155 Exponentielle de matrices. Applications.

Exponentielle de matrices. Applications.

algebra

Construction

Soit $K = R$ ou $C$ . Soit $n \geq 1$ un entier.

Algèbres de Banach

[DAN]
p. 278

Lemme 1. Pour tout réel positif $a$ , la série $\sum \frac{a ^{n}}{n !}$ est convergente.

p. 174

Définition 2. Soit $A$ une algèbre.

On dit que $∥.∥$ est une norme d’algèbre sur $A$ si :
1. $(A, ∥.∥)$ est un espace vectoriel normé.
2. $\forall x, y \in A, ∥ x \times y ∥ \leq ∥ x ∥∥ y ∥$ .
Soit $∥.∥$ une norme d’algèbre sur $A$ . Si $(A, ∥.∥)$ est un espace vectoriel complet, on dit que $A$ est une algèbre de Banach.

p. 183

Proposition 3. Soit $∥.∥$ une norme sur $K^{n}$ . Muni de la norme $∣∣∣.∣∣∣ : M \mapsto x \neq = 0 sup \frac{∥ M x ∥}{∥ x ∥}$ l’algèbre $(M_{n} (K), ∣∣∣.∣∣∣)$ est une algèbre de Banach.

Contre-exemple 4. Ce n’est pas vrai pour n’importe quelle norme : la norme infinie $∥. ∥_{\infty}$ sur $M_{n} (K)$ n’est pas une norme d’algèbre.

p. 278

Proposition 5. Soit $A$ une algèbre de Banach unitaire. Pour tout élément $A \in A$ , la série $\sum \frac{A ^{n}}{n !}$ est convergente.

Exponentielle de matrices

p. 345

Définition 6. Soit $A \in M_{n} (K)$ . On appelle exponentielle de $A$ , et on note $exp (A)$ ou $e^{A}$ l’élément de $M_{n} (K)$ suivant : $exp (A) = n = 0 \sum + \infty \frac{A ^{n}}{n !}$

p. 356

Exemple 7. Soient $a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ et $D = Diag (a_{1}, \dots, a_{n}) \in M_{3} (K)$ . Alors, $exp (D) = Diag (e^{a_{1}}, \dots, e^{a_{n}})$

[GRI]
p. 378

Remarque 8. En particulier, $exp (0) = I_{n}$ .

Propriétés

Proposition 9. Soient $A, B \in M_{n} (K)$ qui commutent. Alors, $e^{A + B} = e^{A} e^{B}$

Corollaire 10. Soit $A \in M_{n} (K)$ . Alors, $e^{A} \in GL_{n} (K)$ et, $(e^{A})^{- 1} = e^{- A}$

Proposition 11. Soient $A, B \in M_{n} (K)$ telles que $B = P A P^{- 1}$ pour $P \in GL_{n} (K)$ . Alors, $e^{P A P^{- 1}} = P e^{A} P^{- 1}$

Lemme 12. Soit $A \in M_{n} (K)$ une matrice triangulaire supérieure, de la forme $A = λ_{1} ⋱ * λ_{n}$ . Alors, $e^{A} = e_{1}^{λ} ⋱ * e_{n}^{λ}$

[ROM21]
p. 762

Proposition 13. Soit $A \in M_{n} (K)$ . Alors, $det (exp (A)) = e^{trace (A)}$

Proposition 14. $exp : M_{n} (K) \to GL_{n} (K)$ est continue. De plus, pour tout $A \in M_{n} (K)$ , $exp (A)$ est un polynôme en $A$ .

Calcul pratique

[GOU21]
p. 206

Proposition 15. Soit $N \in M_{n} (K)$ nilpotente d’indice $q$ . Alors, $e^{N} = k = 0 \sum q - 1 \frac{A ^{k}}{k !}$

Théorème 16 (Décomposition de Dunford). Soit $A \in M_{n} (K)$ . On suppose que $π_{A}$ est scindé sur $K$ . Alors il existe un unique couple de matrices $(D, N)$ tels que :

$D$ est diagonalisable et $N$ est nilpotente.
$A = D + N$ .
$D N = N D$ .

Corollaire 17. Si $A$ vérifie les hypothèse précédentes, pour tout $k \in N$ , $A^{k} = (D + N)^{k} = \sum_{i = 0}^{m} (i k) D^{i} N^{k - i}$ , avec $m = min (k, l)$ où $l$ désigne l’indice de nilpotence de $N$ .

[ROM21]
p. 765

Exemple 18. Soit $A \in M_{n} (K)$ qui admet une décomposition de Dunford $A = D + N$ où $D$ est diagonalisable et $N$ est nilpotente d’indice $q$ . Alors,

$e^{A} = e^{D} e^{N} = e^{D} \sum_{k = 0}^{q - 1} \frac{N ^{k}}{k !}$ .
La décomposition de Dunford de $e^{A}$ est $e^{A} = e^{D} + e^{D} (e^{N} - I_{n})$ avec $e^{D}$ diagonalisable et $e^{D} (e^{N} - I_{n})$ nilpotente.

Application 19. Soit $A \in M_{n} (K)$ dont le polynôme caractéristique est scindé sur $K$ . Alors $A$ est diagonalisable si et seulement si $e^{A}$ l’est.

[GOU21]
p. 209

Exemple 20. On a $exp 10 - 1 464 - 2 - 3 0 = - 6 e^{2} + 3 e^{3} - 6 e^{2} + 3 e^{3} - 7 e^{2} + 3 e^{3} - 4 e^{2} + 4 e^{3} - 3 e^{2} + 4 e^{3} - 4 e^{2} + 4 e^{3} 10 e^{2} - 6 e^{3} 9 e^{2} - 6 e^{3} 11 e^{2} - 6 e^{3}$

Étude de l’exponentielle de matrices

Dérivabilité, différentiabilité

p. 195

Proposition 21. Soit $A \in M_{n} (K)$ . L’application $t \mapsto e^{t A}$ est dérivable, de dérivée $t \mapsto A e^{t A}$ .

[C-G]
p. 384

Proposition 22 (Logarithme matriciel). $exp$ est différentiable en $0$ et sa différentielle est $I_{n}$ ; c’est un difféomorphisme local sur un voisinage de $0$ . Plus précisément, si $H \in M_{n} (K)$ telle que $∣∣∣ H ∣∣∣ \leq 1$ , alors $exp^{- 1} (I_{n} + H) = n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n - 1} \frac{H ^{n}}{n}$ On note alors $ln (H) = exp^{- 1} (H)$ .

[ROM21]
p. 762

Théorème 23. $exp$ est de classe $C^{1}$ sur $M_{n} (K)$ avec, pour toutes matrices $A, H \in M_{n} (K)$ : $d exp_{A} (H) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n !} i, j \in [[0, n - 1]] i + j = n - 1 \sum A^{i} H A^{j}$

Image directe

Image de $M_{n} (C)$

[C-G]
p. 387

Exemple 24. $\forall k \in Z, e^{2 ikπ} = e^{0} = 1$ En particulier, $exp$ n’est pas injective pour $n \geq 1$ .

[I-P]
p. 396

Lemme 25. Soit $M \in GL_{n} (C)$ . Alors $M^{- 1} \in C [M]$ .

Théorème 26. $exp : M_{n} (C) \to GL_{n} (C)$ est surjective.

Application 27. $exp (M_{n} (R)) = GL_{n} (R)^{2}$ , où $GL_{n} (R)^{2}$ désigne les carrés de $GL_{n} (R)$ .

[ROM21]
p. 770

Application 28. $GL_{n} (C)$ est connexe par arcs.

Image de $M_{n} (R)$

[C-G]
p. 387

Exemple 29. $\forall k \in Z, exp ((0 2 kπ - 2 kπ 0)) = exp (0) = I_{2}$ En particulier, $exp$ n’est pas injective pour $n \geq 2$ .

Proposition 30. En fait, $exp (M_{n} (R)) = {M^{2} ∣ M \in M_{n} (R)}$

Exemple 31. La matrice $(- 1 0 0 - 2)$ n’est pas dans l’image de l’exponentielle réelle.

Images de $S_{n} (R)$ et $H_{n} (C)$

[I-P]
p. 182

Lemme 32. Soit $M \in S_{n} (R)$ . Alors, $∣∣∣ M ∣∣∣ = ρ (M)$ où $ρ$ est l’application qui a une matrice y associe son rayon spectral.

homeomorphisme-de-l-exponentielle

Théorème 33. L’application $exp : S_{n} (R) \to S_{n}^{++} (R)$ est un homéomorphisme.

[C-G]
p. 385

Remarque 34. On a le même résultat pour $exp : H_{n} (C) \to H_{n}^{++} (C)$ .

Application 35. On a des homéomorphismes : $GL_{n} (R) \sim O_{n} (R) \times R^{\frac{n ( n + 1 )}{2}} et GL_{n} (C) \sim U_{n} (C) \times R^{n^{2}}$

Image du cône nilpotent $N_{n} (C)$

[ROM21]
p. 766

Notation 36. On note $N_{n} (C)$ le sous-ensemble de $M_{n} (C)$ formé des matrices nilpotentes et $L_{n} (C) = N_{n} (C) - I_{n}$ le sous-ensemble de $M_{n} (C)$ formé des matrices unipotentes.

Proposition 37. Soit $A \in N_{n} (C)$ . Alors $e^{A} \in L_{n} (C)$ et $ln (e^{t A}) = t A$ pour tout $t \in R$ .

Théorème 38. L’exponentielle matricielle réalise une bijection de $N_{n} (C)$ sur $L_{n} (C)$ d’inverse le logarithme matriciel défini à la Proposition 22.

Applications

Équations différentielles

[GOU20]
p. 376

Théorème 39 (Cauchy-Lipschitz linéaire). Soient $A : I \to M_{n} (K)$ et $B : I \to K^{d}$ deux fonctions continues. Alors $\forall t_{0} \in I$ , le problème de Cauchy ${Y^{'} = A (t) Y + B (t) Y (t_{0}) = y_{0}$ admet une unique solution définie sur $I$ tout entier.

Proposition 40. Une équation différentielle linéaire homogène $Y^{'} = A Y$ (où $A \in M_{n} (R)$ est constante en $t$ ) a ses solutions maximales définies sur $R$ et le problème de Cauchy ${Y^{'} = A Y Y (0) = y_{0}$ a pour (unique) solution $t \mapsto e^{t A} y_{0}$ .

Exemple 41. Les solutions de $Y^{'} = 100 0 - 1 2 1 - 1 1 Y$ sont les $t \mapsto α e^{t} 100 + β e^{i t} 1 + i 1 - i - 2 + γ e^{- i t} 1 - i 1 + i - 2$ où $α, β, γ \in C$ .

Équations matricielles

[I-P]
p. 177

Lemme 42. Soit $∥.∥$ une norme d’algèbre sur $M_{n} (C)$ , et soit $A \in M_{n} (C)$ une matrice dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative. Alors il existe une fonction polynômiale $P : R \to R$ et $λ > 0$ tels que $∥ e^{t A} ∥ \leq e^{- λ t} P (t)$ .

equation-de-sylvester

Application 43 (Équation de Sylvester). Soient $A$ et $B \in M_{n} (C)$ deux matrices dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative. Alors pour tout $C \in M_{n} (C)$ , l’équation $A X + XB = C$ admet une unique solution $X$ dans $M_{n} (C)$ .