158 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel sur $R$ de dimension finie $n$ . On munit $E$ d’un produit scalaire $⟨ ., . ⟩$ , qui en fait un espace euclidien. On note $∥.∥$ la norme associée à ce produit scalaire.

Conséquences du caractère euclidien de $E$

Adjoint d’un endomorphisme

[ROM21]
p. 718

Lemme 1 (Théorème de représentation de Riesz). $\forall φ \in E^{*}, \exists! a \in E tel que \forall x \in E, φ (x) = ⟨ x, a ⟩$

Théorème 2. $\forall u \in L (E), \exists! u^{*} \in L (E) tel que \forall x, y \in E, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u^{*} (y)⟩$

Définition 3. Avec les notations du théorème précédent, on dit que $u^{*}$ est l’adjoint de $u$ .

Théorème 4. Soient $B = (e_{i})_{i \in I}$ une base de $E$ et $G = (⟨ e_{i}, e_{j} ⟩)_{i, j \in [[1, n]]}$ la matrice de Gram correspondante. Si $u \in L (E)$ a pour matrice $A$ dans la base $B$ , alors la matrice de $u^{*}$ dans la base $B$ est $B = G^{- 1} (^{t} A G$ En particulier, si $B$ est orthonormée, on a $B = (^{t} A$ .

p. 748

Proposition 5. $\forall u \in L (E), ∣∣∣ u ∣∣∣ = ∣∣∣ u^{*} ∣∣∣$ Il en résulte que l’application linéaire (cf. Proposition 6) $u \mapsto u^{*}$ est continue pour la norme $∣∣∣.∣∣∣$ subordonnée à $∥.∥$ .

Propriétés de l’adjoint

p. 719

Proposition 6 (Propriétés de $u \mapsto u^{*}$ ). Soient $u, v \in L (E)$ . On a :

$\forall λ \in R, (λ u + v)^{*} = λ u^{*} + v^{*}$ .
$(u^{*})^{*} = u$ .
$(u \circ v)^{*} = v^{*} \circ u^{*}$ .
$u \in GL (E) ⟹ u^{*} \in GL (E)$ , et $(u^{*})^{- 1} = (u^{- 1})^{*}$ .

Proposition 7 (Propriétés de l’endomorphisme adjoint). Soit $u \in L (E)$ . On a :

$det (u^{*}) = det (u)$ .
$Ker (u^{*}) = Im (u)^{⊥}$ .
$Im (u^{*}) = Ker (u)^{⊥}$ .
$rang (u^{*}) = rang (u)$ .
Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ , alors $F^{⊥}$ est stable par $u^{*}$ .

p. 751

Proposition 8. Soit $u \in L (E)$ . $u = 0 ⟺ trace (u \circ u^{*}) = 0$

Endomorphismes normaux

p. 743

Définition 9. Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit normal s’il est tel que $u \circ u^{*} = u^{*} \circ u$ .

Remarque 10. En désignant par $A \in M_{n} (R)$ la matrice de $u \in L (E)$ dans une base orthonormée, $u$ est normal si et seulement si, $(^{t} AA = A (^{t} A$ ce qui se traduit en disant que la matrice $A$ est normale.

Exemple 11. Les endomorphismes symétriques, anti-symétriques (Section Endomorphismes symétriques) et orthogonaux (Section Endomorphismes orthogonaux) sont des endomorphismes normaux.

p. 758

Proposition 12. $u \in L (E)$ est normal si et seulement si $∥ u (x) ∥ = ∥ u^{*} (x) ∥$ pour tout $x \in E$ où $∥.∥$ est une norme euclidienne.

p. 743

Proposition 13. Soit $u \in L (E)$ un endomorphisme normal.

Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ , alors $F^{⊥}$ est stable par $u$ .
Il existe un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $1$ ou $2$ stable par $u$ .

Proposition 14 (Réduction dans le cas $n = 2$ ). On suppose $n = 2$ . Soit $u \in L (E)$ un endomorphisme normal.

Si $u$ a une valeur propre réelle : $u$ est diagonalisable dans une base orthonormée.
Sinon : il existe $B$ une base orthonormée de $E$ telle que la matrice de $u$ dans $B$ est $R (a, b) = (a b - b a)$ avec $b \neq = 0$ .

Théorème 15 (Réduction des endomorphismes normaux). Soit $u \in L (E)$ un endomorphisme normal. Alors, il existe $B$ une base orthonormée de $E$ telle que la matrice de $u$ dans $B$ est $D_{p} 00 ⋮ 0 0 R (a_{1}, b_{1}) 0 ⋱ \dots 00 R (a_{2}, b_{2}) ⋱ \dots \dots \dots ⋱ ⋱ 0 00 ⋮ 0 R (a_{r}, b_{r})$ où $D_{p}$ est diagonale d’ordre $p$ et $R (a, b)$ est définie à la Proposition 14.

Endomorphismes symétriques

Définitions et propriétés

p. 732

Définition 16. Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit symétrique s’il est tel que $u^{*} = u$ .

Proposition 17. Un endomorphisme $u \in L (E)$ est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

Corollaire 18. $S (E)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Proposition 19. Si $u \in S (E)$ , alors $u^{p} \in S (E)$ pour tout entier naturel $p$ , et $v^{*} \circ u \circ v \in S (E)$ pour tout $v \in L (E)$ .

Théorème 20 (Spectral). Tout endomorphisme symétrique $u \in S (E)$ se diagonalise dans une base orthonormée.

Corollaire 21. Toute matrice symétrique réelle se diagonalise dans une base orthonormée.

Endomorphismes symétriques positifs

Définition 22.

Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit symétrique positif (resp. symétrique défini positif) s’il est symétrique tel que $⟨ x, u (x)⟩ \geq 0$ (resp. $⟨ x, u (x)⟩ > 0$ ) pour tout $x \in E$ . On note $S^{+} (E)$ (resp. $S^{++} (E)$ ) l’ensemble des endomorphismes symétriques positifs (resp. symétriques définis positifs).
Une matrice $A \in M_{n} (R)$ est dite symétrique positive (resp. symétrique définie positive) si elle est symétrique telle que $⟨ x, A x ⟩ \geq 0$ (resp. $⟨ x, A x ⟩ > 0$ ) pour tout $x \in E$ . On note $S_{n}^{+} (R)$ (resp. $S_{n}^{++} (R)$ ) l’ensemble des matrices symétriques positives (resp. symétriques définies positives).

Théorème 23. Soit $u \in S (E)$ . Alors, $u \in S^{+} (E)$ (resp. $u \in S^{++} (E)$ ) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives (resp. strictement positives).

Corollaire 24. Soit $A \in M_{n} (R)$ . Alors, $A \in S_{n}^{+} (R)$ si et seulement s’il existe $B \in S_{n} (R)$ telle que $A = (^{t} BB$ .

p. 752

Exemple 25. $- 1 11 1 - 1 1 11 - 1 = P^{- 1} 100 0 - 2 0 00 - 2 P avec P = \frac{1}{6} 222 3 - 3 0 11 - 2$

[I-P]
p. 182

Lemme 26. Soit $M \in S_{n} (R)$ . Alors, $∣∣∣ M ∣∣∣ = ρ (M)$ où $ρ$ est l’application qui a une matrice y associe son rayon spectral.

homeomorphisme-de-l-exponentielle

Théorème 27. L’application $exp : S_{n} (R) \to S_{n}^{++} (R)$ est un homéomorphisme.

Endomorphismes antisymétriques

[ROM21]
p. 718

Définition 28. Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit anti-symétrique s’il est tel que $u^{*} = - u$ .

p. 746

Théorème 29. Soit $u \in L (E)$ un endomorphisme anti-symétrique. Alors, les valeurs propres de $u$ sont imaginaires pures (éventuellement nulles) et il existe $B$ une base orthonormée de $E$ telle que la matrice de $u$ dans $B$ est $D_{p} 00 ⋮ 0 0 R (0, b_{1}) 0 ⋱ \dots 00 R (0, b_{2}) ⋱ \dots \dots \dots ⋱ ⋱ 0 00 ⋮ 0 R (0, b_{r})$ où $D_{p}$ est diagonale d’ordre $p$ et $R (a, b)$ est définie à la Proposition 14.

Endomorphismes orthogonaux

Le groupe orthogonal

p. 720

Définition 30. Un endomorphisme $u \in L (E)$ est dit orthogonal (ou est une isométrie) s’il est tel que $⟨ u (x), u (y)⟩ = ⟨ x, y ⟩$ pour tout $x, y \in E$ . On note $O (E)$ l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de $E$ .

Exemple 31.

Les seules homothéties qui sont des isométries sont $- id_{E}$ et $id_{E}$ .
Si $n = 1$ , on a $O (E) = {\pm id_{E}}$ .

p. 743

Proposition 32. Soit $u \in L (E)$ . $u = O (E) ⟺ \forall x \in E, ∥ u (x) ∥ ⟺ u \in GL (E) et u^{- 1} = u^{*}$

p. 721

Théorème 33. Les isométries sont des automorphismes. Il en résulte que $O (E)$ est un sous-groupe de $GL (E)$ .

Remarque 34. Ce n’est pas vrai en dimension infinie.

Théorème 35. Un endomorphisme de $E$ est une isométrie si et seulement s’il transforme toute base orthonormée de $E$ en une base orthonormée.

Théorème 36. Un endomorphisme de $E$ est une isométrie si et seulement si sa matrice $A$ dans une base orthonormée est inversible, d’inverse $(^{t} A$ .

On dit alors que $A$ est orthogonale.

Notation 37. On note $O_{n} (R)$ le groupe des matrices orthogonales.

Théorème 38. $\forall u \in O (E), det (u) = \pm 1$

Remarque 39. On a des résultats équivalents pour les matrices.

Théorème 40 (Réduction des endomorphismes orthogonaux). Soit $u \in O (E)$ . Alors, il existe $B$ une base orthonormée de $E$ telle que la matrice de $u$ dans $B$ est $I_{p} 00 ⋮ 0 0 - I_{q} 0 ⋱ \dots 00 R_{1} ⋱ \dots \dots \dots ⋱ ⋱ 0 00 ⋮ 0 R_{r}$ où $R_{i} = R (cos (θ_{i}), sin (θ_{i}))$ avec $R (a, b)$ définie à la Proposition 14 et $\forall i \in [[1, r]], θ_{i} \in] 0, 2 π [$ .

[C-G]
p. 376

Lemme 41. $\forall A \in S_{n}^{++} (R) \exists! B \in S_{n}^{++} (R) telle que B^{2} = A$

decomposition-polaire

Théorème 42 (Décomposition polaire). L’application $μ : O_{n} (R) \times S_{n}^{++} (R) (O, S) \to \mapsto GL_{n} (R) OS$ est un homéomorphisme.

Étude en dimensions $2$ et $3$

[GRI]
p. 241

Définition 43. On définit $SO (E) = {u \in O (E) ∣ det (u) = 1}$ et $SO_{n} (R) = {A \in O_{n} (R) ∣ det (A) = 1}$

[ROM21]
p. 724

Proposition 44. $SO (E)$ est un sous-groupe distingué de $O (E)$ d’indice $2$ (de même que $SO_{n} (R)$ dans $O_{n} (R)$ ).

[GRI]
p. 241

Exemple 45. $\frac{1}{3} 22 - 1 - 1 22 2 - 1 2 \in SO_{3} (R)$

Théorème 46. Soit $A \in O_{2} (R)$ . Alors :

Si $A \in SO_{2} (R)$ : $\exists θ \in R tel que A = (cos (θ) sin (θ) - sin (θ) cos (θ))$ (rotation d’angle $θ$ ).
Si $A \in / SO_{2} (R)$ : $\exists θ \in R tel que A = (cos (θ) sin (θ) sin (θ) - cos (θ))$ (symétrie orthogonale par rapport à la droite d’angle polaire $\frac{θ}{2}$ ).

Théorème 47. On suppose $n = 3$ . Soit $A \in O_{3} (R)$ et $u$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base canonique est $A$ . Alors, il existe $B$ une base orthonormée de $E$ telle que la matrice de $u$ dans $B$ est $cos (θ) sin (θ) 0 - sin (θ) cos (θ) 0 00 ϵ$ avec $ϵ = \pm 1$ . On note $E_{ϵ}$ le sous-espace vectoriel associé à la valeur propre $ϵ$ .

Si $ϵ = 1$ : $f \in SO (E)$ est la rotation d’angle $2 cos (θ) + 1$ autour de l’axe $E_{1}$ .
Si $ϵ = - 1$ : $f \in / SO (E)$ est la composée de la rotation d’angle $2 cos (θ) - 1$ autour de l’axe $E_{- 1}$ avec la symétrie orthogonale par rapport à $E_{- 1}^{⊥}$ .