159 Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps commutatif $K$ de dimension finie $n$ .

Dual d’un espace vectoriel

Formes linéaires, espace dual

Définition 1. Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire de $E$ dans $K$ . L’espace $L (E, K)$ formé par l’ensemble des formes linéaires sur $E$ est appelé dual de $E$ et est noté $E^{*}$ .

Exemple 2.

Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Alors pour tout $j \in [[1, n]]$ , la projection $p_{j} : i = 1 \sum n x_{i} e_{i} \mapsto x_{j}$ est une forme linéaire.
Toute combinaison linéaire de formes linéaires est une forme linéaire.

Remarque 3. Une forme linéaire non nulle sur $E$ est surjective.

Définition 4. On appelle hyperplan de $E$ , le noyau d’une forme linéaire non nulle sur $E$ .

Proposition 5.

Un hyperplan de $E$ est un sous-espace de $E$ supplémentaire d’une droite.
Deux formes linéaires non nulles définissent le même hyperplan si et seulement si elles sont liées.

Bases duales

[GOU21]
p. 133

Définition 6. En reprenant les notations de la Exemple 2, les projections $p_{i}$ sont les formes linéaires coordonnées. On note $\forall i \in [[1, n]]$ , $p_{i} = e_{i}^{*}$ . La famille $B^{*} = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est appelée base duale de $B$ .

Remarque 7. Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Pour tout $i, j \in [[1, n]]$ , on a $e_{i}^{*} (e_{j}) = δ_{i, j} = {10 si i = j sinon$

Théorème 8. Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Alors, la base duale $B^{*}$ est une base de $E^{*}$ .

Corollaire 9.

$E^{*}$ est un espace vectoriel de dimension $n$ .
Pour tout $φ \in E^{*}$ , on a $φ = \sum_{n = 1}^{n} φ (e_{i}) e_{i}^{*}$ .

[ROM21]
p. 446

Corollaire 10. Tout hyperplan de $E$ est de dimension $n - 1$ .

[GOU20]
p. 325

Exemple 11. Soit $U \subseteq R^{n}$ un ouvert. Soit $f : U \to R$ différentiable en $a \in U$ . Alors, $d f_{a} = i = 1 \sum n \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) e_{i}^{*}$ où $(e_{i}^{*})_{i \in [[1, n]]}$ est la base duale de la base canonique $(e_{i})_{i \in [[1, n]]}$ de $R^{n}$ .

Bidual

[GOU21]
p. 133

Définition 12. On appelle bidual de $E$ le dual $E^{*}$ . On le note $E^{**}$ .

Exemple 13. Pour $x \in E$ , l’application $ev_{x} : φ \mapsto φ (x)$ est un élément de $E^{**}$ .

Théorème 14. $x \mapsto ev_{x}$ est un isomorphisme entre les espaces $E$ et $E^{**}$ .

Remarque 15. Cet isomorphisme est canonique : il ne dépend pas du choix d’une base de $E$ .

Corollaire 16. Soit $(f_{1}, \dots, f_{n})$ une base de $E^{*}$ . Il existe une unique base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ telle que, pour tout $i \in [[1, n]]$ , $e_{i}^{*} = f_{i}$ .

Définition 17. En reprenant les notations précédentes, $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est appelée base antéduale de $(f_{1}, \dots, f_{n})$ .

Exemple 18. On suppose $n = 3$ . Soient $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ une base de $E$ et $f_{1}^{*} = 2 e_{1}^{*} + e_{2}^{*} + e_{3}^{*}, f_{2}^{*} = - e_{1}^{*} + 2 e_{3}^{*}, f_{3}^{*} = e_{1}^{*} + 3 e_{2}^{*}$ Alors, $(f_{1}^{*}, f_{2}^{*}, f_{3}^{*})$ est une base de $E^{*}$ , dont une base antéduale est $(f_{1}, f_{2}, f_{3})$ où $f_{1} = \frac{1}{13} (6 e_{1} - 2 e_{2} + 3 e_{3}), f_{2} = \frac{1}{13} (- 3 e_{1} - e_{2} + 5 e_{3}), f_{3} = \frac{1}{13} (- 2 e_{1} + 5 e_{2} - e_{3})$

Orthogonalité au sens de la dualité

Orthogonal d’une partie, d’une famille

[ROM21]
p. 446

Définition 19. On dit qu’une forme linéaire $φ \in E^{*}$ et un vecteur $x \in E$ sont orthogonaux si $φ (x) = 0$ .

Définition 20.

L’orthogonal dans $E^{*}$ d’une partie non vide $X$ de $E$ est l’ensemble $X^{⊥} = {φ \in E^{*} ∣ \forall x \in X, φ (x) = 0}$
L’orthogonal dans $E$ d’une partie non vide $Y$ de $E^{*}$ est l’ensemble $Y^{\circ} = {x \in E ∣ \forall φ \in Y, φ (x) = 0}$

Théorème 21. Soient $A$ , $B$ des parties non vides de $E$ et $U$ , $V$ des parties non vides de $E^{*}$ .

Si $A \subseteq B$ , alors $B^{⊥} \subseteq A^{⊥}$ .
Si $U \subseteq V$ , alors $V^{\circ} \subseteq U^{\circ}$ .
$A \subseteq (A^{⊥})^{\circ}$ .
$U \subseteq (U^{\circ})^{⊥}$ .
$A^{⊥} = Vect (A)^{⊥}$ .
$U^{\circ} = Vect (U)^{\circ}$ .
${0}^{⊥} = E^{*}, E^{⊥} = {0}, {0}^{\circ} = E et, (E^{*})^{\circ} = {0}$ .

Corollaire 22.

Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ , on a $dim (F) + dim (F^{⊥}) = n$
Pour tout sous-espace vectoriel $G$ de $E^{*}$ , on a $dim (G) + dim (F^{\circ}) = n$
Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ , et pour tout sous-espace vectoriel $G$ de $E^{*}$ , on a $F = (F^{⊥})^{\circ}$ et $G = (G^{\circ})^{⊥}$ .
Pour toute partie $X$ de $E$ , on a $(X^{⊥})^{\circ} = Vect (X)$ .
Pour tous sous-espaces vectoriels $F_{1}$ et $F_{2}$ de $E$ , on a : $(F_{1} + F_{2})^{⊥} = F_{1}^{⊥} \cap F_{2}^{⊥} et (F_{1} \cap F_{2})^{⊥} = F_{1}^{⊥} + F_{2}^{⊥}$
Pour tous sous-espaces vectoriels $G_{1}$ et $G_{2}$ de $E^{*}$ , on a : $(G_{1} + G_{2})^{\circ} = G_{1}^{\circ} \cap G_{2}^{\circ} et (G_{1} \cap G_{2})^{\circ} = G_{1}^{\circ} + G_{2}^{\circ}$

Corollaire 23. Si $(φ_{i})_{i \in [[1, p]]}$ est une famille de formes linéaires sur $E$ de rang $r$ , le sous-espace vectoriel $F = ⋂_{i = 1}^{p} Ker (φ_{i})$ de $E$ est alors de dimension $n - r$ . Réciproquement, si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $m$ , il existe alors une famille de formes linéaires $(φ_{i})_{i \in [[1, p]]}$ de rang $r = n - m$ telle que $F = ⋂_{i = 1}^{p} Ker (φ_{i})$ .

Application transposée

p. 452

Définition 24. Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $K$ . Soit $u \in L (E, F)$ . La transposée de $u \in L (E, F)$ est l’application $(^{t} u : F^{*} φ \to \mapsto E^{*} φ \circ u$

Proposition 25. $u \mapsto (^{t} u$ est linéaire, injective de $L (E, F)$ dans $L (F^{*}, E^{*})$ .

Théorème 26. Soient $E$ , $F$ et $G$ trois espaces vectoriels sur $K$ . Soient $u \in L (E, F)$ et $u \in L (F, G)$ . On a :

$(^{t} v \circ u = (^{t} u \circ (^{t} v$ .
Pour $F = E$ , $(^{t} id_{E} = id_{E^{*}}$ .
Si $u$ est un isomorphisme de $E$ sur $F$ , alors $(^{t} u$ est un isomorphisme de $F^{*}$ sur $E^{*}$ et $((^{t} u)^{- 1} = (^{t} (u^{- 1})$ .
$Ker ((^{t} u) = (Im (u))^{⊥}$ .
$u$ est surjective si et seulement si $(^{t} u$ est injective.
$Im ((^{t} u) = (Ker (u))^{⊥}$ .
$u$ est injective si et seulement si $(^{t} u$ est surjective.
Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, alors $u$ et $(^{t} u$ ont même rang.
Si $A \in M_{n} (K)$ est la matrice de $u$ dans des bases $B$ et $B^{'}$ , alors $(^{t} A$ est la matrice de $(^{t} u$ dans les bases $B^{' *}$ et $B^{*}$ .

[GOU21]
p. 136

Corollaire 27. Soient $B$ et $B^{'}$ deux bases de $E$ et $P$ la matrice de passage de $B$ à $B^{'}$ . Alors, la matrice de passage de $B^{*}$ à $B^{' *}$ est $(^{t} P^{- 1}$

Proposition 28. Soit $u \in L (E)$ . Alors un sous-espace vectoriel de $E$ est stable par $u$ si et seulement si son orthogonal l’est.

p. 176

trigonalisation-simultanee

Application 29 (Trigonalisation simultanée). Soit $(u_{i})_{i \in I}$ une famille d’endomorphismes de $E$ diagonalisables qui commutent deux-à-deux. Alors, il existe une base commune de trigonalisation.

Lien avec l’orthogonalité au sens euclidien

[ROM21]
p. 718

Théorème 30 (de représentation de Riesz). Soit $⟨ ., . ⟩$ un produit scalaire sur $E$ . $\forall φ \in E^{*}, \exists! a \in E tel que \forall x \in E, φ (x) = ⟨ x, a ⟩$

p. 446

Ainsi, si $E$ est muni d’un produit scalaire $⟨ ., . ⟩$ , on retrouve la notion classique d’orthogonalité euclidienne avec $φ : x \mapsto ⟨ x, a ⟩$ .

[GOU21]
p. 138

Exemple 31. L’application $M_{n} (K) A \to \mapsto M_{n} (K)^{*} (X \mapsto trace (A X))$ est un isomorphisme.

Applications

Formule de Taylor

[ROM21]
p. 442

On suppose $K$ de caractéristique nulle.

Application 32 (Formule de Taylor). Pour tout $j \in [[0, n]]$ , on définit : $e_{j} : K_{n} [X] P \to \mapsto K \frac{P ^{(j)} ( 0 )}{j !}$ Alors, $(e_{i})_{i \in [[0, n]]}$ est une base de $K_{n} [X]^{*}$ , dont la base antéduale est $(X^{i})_{i \in [[0, n]]}$ .

[GOU21]
p. 64

Corollaire 33. On suppose $P \neq = 0$ . Alors $a \in K$ est racine d’ordre $h$ de $P$ si et seulement si $\forall i \in [[1, h - 1]], P^{(i)} (a) = 0 et F^{(h)} (a) \neq = 0$

Exemple 34. Le polynôme $P_{n} = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i !} X^{i}$ n’a que des racines simples dans $C$ .

Remarque 35. C’est encore vrai en caractéristique non nulle pour $h = 1$ .

Invariants de similitude

[ROM21]
p. 397

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u \in L (E)$ .

Définition 36. On dit que $u$ est cyclique s’il existe $x \in E$ tel que ${P (u) (x) ∣ P \in K [X]} = E$ .

Proposition 37. $u$ est cyclique si et seulement si $de g (π_{u}) = n$ .

Définition 38. Soit $P = X^{p} + a_{p - 1} X^{p - 1} + \dots + a_{0} \in K [X]$ . On appelle matrice compagnon de $P$ la matrice $C (P) = 010 ⋮ 0 \dots 01 ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ 01 - a_{0} - a_{1} ⋮ - a_{p - 2} - a_{p - 1}$

Proposition 39. $u$ est cyclique si et seulement s’il existe une base $B$ de $E$ telle que $Mat (u, B) = C (π_{u})$ .

Théorème 40. Il existe $F_{1}, \dots, F_{r}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tous stables par $u$ tels que :

$E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{r}$ .
$u_{i} = u_{∣ F_{i}}$ est cyclique pour tout $i$ .
Si $P_{i} = π_{u_{i}}$ , on a $P_{i + 1} ∣ P_{i}$ pour tout $i$ .

La famille de polynômes $P_{1}, \dots, P_{r}$ ne dépend que de $u$ et non du choix de la décomposition. On l’appelle suite des invariants de similitude de $u$ .

Théorème 41 (Réduction de Frobenius). Si $P_{1}, \dots, P_{r}$ désigne la suite des invariants de $u$ , alors il existe une base $B$ de $E$ telle que : $Mat (u, B) = C (P_{1}) ⋱ C (P_{r})$ On a d’ailleurs $P_{1} = π_{u}$ et $P_{1} \dots P_{r} = χ_{u}$ .

Corollaire 42. Deux endomorphismes de $E$ sont semblables si et seulement s’ils ont la même suite d’invariants de similitude.

Application 43. Pour $n = 2$ ou $3$ , deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont mêmes polynômes minimal et caractéristique.

Application 44. Soit $L$ une extension de $K$ . Alors, si $A, B \in M_{n} (K)$ sont semblables dans $M_{n} (L)$ , elles le sont aussi dans $M_{n} (K)$ .

Classification des formes quadratiques

p. 243

Soit $q$ une forme quadratique sur $E$ .

Lemme 45. Il existe une base $q$ -orthogonale (ie. si $φ$ est la forme polaire de $q$ , une base $B$ où $\forall e, e^{'} \in B, φ (e, e^{'}) = 0$ si $e \neq = e^{'}$ ).

loi-d-inertie-de-sylvester

Théorème 46 (Loi d’inertie de Sylvester). $\exists p, q \in N et \exists f_{1}, \dots, f_{p + q} \in E^{*} tels que q = i = 1 \sum p ∣ f_{i} ∣^{2} - i = p + 1 \sum p + q ∣ f_{i} ∣^{2}$ où les formes linéaires $f_{i}$ sont linéairement indépendantes et où $p + q \leq n$ . De plus, ces entiers ne dépendent que de $q$ et pas de la décomposition choisie.

Le couple $(p, q)$ est la signature de $q$ et le rang $q$ est égal à $p + q$ .

Exemple 47. La signature de la forme quadratique $q : (x, y, z) \mapsto x^{2} - 2 y^{2} + x z + yz$ est $(2, 1)$ , donc son rang est $3$ .