170 Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $K$ et de dimension finie $n$ .

Généralités

Définitions

Définition 1. Soit $φ : E \times E \to K$ une application.

On dit que $φ$ est une forme bilinéaire sur $E$ si pour tout $x \in E$ , $y \mapsto φ (x, y)$ et pour tout $y \in E$ , $x \mapsto φ (x, y)$ sont linéaires.
Si de plus $φ (x, y) = φ (y, x)$ pour tout $x, y \in E$ , on dit que $φ$ est symétrique.

Définition 2. On appelle forme quadratique sur $E$ toute application $q$ de la forme $q : x \mapsto φ (x, x)$ où $φ$ est une forme bilinéaire sur $E$ .

Exemple 3. Sur $R^{3}$ , $(x, y, z) \mapsto 3 x^{2} + y^{2} + 2 x y - 3 x z$ définit une forme quadratique.

Proposition 4. Soit $q$ une forme quadratique sur $E$ . Il existe une unique forme bilinéaire symétrique $φ$ telle que $q (x) = φ (x, x)$ pour tout $x \in E$ . $φ$ est la forme polaire de $q$ , et on a $\forall x, y \in E, φ (x, y) = \frac{1}{2} (q (x + y) - q (x) - q (y)) = \frac{1}{4} (q (x + y) - q (x - y))$

p. 248

Exemple 5. Sur $M_{n} (R)$ , $A \mapsto trace (A)^{2}$ est une forme quadratique, dont la forme polaire est $(A, B) \mapsto trace (A) trace (B)$ .

Représentation matricielle

p. 229

Définition 6. Soient $q$ une forme quadratique sur $E$ et $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . On appelle matrice de $q$ dans $B$ la matrice $Mat (q, B)$ définie par $Mat (q, B) = (φ (e_{i}, e_{j}))_{i, j \in [[1, n]]}$ où $φ$ est la forme polaire de $q$ . Le rang de $q$ désigne le rang de cette matrice.

Exemple 7. La matrice de la forme quadratique de l’Exemple 3 est $31 - \frac{3}{2} 110 - \frac{3}{2} 00$

Proposition 8. Soient $B$ et $B^{'}$ deux bases de $E$ dont on note $P$ la matrice de passage entre ces bases. Soit $q$ une forme quadratique sur $E$ . Alors, $Mat (q, B) = (^{t} P Mat (q, B^{'}) P$

Remarque 9. En particulier, en reprenant les notations précédentes, $Mat (q, B)$ et $Mat (q, B^{'})$ sont équivalentes : le rang de $q$ est bien défini et ne dépend pas de la base considérée.

Orthogonalité et isotropie

Soit $q$ une forme quadratique sur $E$ de forme polaire $φ$ .

Définitions et propriétés

Définition 10.

On appelle cône isotrope de $q$ l’ensemble $C_{q} = {x \in E ∣ q (x) = 0}$
$q$ est dite définie si $C_{q} = {0}$ .
Les vecteurs de $C_{q}$ sont dits isotropes pour $q$ .

[GRI]
p. 303

Exemple 11. La forme quadratique définie sur $R^{3}$ par $(x, y, z) \mapsto 4 x^{2} + 3 y^{2} + 5 x y - 3 x z + 8 yz$ n’est pas définie car $(0, 0, 1)$ est un vecteur isotrope non nul.

[GOU21]
p. 242

Définition 12.

Deux vecteurs $x, y \in E$ sont dits $q$ -orthogonaux si $φ (x, y) = 0$ . On note cela $x ⊥ y$ .
Si $A \subseteq E$ , on appelle orthogonal de $A$ l’ensemble $A^{⊥} = {y \in E ∣ \forall x \in A, x ⊥ y}$ .

Proposition 13.

Si $A \subseteq E$ , $A^{⊥} = (Vect (A))^{⊥}$ .
Si $A \subseteq E$ , $A \subseteq A^{⊥⊥}$ .
Si $A \subseteq B \subseteq E$ , $B^{⊥} \subseteq A^{⊥}$ .

Définition 14.

On appelle noyau de $q$ le sous-espace vectoriel $Ker (q) = E^{⊥}$
On dit que $q$ est non-dégénérée si $Ker (q) = {0}$ et dégénérée si $Ker (q) \neq = {0}$ .

Proposition 15. On a $Ker (q) \subseteq C_{q}$ . En particulier, si $q$ est définie, alors $q$ est non dégénérée.

Exemple 16. Sur $R^{2}$ , $(x, y) \mapsto x^{2} - y^{2}$ est une forme quadratique non dégénérée mais non définie non plus.

Proposition 17. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ .

$dim (E) = dim (F) + dim (F^{⊥}) - dim (F \cap Ker (q))$ .
$F^{⊥⊥} = F + Ker (q)$ .
Si la restriction de $q$ à $F$ $q_{∣ F}$ est définie, alors $E = F \oplus F^{⊥}$ .
Si $q$ est définie, $F = F^{⊥⊥}$ .

Proposition 18. Soit $A$ la matrice de $q$ dans une base $B$ . Alors, $Ker (A) = Ker (q)$

[GRI]
p. 296

Corollaire 19. $q$ est non dégénérée si et seulement si $det (Mat (q, B)) \neq = 0$ pour une base quelconque $B$ de $E$ .

Exemple 20. Sur $R^{4}$ , $(x, y) \mapsto x^{2} + y^{2} + z^{2} - t^{2}$ est non dégénérée (car de déterminant $- 1$ ).

Bases $q$ -orthogonales

[GOU21]
p. 243

Définition 21. Une base de $E$ est dite $q$ -orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux $q$ -orthogonaux.

Remarque 22. Si $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base $q$ -orthogonale, alors $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in K^{n}, q (i = 1 \sum n x_{i} e_{i}) = i = 1 \sum n x_{i}^{2} q (e_{i})$

Théorème 23. Il existe une base $q$ -orthogonale de $E$ .

Remarque 24. Si $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base $q$ -orthogonale, en posant $λ_{i} = q (e_{i})$ pour tout $i \in [[1, n]]$ , on a $\forall x \in E, q (x) = q (i = 1 \sum n e_{i}^{*} (x) e_{i}) = i = 1 \sum n λ_{i} (e_{i}^{*} (x))^{2}$ où $(e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*})$ est la base duale de $B$ .

Théorème 25 (Méthode de Gauss). On écrit $q (x_{1}, \dots, x_{n}) = i = 1 \sum n a_{i, i} x_{i}^{2} + 1 \leq i < j \leq n \sum a_{i, j} x_{i} x_{j}$ et on cherche à écrire $q$ comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. On a deux cas :

Il existe $i \in [[1, n]]$ tel que $a_{i, i} \neq = 0$ . On peut suppose $i = 1$ , on pose alors $a = a_{1, 1}$ . On réécrit $q$ sous la forme : $q (x_{1}, \dots, x_{n}) = a x_{1}^{2} + x_{1} B (x_{2}, \dots, x_{n}) + C (x_{2}, \dots, x_{n}) = a (x_{1} + \frac{B ( x _{2} , \dots , x _{n} )}{2 a})^{2} + (C (x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{B ( x _{2} , \dots , x _{n} ) ^{2}}{4 a})$ où $B$ est une forme linéaire et $C$ une forme quadratique. On itère alors le procédé avec $C - \frac{B ^{2}}{4 a}$ .
Sinon. Si $q = 0$ , c’est terminé. Sinon, il existe un $a_{i, j}$ non nul. On peut suppose $(i, j) = (1, 2)$ , on pose alors $a = a_{1, 2}$ . On réécrit $q$ sous la forme : $q (x_{1}, \dots, x_{n}) = a x_{1} x_{2} + x_{1} B (x_{3}, \dots, x_{n}) + x_{2} C (x_{3}, \dots, x_{n}) + D (x_{3}, \dots, x_{n})$ où $B$ et $C$ sont des formes linéaires et $D$ une forme quadratique. En utilisant une identité remarquable : $q = a (x_{1} + \frac{C}{a}) (x_{2} + \frac{B}{a}) + (D - \frac{B A}{a}) = \frac{a}{4} ((x_{1} + x_{2} + \frac{B + C}{a})^{2} - (x_{1} - x_{2} + \frac{C - B}{a})^{2}) + (D - \frac{BC}{a})$ On itère alors le procédé avec $D - \frac{BC}{a}$ .

Exemple 26. Sur $R^{3}$ , $q (x, y, z) = x^{2} - 2 y^{2} + x z + yz = (x + \frac{z}{2})^{2} - \frac{z ^{2}}{4} - 2 y^{2} + yz = (x + \frac{z}{2})^{2} - 2 (y - \frac{z}{4})^{2} + \frac{z ^{2}}{8} - \frac{z ^{2}}{4} = (x + \frac{z}{2})^{2} - 2 (y - \frac{z}{4})^{2} - \frac{z ^{2}}{8}$

Classification des formes quadratiques

Soit $q$ une forme quadratique sur $E$ .

Si $K = C$

On suppose $K = C$ .

[GRI]
p. 308

Théorème 27. Il existe une base $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ telle que, si $x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i} \in E$ , on a $q (x) = i = 1 \sum n x_{i}^{2}$

Remarque 28. En reprenant les notations précédentes, $Mat (q, B) = (I_{r} 0 00)$ où $r$ est le rang de $q$ et $I_{r}$ la matrice identité de taille $r$ .

Corollaire 29. Il existe une base $q$ -orthonormée (ie. $q (e_{i}) = 1$ pour tout $i \in [[1, n]]$ ) si et seulement si $rang (q) = n$ (ie. $q$ est non dégénérée).

Si $K = R$

On suppose $K = R$ .

[GOU21]
p. 246

Définition 30. $q$ est dite positive (resp. négative) si pour tout $x \in E$ , $q (x) \geq 0$ (resp. $q (x) \leq 0$ ).

loi-d-inertie-de-sylvester

Théorème 31 (Loi d’inertie de Sylvester). $\exists p, q \in N et \exists f_{1}, \dots, f_{p + q} \in E^{*} tels que q = i = 1 \sum p ∣ f_{i} ∣^{2} - i = p + 1 \sum q ∣ f_{i} ∣^{2}$ où les formes linéaires $f_{i}$ sont linéairement indépendantes et où $p + q \leq n$ . De plus, ces entiers ne dépendent que de $q$ et pas de la décomposition choisie.

Le couple $(p, q)$ est la signature de $q$ et le rang $q$ est égal à $p + q$ .

Remarque 32. En reprenant les notations précédentes, il existe donc une base $B$ telle que $Mat (q, B) = I_{p} 00 0 - I_{q} 0 000$ où $r$ est le rang de $q$ et $I_{r}$ la matrice identité de taille $r$ .

[GRI]
p. 310

Corollaire 33. On note $sign (q)$ la signature de $q$ .

$q$ est définie positive si et seulement si $sign (q) = (n, 0)$ si et seulement s’il existe des bases $q$ -orthonormées.
$q$ est définie négative si et seulement si $sign (q) = (0, n)$ .
$q$ est non dégénérée si et seulement si $sign (q) = (p, n - p)$ .

[GOU21]
p. 247

Exemple 34. En reprenant l’Exemple 26, on a $sign (q) = (1, 2)$ : $q$ est de rang $3$ .

Proposition 35. Si $q$ est définie, alors ou bien $q$ est positive, ou bien $q$ est négative.

Si $K = F_{p^{n}}$

On suppose $K = F_{p^{n}}$ où $p, n \in N$ avec $p$ premier.

[PER]
p. 130

Définition 36. On appelle discriminant de $q$ le déterminant de sa matrice dans une base de $E$ .

Théorème 37. Soit $α \in F_{p^{n}}$ un non-résidu quadratique modulo $p^{n}$ . Alors, on a deux classes d’équivalence de formes quadratiques non dégénérées sur $E$ , de matrices congrues à : $10 ⋮ 00 01 ⋱ \dots \dots 00 ⋱ ⋱ \dots \dots \dots ⋱ 10 00 ⋮ 0 α ou 10 ⋮ 00 01 ⋱ \dots \dots 00 ⋱ ⋱ \dots \dots \dots ⋱ 10 00 ⋮ 01$ $q$ est de l’un ou l’autre type suivant que son discriminant est, ou non, un carré de $F_{p^{n}}$ .

Applications

Produit scalaire

On suppose de nouveau $K = R$ .

[GOU21]
p. 252

Définition 38. On appelle produit scalaire sur $E$ la forme polaire d’une forme quadratique définie positive.

p. 246

Proposition 39 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Soit $q$ une forme quadratique positive sur $E$ de forme polaire $φ$ . Alors, $\forall x, y \in E, φ (x, y)^{2} \leq q (x) q (y)$ Si de plus $q$ est définie, il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Proposition 40 (Inégalité de Minkowski). Soit $q$ une forme quadratique positive sur $E$ . Alors, $\forall x, y \in E, q (x + y) \leq q (x) q (y)$

Corollaire 41. Soit $φ$ un produit scalaire sur $E$ . Alors, $∥. ∥_{φ} : x \mapsto φ (x, x)$ est une norme sur $E$ .

[LI]
p. 62

Proposition 42 (Identité du parallélogramme). En reprenant les notations précédentes, $\forall x, y \in E, ∥ x + y ∥_{φ}^{2} + ∥ x - y ∥_{φ}^{2} = 2 (∥ x ∥_{φ}^{2} ∥ y ∥_{φ}^{2})$ et cette identité caractérise les normes issues d’un produit scalaire.

Racines de polynômes

[C-G]
p. 356

Soit $P \in R [X]$ un polynôme de degré $n$ .

Notation 43. On note :

$x_{1}, \dots, x_{t}$ les racines complexes de $P$ de multiplicités respectives $m_{1}, \dots, m_{t}$ .
$s_{0} = n et \forall k \geq 1, s_{k} = \sum_{i = 1}^{t} m_{i} x_{i}^{k}$ .

Proposition 44. $σ = \sum_{i, j \in [[0, n - 1]]} s_{i + j} X_{i} X_{j}$ définit une forme quadratique sur $C^{n}$ ainsi qu’une forme quadratique $σ_{R}$ sur $R^{n}$ .

formes-de-hankel

Théorème 45 (Formes de Hankel). On note $(p, q)$ la signature de $σ_{R}$ , on a :

$t = p + q$ .
Le nombre de racines réelles distinctes de $P$ est $p - q$ .

En analyse

Soit $U \subseteq R^{n}$ un ouvert.

[ROU]
p. 209

Lemme 46. Soit $A_{0} \in S_{n} (R)$ inversible. Alors il existe un voisinage $V$ de $A_{0}$ dans $S_{n} (R)$ et une application $ψ : V \to GL_{n} (R)$ de classe $C^{1}$ telle que $\forall A \in V, A = (^{t} ψ (A) A_{0} ψ (A)$

p. 354

Lemme 47 (Morse). Soit $f : U \to R$ une fonction de classe $C^{3}$ (où $U$ désigne un ouvert de $R^{n}$ contenant l’origine). On suppose :

$d f_{0} = 0$ .
La matrice symétrique $Hess (f)_{0}$ est inversible.
La signature de $Hess (f)_{0}$ est $(p, n - p)$ .

Alors il existe un difféomorphisme $ϕ = (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n})$ de classe $C^{1}$ entre deux voisinage de l’origine de $R^{n}$ $V \subseteq U$ et $W$ tel que $φ (0) = 0$ et $\forall x \in U, f (x) - f (0) = k = 1 \sum p ϕ_{k}^{2} (x) - k = p + 1 \sum n ϕ_{k}^{2} (x)$

p. 341

Application 48. Soit $S$ la surface d’équation $z = f (x, y)$ où $f$ est de classe $C^{3}$ au voisinage de l’origine. On suppose la forme quadratique $d^{2} f_{0}$ non dégénérée. Alors, en notant $P$ le plan tangent à $S$ en $0$ :

Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(2, 0)$ , alors $S$ est au-dessus de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(0, 2)$ , alors $S$ est en-dessous de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(1, 1)$ , alors $S$ traverse $P$ selon une courbe admettant un point double en $(0, f (0))$ .