158 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

algebra

Soit un espace vectoriel sur de dimension finie . On munit d’un produit scalaire , qui en fait un espace euclidien. On note la norme associée à ce produit scalaire.

Conséquences du caractère euclidien de

Adjoint d’un endomorphisme

Lemme 1 (Théorème de représentation de Riesz).

Théorème 2.

Définition 3. Avec les notations du théorème précédent, on dit que est l’adjoint de .

Théorème 4. Soient une base de et la matrice de Gram correspondante. Si a pour matrice dans la base , alors la matrice de dans la base est En particulier, si est orthonormée, on a .

Proposition 5. Il en résulte que l’application linéaire (cf. Proposition 6) est continue pour la norme subordonnée à .

Propriétés de l’adjoint

Proposition 6 (Propriétés de ). Soient . On a :

  1. .

  2. .

  3. .

  4. , et .

Proposition 7 (Propriétés de l’endomorphisme adjoint). Soit . On a :

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. Si est un sous-espace vectoriel de stable par , alors est stable par .

Proposition 8. Soit .

Endomorphismes normaux

Définition 9. Un endomorphisme est dit normal s’il est tel que .

Remarque 10. En désignant par la matrice de dans une base orthonormée, est normal si et seulement si, ce qui se traduit en disant que la matrice est normale.

Exemple 11. Les endomorphismes symétriques, anti-symétriques (0.3) et orthogonaux (0.4) sont des endomorphismes normaux.

Proposition 12. est normal si et seulement si .

Proposition 13. Soit un endomorphisme normal.

  1. Si est un sous-espace vectoriel de stable par , alors est stable par .

  2. Il existe un sous-espace vectoriel de de dimension ou stable par .

Proposition 14 (Réduction dans le cas ). On suppose . Soit un endomorphisme normal.

  • Si a une valeur propre réelle : est diagonalisable dans une base orthonormée.

  • Sinon : il existe une base orthonormée de telle que la matrice de dans est avec .

Théorème 15 (Réduction des endomorphismes normaux). Soit un endomorphisme normal. Alors, il existe une base orthonormée de telle que la matrice de dans est est diagonale d’ordre et est définie à la Proposition 14.

Endomorphismes symétriques

Définitions et propriétés

Définition 16. Un endomorphisme est dit symétrique s’il est tel que .

Proposition 17. Un endomorphisme est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

Corollaire 18. est un sous-espace vectoriel de de dimension .

Proposition 19. Si , alors pour tout entier naturel , et pour tout .

Théorème 20 (Spectral). Tout endomorphisme symétrique se diagonalise dans une base orthonormée.

Corollaire 21. Toute matrice symétrique réelle se diagonalise dans une base orthonormée.

Endomorphismes symétriques positifs

Définition 22.

  • Un endomorphisme est dit symétrique positif (resp. symétrique défini positif) s’il est symétrique tel que (resp. ) pour tout . On note (resp. ) l’ensemble des endomorphismes symétriques positifs (resp. symétriques définis positifs).

  • Une matrice est dite symétrique positive (resp. symétrique définie positive) si elle est symétrique telle que (resp. ) pour tout . On note (resp. ) l’ensemble des matrices symétriques positives (resp. symétriques définies positives).

Théorème 23. Soit . Alors, (resp. ) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives (resp. strictement positives).

Corollaire 24. Soit . Alors, si et seulement s’il existe telle que .

Exemple 25.

Lemme 26. Soit . Alors, est l’application qui a une matrice y associe son rayon spectral.

Théorème 27. L’application est un homéomorphisme.

Endomorphismes antisymétriques

Définition 28. Un endomorphisme est dit anti-symétrique s’il est tel que .

Théorème 29. Soit un endomorphisme anti-symétrique. Alors, les valeurs propres de sont imaginaires pures (éventuellement nulles) et il existe une base orthonormée de telle que la matrice de dans est est diagonale d’ordre et est définie à la Proposition 14.

Endomorphismes orthogonaux

Le groupe orthogonal

Définition 30. Un endomorphisme est dit orthogonal (ou est une isométrie) s’il est tel que pour tout . On note l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de .

Exemple 31.

  • Les seules homothéties qui sont des isométries sont et .

  • Si , on a .

Proposition 32. Soit .

Théorème 33. Les isométries sont des automorphismes. Il en résulte que est un sous-groupe de .

Remarque 34. Ce n’est pas vrai en dimension infinie.

Théorème 35. Un endomorphisme de est une isométrie si et seulement s’il transforme toute base orthonormée de en une base orthonormée.

Théorème 36. Un endomorphisme de est une isométrie si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est inversible, d’inverse .

On dit alors que est orthogonale.

Notation 37. On note le groupe des matrices orthogonales.

Théorème 38.

Remarque 39. On a des résultats équivalents pour les matrices.

Théorème 40 (Réduction des endomorphismes orthogonaux). Soit . Alors, il existe une base orthonormée de telle que la matrice de dans est avec définie à la Proposition 14 et .

Lemme 41.

Théorème 42 (Décomposition polaire). L’application est un homéomorphisme.

Étude en dimensions et

Définition 43. On définit et

Proposition 44. est un sous-groupe distingué de d’indice (de même que dans ).

Exemple 45.

Théorème 46. Soit . Alors :

  • Si : (rotation d’angle ).

  • Si : (symétrie orthogonale par rapport à la droite d’angle polaire ).

Théorème 47. Soit et l’endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est . Alors, il existe une base orthonormée de telle que la matrice de dans est avec . On note le sous-espace vectoriel associé à la valeur propre .

  • Si : est la rotation d’angle autour de l’axe .

  • Si : est la composée de la rotation d’angle autour de l’axe avec la symétrie orthogonale par rapport à .

Propriétés topologiques

Proposition 48. est une partie compacte de .

Proposition 49. est connexe dans .

Corollaire 50. est non-connexe. Ses composantes connexes sont et .

Proposition 51. Tout sous-groupe compact de qui contient est égal à .

Annexes

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Le groupe

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Le groupe