156 Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$ . Tout au long de la leçon, on abusera du fait que $L (E) ≅ M_{n} (K)$ : les notions définies pour les endomorphismes sont valables pour les matrices.

Endomorphismes trigonalisables

Premiers outils de réduction

[GOU21]
p. 171

Définition 1. Soient $u \in L (E)$ et $λ \in K$ .

On dit que $λ$ est valeur propre de $u$ si $u - λ id_{E}$ est non injective.
Un vecteur $x \neq = 0$ tel que $u (x) = λ x$ est un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $λ$ .
L’ensemble des valeurs propres de $u$ est appelé spectre de $u$ . On le note $Sp (u)$ .

Remarque 2. Soit $u \in L (E)$ .

$0$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $Ker (f) \neq = {0}$ .
On peut définir de la même manière les mêmes notions pour une matrice de $M_{n} (K)$ (une valeur est propre pour une matrice si et seulement si elle l’est pour l’endomorphisme associé). On reprendra les mêmes notations.

Exemple 3. $111$ est vecteur propre de $03 - 2 2 - 2 2 - 1 01$ associé à la valeur propre $1$ .

[ROM21]
p. 644

Proposition 4. Soit $u \in L (E)$ . En notant $χ_{u} = det (X id_{E} - u)$ , $Sp (u) = {λ \in K ∣ χ_{u} (λ) = 0}$

Définition 5. Le polynôme $χ_{u}$ précédent est appelé polynôme caractéristique de $u$ .

Remarque 6. On peut définir la même notion pour une matrice $A \in M_{n} (K)$ , ces deux notions coïncidant bien si $A$ est la matrice de $u$ dans une base quelconque de $E$ .

Exemple 7. Pour $A = (a c b d) \in M_{2} (K)$ , on a $χ_{A} = X^{2} - trace (A) X + det (A)$ .

p. 604

Lemme 8. Soit $u \in L (E)$ .

$Ann (u) = {P \in K [X] ∣ P (u) = 0}$ est un sous-ensemble de $K [u]$ non réduit au polynôme nul.
$Ann (u)$ est le noyau de $P \mapsto P (u)$ : c’est un idéal de $K [u]$ .
Il existe un unique polynôme unitaire engendrant cet idéal.

Définition 9. On appelle idéal annulateur de $u$ l’idéal $Ann (u)$ . Le polynôme unitaire générateur est noté $π_{u}$ et est appelé polynôme minimal de $u$ .

Remarque 10. En reprenant les notations précédentes,

$π_{u}$ est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant $u$ .
Si $A \in M_{n} (K)$ est la matrice de $u$ dans une base de $E$ , on a $Ann (u) = Ann (A)$ et $π_{u} = π_{A}$ .

Exemple 11. Un endomorphisme est nilpotent d’indice $q$ si et seulement si son polynôme minimal est $X^{q}$ .

Proposition 12. Soit $u \in L (E)$ . Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ . Alors, le polynôme minimal de l’endomorphisme $u_{∣ F} : F \to F$ divise $π_{u}$ .

Proposition 13. Soit $u \in L (E)$ .

Les valeurs propres de $u$ sont racines de tout polynôme annulateur.
Les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $π_{u}$ .

[GOU21]
p. 186

Remarque 14. Soit $u \in L (E)$ . $π_{u}$ et $χ_{u}$ partagent dont les mêmes racines.

[ROM21]
p. 607

Théorème 15 (Cayley-Hamilton). Soit $u \in L (E)$ . Alors, $π_{u} ∣ χ_{u}$

p. 609

Théorème 16 (Lemme des noyaux). Soit $P = P_{1} \dots P_{k} \in K [X]$ où les polynômes $P_{1}, \dots, P_{k}$ sont premiers entre eux deux à deux. Alors, pour tout endomorphisme $u$ de $E$ , $Ker (P (u)) = i = 1 ⨁ k Ker (P_{i} (u))$

Trigonalisation

p. 675

Définition 17. Soit $u \in L (E)$ .

On dit que $u$ est trigonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
On dit qu’une matrice $A \in M_{n} (K)$ est trigonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

Remarque 18. Un endomorphisme $u$ de $E$ est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans n’importe quelle base de $E$ l’est.

Exemple 19. Une matrice à coefficients réels ayant des valeurs propres imaginaires pures n’est pas trigonalisable dans $M_{n} (R)$ .

Théorème 20. Un endomorphisme $u$ de $E$ est trigonalisable sur $K$ si et seulement si $χ_{u}$ est scindé sur $K$ .

Corollaire 21. Si $K$ est algébriquement clos, tout endomorphisme de $u$ est trigonalisable sur $K$ .

Proposition 22. Soit $u \in L (E)$ . Si $u$ est trigonalisable, sa trace est la somme de ses valeurs propres et son déterminant est le produit de ses valeurs propres.

trigonalisation-simultanee

Théorème 23 (Trigonalisation simultanée). Soit $(u_{i})_{i \in I}$ une famille d’endomorphismes de $E$ diagonalisables qui commutent deux-à-deux. Alors, il existe une base commune de trigonalisation.

Endomorphismes nilpotents

Définition, caractérisation

[BMP]
p. 168

Définition 24. On note $N (E) = {u \in L (E) ∣ \exists p \in N tel que u^{p} = 0}$ l’ensemble des éléments nilpotents de $L (E)$ .

Exemple 25. Dans $K_{n} [X]$ , l’opérateur de dérivation $P \mapsto P^{'}$ est nilpotent.

Définition 26. On appelle indice de nilpotence d’un endomorphisme $u \in N (E)$ l’entier $q$ tel que $q = in f {p \in N ∣ u^{p} = 0}$

Proposition 27. Soit $u \in L (E)$ . Alors, $u est nilpotent d’indice p ⟺ π_{u} = X^{p}$ En particulier, $p \leq n$ .

Théorème 28. Soit $u \in L (E)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u \in N (E)$ .
$χ_{u} = (- 1)^{n} X^{n}$ .
Il existe $p \in N$ tel que $π_{u} = X^{p}$ . Dans ce cas, $p$ est l’indice de nilpotence de $u$ .
$u$ est trigonalisable avec zéros sur la diagonale.
$u$ est trigonalisable et sa seule valeur propre est $0$ .
$0$ est la seule valeur propre de $u$ dans toute extension algébrique de $K$ .
Si $car (K) = 0$ : $u$ et $λ u$ sont semblables pour tout $λ \in K^{*}$ .

Contre-exemple 29. La matrice $A = 000001 0 - 1 0$ n’est pas nilpotente, alors que $χ_{A} = - X (X^{2} + 1)$ n’admet que $0$ comme valeur propre réelle.

Proposition 30. Soit $u \in L (E)$ . On suppose $car (K) = 0$ . Alors, $u \in N (E) ⟺ \forall k \in N, trace (u^{k}) = 0$

Cône nilpotent

Proposition 31. $N (E)$ est un cône : si $u \in N (E)$ , alors $\forall λ \in K, λ u \in N (E)$ .

Remarque 32. $N (E)$ n’est pas un sous-groupe additif de $L (E)$ . Par exemple, $A = (0010) + (0100)$ $A$ est somme de deux matrices nilpotentes, mais est inversible donc non nilpotente. En particulier, $N (E)$ n’est ni un idéal, ni un sous-espace vectoriel de $L (E)$ .

Proposition 33. $Vect (N (E)) = Ker (trace)$

Exemple 34. En dimension $2$ , $(a c b d) est nilpotente ⟺ - a^{2} - b c = 0$

Proposition 35. Soient $u, v \in L (E)$ tels que $uv = vu$ .

Si $u, v \in N (E)$ , alors $u + v \in N (E)$ .
Si $u \in N (E)$ , alors $uv \in N (E)$ .

Unipotence

p. 174

Définition 36. On note $U (E) = id_{E} + N (E)$ l’ensemble des endomorphismes unipotents de $E$ .

Remarque 37. On dispose de caractérisations analogues au Théorème 28 pour les endomorphismes unipotents. Par exemple, un endomorphisme $u$ de $E$ est unipotent si et seulement si $χ_{u} = (1 - X)^{n}$ .

On se place dans le cas où $K = R$ ou $C$ pour la fin de cette sous-section.

[ROM21]
p. 767

Proposition 38. Soit $u \in N (E)$ . Alors $e^{u} \in U (E)$ .

Théorème 39. L’exponentielle matricielle réalise une bijection de $N (E)$ sur $U (E)$ d’inverse le logarithme matriciel.

Sous-espaces caractéristiques, noyaux itérés

[GOU21]
p. 201

Soit $u \in L (E)$ de polynôme caractéristique scindé, de la forme $χ_{u} = i = 1 \prod s (X - λ_{i})^{α_{i}}$

Définition 40. Soit $i \in [[1, s]]$ . On appelle sous-espace caractéristique de $u$ associé à la valeur propre $λ_{i}$ le sous-espace vectoriel $N_{i} = Ker ((u - λ_{i} id_{E})^{α_{i}})$ .

Proposition 41. Soit $i \in [[1, s]]$ .

$N_{i}$ est stable par $u$ .
$dim (N_{i}) = α_{i}$ .
$χ_{u_{∣ N_{i}}} = (- X)^{d i m (N_{i})} = (- X)^{α_{i}}$ .
$u_{∣ N_{i}}$ est nilpotent.

De plus, $E = \oplus_{i = 1}^{s} N_{i}$ .

Proposition 42. Soit $v \in L (E)$ .

La suite de sous-espaces vectoriels $(Ker (v^{n}))$ est décroissante, stationnaire.
La suite de sous-espaces vectoriels $(Im (v^{n}))$ est croissante, stationnaire.

[BMP]
p. 171

Définition 43. Un bloc de Jordan de taille $m$ associé à $λ \in K$ désigne la matrice $J_{m} (λ)$ suivante : $J_{m} (λ) = λ 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 λ \in M_{m} (K)$

Application 44 (Réduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent). On suppose que $u$ est nilpotent. Alors il existe des entiers $n_{1} \geq \dots \geq n_{p}$ et une base $B$ de $E$ tels que : $Mat (u, B) = J_{n_{1}} (0) ⋱ J_{n_{p}} (0)$ De plus, on a unicité dans cette décomposition.

Applications

Décomposition de Dunford

[GOU21]
p. 203

decomposition-de-dunford

Théorème 45 (Décomposition de Dunford). Soit $u \in L (E)$ . On suppose que $π_{u}$ est scindé sur $K$ . Alors il existe un unique couple d’endomorphismes $(d, n)$ tels que :

$d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent.
$u = d + n$ .
$d n = n d$ .

Corollaire 46. Si $u$ vérifie les hypothèse précédentes, pour tout $k \in N$ , $u^{k} = (d + n)^{k} = \sum_{i = 0}^{m} (i k) d^{i} n^{k - i}$ , avec $m = min (k, l)$ où $l$ désigne l’indice de nilpotence de $n$ .

Remarque 47. On peut montrer de plus que $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ .

[ROM21]
p. 687

Théorème 48 (Décomposition de Dunford multiplicative). Soit $f \in L (E)$ . On suppose que $π_{f}$ est scindé sur $K$ . Alors il existe un unique couple d’endomorphismes $(d, u)$ tels que :

$d$ est diagonalisable et $u$ est unipotente.
$f = d u$ .
$d u = u d$ .

Invariants de similitude

[GOU21]
p. 397

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u \in L (E)$ .

Définition 49. On dit que $u$ est cyclique s’il existe $x \in E$ tel que ${P (u) (x) ∣ P \in K [X]} = E$ .

Proposition 50. $u$ est cyclique si et seulement si $de g (π_{u}) = n$ .

Définition 51. Soit $P = X^{p} + a_{p - 1} X^{p - 1} + \dots + a_{0} \in K [X]$ . On appelle matrice compagnon de $P$ la matrice $C (P) = 010 ⋮ 0 \dots 01 ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ 01 - a_{0} - a_{1} ⋮ - a_{p - 2} - a_{p - 1}$

Proposition 52. $u$ est cyclique si et seulement s’il existe une base $B$ de $E$ telle que $Mat (u, B) = C (π_{u})$ .

Théorème 53. Il existe $F_{1}, \dots, F_{r}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tous stables par $u$ tels que :

$E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{r}$ .
$u_{i} = u_{∣ F_{i}}$ est cyclique pour tout $i$ .
Si $P_{i} = π_{u_{i}}$ , on a $P_{i + 1} ∣ P_{i}$ pour tout $i$ .

La famille de polynômes $P_{1}, \dots, P_{r}$ ne dépend que de $u$ et non du choix de la décomposition. On l’appelle suite des invariants de similitude de $u$ .

Théorème 54 (Réduction de Frobenius). Si $P_{1}, \dots, P_{r}$ désigne la suite des invariants de $u$ , alors il existe une base $B$ de $E$ telle que : $Mat (u, B) = C (P_{1}) ⋱ C (P_{r})$ On a d’ailleurs $P_{1} = π_{u}$ et $P_{1} \dots P_{r} = χ_{u}$ .

Corollaire 55. Deux endomorphismes de $E$ sont semblables si et seulement s’ils ont la même suite d’invariants de similitude.

Application 56. Pour $n = 2$ ou $3$ , deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont mêmes polynômes minimal et caractéristique.

Application 57. Soit $L$ une extension de $K$ . Alors, si $A, B \in M_{n} (K)$ sont semblables dans $M_{n} (L)$ , elles le sont aussi dans $M_{n} (K)$ .

Commutant d’une matrice

Soit $A \in M_{n} (K)$ .

p. 289

Lemme 58. Si $π_{A} = χ_{A}$ , alors $A$ est cyclique : $\exists x \in K^{n} ∖ {0} tel que (x, A x, \dots, A^{n - 1} x) est une base de K^{n}$

[FGN2]
p. 160

Notation 59.

On note $T_{n} (K)$ l’ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d’ordre $n$ à coefficients dans le corps $K$ .
On note $C (A)$ le commutant de $A$ .

Lemme 60. $dim_{K} (C (A)) \geq n$

Lemme 61. Le rang de $A$ est invariant par extension de corps.

Théorème 62. $K [A] = C (A) ⟺ π_{A} = χ_{A}$