157 Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

algebra

Soit $K = R$ ou $C$ et soit $n \geq 1$ un entier.

Généralités

Espaces $S_{n} (R)$ et $H_{n} (C)$

[GOU21]
p. 243

Notation 1

Soit $M \in M_{n, m} (K)$ . On note $M^{*} = {(^{t} M (^{t} \overline{M} si K = R si K = C$

p. 125

Définition 2

Soit $M \in M_{n} (R)$ .

On dit que $M$ est symétrique si $M^{*} = M$ . On note $S_{n} (R)$ l’ensemble des matrices symétriques à coefficients réels.
On dit que $M$ est antisymétrique si $M^{*} = - M$ . On note $A_{n} (R)$ l’ensemble des matrices antisymétriques à coefficients réels.

p. 240

Proposition 3

$S_{n} (R)$ et $A_{n} (R)$ sont des sous-espaces vectoriels de $M_{n} (R)$ de dimensions respectives $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ et $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ .
$M_{n} (R) = S_{n} (R) \oplus A_{n} (R)$ .

Définition 4

Soit $M \in M_{n} (C)$ . On dit que $M$ est hermitienne si $M^{*} = M$ . On note $H_{n} (C)$ l’ensemble des matrices hermitiennes à coefficients complexes.

Proposition 5

$\forall M \in H_{n} (C) \exists! (S, A) \in S_{n} (R) \times A_{n} (R) tel que M = S + i A$

Corollaire 6

$H_{n} (C)$ est un sous-espace vectoriel du $R$ -espace vectoriel $M_{n} (C)$ de dimension $n^{2}$ .

Positivité

[ROM21]
p. 735

Définition 7

Soit $⟨ ., . ⟩$ un produit scalaire sur $K^{n}$ .

Si $K = R$ , une matrice symétrique $M \in S_{n} (R)$ est dite positive si $\forall x \in R^{n}, ⟨ x, M x ⟩ \geq 0$ et elle est dite définie positive si l’inégalité précédente est stricte pour tout $x \neq = 0$ . On note respectivement $S_{n}^{+} (R)$ et $S_{n}^{++} (R)$ l’ensemble des matrices symétriques positives et définies positives.
Si $K = C$ , ces définitions sont valables. On note respectivement $H_{n}^{+} (C)$ et $H_{n}^{++} (C)$ l’ensemble des matrices hermitiennes positives et définies positives.

Proposition 8

Soit $M \in S_{n} (R)$ . Alors $M \in S_{n}^{+} (R)$ (resp. $S_{n}^{++} (R)$ ) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives (resp. strictement positives).

Corollaire 9

Soit $M \in S_{n} (R)$ . Alors $M \in S_{n}^{+} (R)$ si et seulement s’il existe $B \in M_{n} (R)$ telle que $M = (^{t} B B$ .

Théorème 10

Critère de SylvesterUne matrice symétrique est définie positive si et seulement si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs.

Corollaire 11

$S_{n}^{++} (R)$ est un ouvert de $M_{n} (R)$ .

[I-P]
p. 182

Lemme 12

Soit $S \in S_{n} (R)$ . Alors, $∣∣∣ S ∣∣ ∣_{2} = ρ (S)$ où $ρ$ est l’application qui a une matrice y associe son rayon spectral.

homeomorphisme-de-l-exponentielle

Théorème 13

L’application $exp : S_{n} (R) \to S_{n}^{++} (R)$ est un homéomorphisme.

Lien avec l’algèbre bilinéaire

[GOU21]
p. 239

Soit $E$ un espace vectoriel sur $K$ de dimension $n$ .

Définition 14

Soit $φ : E \times E \to K$ une application.

On dit que $φ$ est une forme bilinéaire sur $E$ si pour tout $x \in E$ , $y \mapsto φ (x, y)$ et pour tout $y \in E$ , $x \mapsto φ (x, y)$ sont linéaires.
Si $K = C$ , on dit que $φ$ est une forme sesquilinéaire sur $E$ si pour tout $x \in E$ , $y \mapsto φ (x, y)$ est linéaire et pour tout $y \in E$ , $x \mapsto φ (x, y)$ est antilinéaire (ie. $\forall x, y, z \in E$ , $\forall λ \in C$ , $φ (x + y, z) = φ (x, z) + φ (y, z)$ et $φ (λ x, z) = \overline{λ} φ (x, z)$ ).

Exemple 15

Toute forme sesquilinéaire sur $E$ est une forme bilinéaire lorsque $E$ est considéré comme un espace vectoriel sur $R$ .
L’application $C ([0, 1], C)^{2} (f, g) \to \mapsto C \int_{0}^{1} \overline{f (t)} g (t) d t$ est une forme sesquilinéaire sur $C ([0, 1], C)$ .

Définition 16

On définit la matrice d’une forme bilinéaire (ou sesquilinéaire) $φ$ dans une base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ par $(φ (e_{i}, e_{j}))_{i, j \in [[1, n]]} \in M_{n} (K)$

Remarque 17

Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Soient $x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i} \in E$ et $y = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} e_{i} \in E$ . Soit $φ$ une forme bilinéaire ou sesquilinéaire, dont on note $M$ sa matrice dans le base $B$ . On a : $φ (x, y) = X^{*} M Y, o \overset{u}{ˋ} X = x_{1} ⋮ x_{n} et Y = y_{1} ⋮ y_{n}$

Définition 18

Soit $φ$ une forme bilinéaire sur $E$ . On dit que :

$φ$ est symétrique si $\forall x, y \in E, φ (x, y) = φ (y, x)$ .
$φ$ est antisymétrique si $\forall x, y \in E, φ (x, y) = - φ (y, x)$ .
Si $K = C$ , on dit que $φ$ est hermitienne si $\forall x, y \in E, φ (x, y) = \overline{φ (y, x)}$ .

Proposition 19

Une forme bilinéaire est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si sa matrice dans une base est symétrique (resp. antisymétrique).
Une forme sesquilinéaire est hermitienne si et seulement si sa matrice dans une base est hermitienne.

Définition 20

On appelle forme quadratique sur $E$ toute application $q$ de la forme $q : E x \to \mapsto K φ (x, x)$ où $φ$ est une forme bilinéaire symétrique sur $E$ .

Proposition 21

Soit $q$ une forme quadratique sur $E$ . Il existe une unique forme bilinéaire symétrique $φ$ telle que pour tout $x \in E$ , $q (x) = φ (x, x)$ .

$φ$ est alors la forme polaire de $q$ , et on a $\forall x, y \in E, φ (x, y) = \frac{1}{2} (q (x + y) - q (x) - q (y))$

Exemple 22

La matrice symétrique $31 - \frac{3}{2} 100 - \frac{3}{2} 00$ définit la forme quadratique $q : (x, y, z) \mapsto 3 x^{2} + y^{2} + 2 x y - 3 x z$ .

Réductions, décompositions

Réductions

p. 254

Définition 23

Soit $M \in M_{n} (K)$ telle que $(^{t} M M = I_{n}$ .

Si $K = R$ , on dit que $M$ est orthogonale. On note $O_{n} (R)$ l’ensemble des matrices orthogonales à coefficients réels.
Si $K = C$ , on dit que $M$ est unitaire. On note $U_{n} (C)$ l’ensemble des matrices unitaires à coefficients complexes.

Théorème 24

Théorème spectralSoit $M \in S_{n} (R)$ (resp. $M \in H_{n} (C)$ ). Alors il existe $C \in O_{n} (R)$ (resp. $C \in U_{n} (C)$ ) telle que $C^{- 1} M C = C^{*} M C = D$ où $D$ est une matrice diagonale réelle.

Remarque 25

En reprenant les notations précédentes, cela revient à dire qu’un endomorphisme ayant $M$ pour matrice dans une base est diagonalisable dans une base orthonormée.

Corollaire 26

Soient $M, N \in S_{n} (R)$ (resp. $M \in H_{n} (C)$ ) définies positives. Alors il existe $C$ inversible telle que $C^{*} M C = I_{n} et C^{*} N C = D$ où $D$ est une matrice diagonale réelle.

p. 283

Application 27

$\forall A, B \in H_{n}^{++} (C), det (A + B)^{\frac{1}{n}} \geq det (A)^{\frac{1}{n}} + det (B)^{\frac{1}{n}}$

[ROM21]
p. 738

Comme application du 24, on a les résultats suivants.

Application 28

Norme euclidienne sur $S_{n} (R)$ Soit $A = (a_{i, j})_{i, j \in [[1, n]]} \in S_{n} (R)$ de valeurs propres $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in R$ . On a $i, j = 1 \sum n a_{i, j}^{2} = i = 1 \sum n λ_{i}^{2}$

Application 29

Diagonalisation simultanéeSoit $(A_{i})_{i \in I}$ une famille de matrices symétriques. Alors, il existe $P \in O_{n} (R)$ telle que pour tout $i \in I$ , la matrice $(^{t} P A_{i} P$ est diagonale si et seulement si $A_{i} A_{j} = A_{j} A_{i}$ pour tout $i \neq = j$ .

[C-G]
p. 376

Application 30

Racine carrée dans $S_{n}^{++} (R)$ et $H_{n}^{++} (C)$ $\forall A \in S_{n}^{++} (R) \exists! B \in S_{n}^{++} (R) telle que B^{2} = A$ et on a le même résultat en remplaçant $S_{n}^{++} (R)$ par $H_{n}^{++} (C)$ .

p. 299

Théorème 31

Loi d’inertie de SylvesterSoit $A \in S_{n} (R)$ . Alors, il existe $P \in GL_{n} (R)$ et un unique couple d’entiers $(p, q)$ tels que $(^{t} P A P = I_{p} 00 0 - I_{q} 0 000$

Définition 32

Le couple $(p, q)$ précédent est la signature de $A$ .

Proposition 33

Soit $q$ une forme quadratique de forme polaire sur $R^{n}$ . Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

$φ$ est un produit scalaire.
$q$ est de signature $(n, 0)$ .
La matrice de $φ$ dans une base de $R^{n}$ est de la forme $S = (^{t} P P$ avec $P \in GL_{n} (R)$ .
La matrice de $φ$ dans une base de $R^{n}$ est de la forme $S = (^{t} P P$ avec $P \in GL_{n} (R)$ triangulaire supérieure.

p. 270

Remarque 34

Soit $M \in S_{n} (R)$ de signature $(p, q)$ . Alors, $p$ (resp. $q$ ) est le nombre de valeurs propres de $M$ strictement positives (resp. strictement négatives).

Corollaire 35

Soient $A, B \in S_{n} (R)$ . Alors $A$ et $B$ sont congruentes si et seulement si elles sont de même signature.

p. 348

Application 36

${P P^{*} ∣ P \in GL_{n} (K)} = {S_{n}^{++} (R) H_{n}^{++} (C) si K = R si K = C$

Décompositions

p. 376

decomposition-polaire

Application 37

Décomposition polaire. L’application $μ : O_{n} (R) \times S_{n}^{++} (R) (O, S) \to \mapsto GL_{n} (R) O S$ est un homéomorphisme.

Corollaire 38

Tout sous-groupe compact de $GL_{n} (R)$ qui contient $O_{n} (R)$ est $O_{n} (R)$ .

[ROM21]
p. 690

Définition 39

Les sous-matrices principales d’une matrice $(a_{i, j})_{i, j \in [[1, n]]} \in M_{n} (K)$ sont les matrices $A_{k} = (a_{i, j})_{i, j \in [[1, k]]} \in M_{k} (K)$ où $k \in [[1, n]]$ . Les déterminants principaux sont les déterminants des matrices $A_{k}$ , pour $k \in [[1, n]]$ .

Théorème 40

Décomposition lower-upperSoit $A \in GL_{n} (K)$ . Alors, $A$ admet une décomposition $A = LU$ (où $L$ est une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité et $U$ une matrice triangulaire supérieure) si et seulement si tous les déterminants principaux de $A$ sont non nuls. Dans ce cas, une telle décomposition est unique.

Corollaire 41

Soit $A \in GL_{n} (K) \cap S_{n} (K)$ . Alors, on a l’unique décomposition de $A$ : $A = L D (^{t} L$ où $L$ est une matrice triangulaire inférieure et $D$ une matrice diagonale.

Application 42

Décomposition de CholeskySoit $A \in M_{n} (R)$ . Alors, $A \in S_{n}^{++} (R)$ si et seulement s’il existe $B \in GL_{n} (R)$ triangulaire inférieure telle que $A = B (^{t} B$ . De plus, une telle décomposition est unique si on impose la positivité des coefficients diagonaux de $B$ .

[GRI]
p. 368

Exemple 43

On a la décomposition de Cholesky : $(1225) = (1201) (1021)$

Applications

Géométrie différentielle

[ROU]
p. 209

Lemme 44

Soit $A_{0} \in S_{n} (R)$ inversible. Alors il existe un voisinage $V$ de $A_{0}$ dans $S_{n} (R)$ et une application $ψ : V \to GL_{n} (R)$ de classe $C^{1}$ telle que $\forall A \in V, A = (^{t} ψ (A) A_{0} ψ (A)$

p. 354

Lemme 45

Lemme de MorseSoit $f : U \to R$ une fonction de classe $C^{3}$ (où $U$ désigne un ouvert de $R^{n}$ contenant l’origine). On suppose :

$d f_{0} = 0$ .
La matrice symétrique $Hess (f)_{0}$ est inversible.
La signature de $Hess (f)_{0}$ est $(p, n - p)$ .

Alors il existe un difféomorphisme $ϕ = (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n})$ de classe $C^{1}$ entre deux voisinages de l’origine de $R^{n}$ $V \subseteq U$ et $W$ tel que $φ (0) = 0$ et $\forall x \in U, f (x) - f (0) = k = 1 \sum p ϕ_{k}^{2} (x) - k = p + 1 \sum n ϕ_{k}^{2} (x)$

p. 341

Application 46

Soit $S$ la surface d’équation $z = f (x, y)$ où $f$ est de classe $C^{3}$ au voisinage de l’origine. On suppose la forme quadratique $d^{2} f_{0}$ non dégénérée. Alors, en notant $P$ le plan tangent à $S$ en $0$ :

Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(2, 0)$ , alors $S$ est au-dessus de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(0, 2)$ , alors $S$ est en-dessous de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(1, 1)$ , alors $S$ traverse $P$ selon une courbe admettant un point double en $(0, f (0))$ .

Résolution de systèmes linéaires

[C-G]
p. 257

Proposition 47

Soit $A \in GL_{n} (K)$ vérifiant les hypothèses du 40. On définit la suite $(A_{k})$ où $A_{0} = A$ et $\forall k \in N$ , $A_{k + 1}$ est la matrice obtenue à partir de $A_{k}$ à l’aide du pivot de Gauss sur la $(k + 1)$ -ième colonne. Alors, $A_{n - 1}$ est la matrice $U$ de la décomposition $A = LU$ du 40.

Remarque 48

Pour résoudre un système linéaire $A X = Y$ , on se ramène à $A = LU$ en $O (\frac{2}{3} n^{3})$ . Puis, on résout deux systèmes triangulaires en cascade : $L X^{'} = Y puis U X = X^{'}$ ceux-ci demandant chacun $O (2 n^{2})$ opérations.