre deux pour la factorisation LU).

Décomposition et topologie

[C-G]
p. 376

Lemme 42. $\forall A \in S_{n}^{++} (R) \exists! B \in S_{n}^{++} (R) telle que B^{2} = A$

decomposition-polaire

Théorème 43 (Décomposition polaire). L’application $μ : O_{n} (R) \times S_{n}^{++} (R) (O, S) \to \mapsto GL_{n} (R) OS$ est un homéomorphisme.

Corollaire 44. Tout sous-groupe compact de $GL_{n} (R)$ qui contient $O_{n} (R)$ est $O_{n} (R)$ .

p. 401

Corollaire 45. $GL_{n} (R)^{+}$ est connexe.