171 Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

algebra

Soit $E$ un espace vectoriel sur $R$ de dimension finie $n$ .

Formes quadratiques réelles

Définitions

Définition 1. Soit $φ : E \times E \to K$ une application.

On dit que $φ$ est une forme bilinéaire sur $E$ si pour tout $x \in E$ , $y \mapsto φ (x, y)$ et pour tout $y \in E$ , $x \mapsto φ (x, y)$ sont linéaires.
Si de plus $φ (x, y) = φ (y, x)$ pour tout $x, y \in E$ , on dit que $φ$ est symétrique.

Définition 2. On appelle forme quadratique sur $E$ toute application $q$ de la forme $q : x \mapsto φ (x, x)$ où $φ$ est une forme bilinéaire sur $E$ .

Exemple 3. Sur $R^{3}$ , $(x, y, z) \mapsto 3 x^{2} + y^{2} + 2 x y - 3 x z$ définit une forme quadratique.

Proposition 4. Soit $q$ une forme quadratique sur $E$ . Il existe une unique forme bilinéaire symétrique $φ$ telle que $q (x) = φ (x, x)$ pour tout $x \in E$ . $φ$ est la forme polaire de $q$ , et on a $\forall x, y \in E, φ (x, y) = \frac{1}{2} (q (x + y) - q (x) - q (y)) = \frac{1}{4} (q (x + y) - q (x - y))$

p. 248

Exemple 5. Sur $M_{n} (R)$ , $A \mapsto trace (A)^{2}$ est une forme quadratique, dont la forme polaire est $(A, B) \mapsto trace (A) trace (B)$ .

Représentation matricielle

p. 229

Définition 6. Soient $q$ une forme quadratique sur $E$ et $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . On appelle matrice de $q$ dans $B$ la matrice $Mat (q, B)$ définie par $Mat (q, B) = (φ (e_{i}, e_{j}))_{i, j \in [[1, n]]}$ où $φ$ est la forme polaire de $q$ . Le rang de $q$ désigne le rang de cette matrice.

Exemple 7. La matrice de la forme quadratique de l’Exemple 3 est $31 - \frac{3}{2} 110 - \frac{3}{2} 00$

Proposition 8. Soient $B$ et $B^{'}$ deux bases de $E$ dont on note $P$ la matrice de passage entre ces bases. Soit $q$ une forme quadratique sur $E$ . Alors, $Mat (q, B) = (^{t} P Mat (q, B^{'}) P$

Remarque 9. En particulier, en reprenant les notations précédentes, $Mat (q, B)$ et $Mat (q, B^{'})$ sont équivalentes : le rang de $q$ est bien défini et ne dépend pas de la base considérée.

Orthogonalité et isotropie

Soit $q$ une forme quadratique sur $E$ de forme polaire $φ$ .

Définition 10.

On appelle cône isotrope de $q$ l’ensemble $C_{q} = {x \in E ∣ q (x) = 0}$
$q$ est dite définie si $C_{q} = {0}$ .
Les vecteurs de $C_{q}$ sont dits isotropes pour $q$ .

[GRI]
p. 303

Exemple 11. La forme quadratique définie sur $R^{3}$ par $(x, y, z) \mapsto 4 x^{2} + 3 y^{2} + 5 x y - 3 x z + 8 yz$ n’est pas définie car $(0, 0, 1)$ est un vecteur isotrope non nul.

[GOU21]
p. 242

Définition 12.

Deux vecteurs $x, y \in E$ sont dits $q$ -orthogonaux si $φ (x, y) = 0$ . On note cela $x ⊥ y$ .
Si $A \subseteq E$ , on appelle orthogonal de $A$ l’ensemble $A^{⊥} = {y \in E ∣ \forall x \in A, x ⊥ y}$ .

Proposition 13.

Si $A \subseteq E$ , $A^{⊥} = (Vect (A))^{⊥}$ .
Si $A \subseteq E$ , $A \subseteq A^{⊥⊥}$ .
Si $A \subseteq B \subseteq E$ , $B^{⊥} \subseteq A^{⊥}$ .

Définition 14.

On appelle noyau de $q$ le sous-espace vectoriel $Ker (q) = E^{⊥}$
On dit que $q$ est non-dégénérée si $Ker (q) = {0}$ et dégénérée si $Ker (q) \neq = {0}$ .

Proposition 15. On a $Ker (q) \subseteq C_{q}$ . En particulier, si $q$ est définie, alors $q$ est non dégénérée.

Exemple 16. Sur $R^{2}$ , $(x, y) \mapsto x^{2} - y^{2}$ est une forme quadratique non dégénérée mais non définie non plus.

Proposition 17. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ .

$dim (E) = dim (F) + dim (F^{⊥}) - dim (F \cap Ker (q))$ .
$F^{⊥⊥} = F + Ker (q)$ .
Si la restriction de $q$ à $F$ $q_{∣ F}$ est définie, alors $E = F \oplus F^{⊥}$ .
Si $q$ est définie, $F = F^{⊥⊥}$ .

Proposition 18. Soit $A$ la matrice de $q$ dans une base $B$ . Alors, $Ker (A) = Ker (q)$

[GRI]
p. 296

Corollaire 19. $q$ est non dégénérée si et seulement si $det (Mat (q, B)) \neq = 0$ pour une base quelconque $B$ de $E$ .

Exemple 20. Sur $R^{4}$ , $(x, y) \mapsto x^{2} + y^{2} + z^{2} - t^{2}$ est non dégénérée (car de déterminant $- 1$ ).

Classification

Bases orthogonales

[GOU21]
p. 243

Définition 21. Une base de $E$ est dite $q$ -orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux $q$ -orthogonaux.

Remarque 22. Si $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base $q$ -orthogonale, alors $\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in K^{n}, q (i = 1 \sum n x_{i} e_{i}) = i = 1 \sum n x_{i}^{2} q (e_{i})$

Théorème 23. Il existe une base $q$ -orthogonale de $E$ .

Remarque 24. Si $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base $q$ -orthogonale, en posant $λ_{i} = q (e_{i})$ pour tout $i \in [[1, n]]$ , on a $\forall x \in E, q (x) = q (i = 1 \sum n e_{i}^{*} (x) e_{i}) = i = 1 \sum n λ_{i} (e_{i}^{*} (x))^{2}$ où $(e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*})$ est la base duale de $B$ .

Algorithme de Gauss

Théorème 25 (Méthode de Gauss). On écrit $q (x_{1}, \dots, x_{n}) = i = 1 \sum n a_{i, i} x_{i}^{2} + 1 \leq i < j \leq n \sum a_{i, j} x_{i} x_{j}$ et on cherche à écrire $q$ comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. On a deux cas :

Il existe $i \in [[1, n]]$ tel que $a_{i, i} \neq = 0$ . On peut suppose $i = 1$ , on pose alors $a = a_{1, 1}$ . On réécrit $q$ sous la forme : $q (x_{1}, \dots, x_{n}) = a x_{1}^{2} + x_{1} B (x_{2}, \dots, x_{n}) + C (x_{2}, \dots, x_{n}) = a (x_{1} + \frac{B ( x _{2} , \dots , x _{n} )}{2 a})^{2} + (C (x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{B ( x _{2} , \dots , x _{n} ) ^{2}}{4 a})$ où $B$ est une forme linéaire et $C$ une forme quadratique. On itère alors le procédé avec $C - \frac{B ^{2}}{4 a}$ .
Sinon. Si $q = 0$ , c’est terminé. Sinon, il existe un $a_{i, j}$ non nul. On peut suppose $(i, j) = (1, 2)$ , on pose alors $a = a_{1, 2}$ . On réécrit $q$ sous la forme : $q (x_{1}, \dots, x_{n}) = a x_{1} x_{2} + x_{1} B (x_{3}, \dots, x_{n}) + x_{2} C (x_{3}, \dots, x_{n}) + D (x_{3}, \dots, x_{n})$ où $B$ et $C$ sont des formes linéaires et $D$ une forme quadratique. En utilisant une identité remarquable : $q = a (x_{1} + \frac{C}{a}) (x_{2} + \frac{B}{a}) + (D - \frac{B A}{a}) = \frac{a}{4} ((x_{1} + x_{2} + \frac{B + C}{a})^{2} - (x_{1} - x_{2} + \frac{C - B}{a})^{2}) + (D - \frac{BC}{a})$ On itère alors le procédé avec $D - \frac{BC}{a}$ .

Exemple 26. Sur $R^{3}$ , $q (x, y, z) = x^{2} - 2 y^{2} + x z + yz = (x + \frac{z}{2})^{2} - \frac{z ^{2}}{4} - 2 y^{2} + yz = (x + \frac{z}{2})^{2} - 2 (y - \frac{z}{4})^{2} + \frac{z ^{2}}{8} - \frac{z ^{2}}{4} = (x + \frac{z}{2})^{2} - 2 (y - \frac{z}{4})^{2} - \frac{z ^{2}}{8}$

Signature

Définition 27. $q$ est dite positive (resp. négative) si pour tout $x \in E$ , $q (x) \geq 0$ (resp. $q (x) \leq 0$ ).

loi-d-inertie-de-sylvester

Théorème 28 (Loi d’inertie de Sylvester). $\exists p, q \in N et \exists f_{1}, \dots, f_{p + q} \in E^{*} tels que q = i = 1 \sum p ∣ f_{i} ∣^{2} - i = p + 1 \sum p + q ∣ f_{i} ∣^{2}$ où les formes linéaires $f_{i}$ sont linéairement indépendantes et où $p + q \leq n$ . De plus, ces entiers ne dépendent que de $q$ et pas de la décomposition choisie.

Le couple $(p, q)$ est la signature de $q$ et le rang $q$ est égal à $p + q$ .

Remarque 29. En reprenant les notations précédentes, il existe donc une base $B$ telle que $Mat (q, B) = I_{p} 00 0 - I_{q} 0 000$ où $r$ est le rang de $q$ et $I_{r}$ la matrice identité de taille $r$ .

[GRI]
p. 310

Corollaire 30. On note $sign (q)$ la signature de $q$ .

$q$ est définie positive si et seulement si $sign (q) = (n, 0)$ si et seulement s’il existe des bases $q$ -orthonormées.
$q$ est définie négative si et seulement si $sign (q) = (0, n)$ .
$q$ est non dégénérée si et seulement si $sign (q) = (p, n - p)$ .

[GOU21]
p. 247

Exemple 31. En reprenant l’Exemple 26, on a $sign (q) = (1, 2)$ : $q$ est de rang $3$ .

Proposition 32. Si $q$ est définie, alors ou bien $q$ est positive, ou bien $q$ est négative.

Applications

Coniques

[GRI]
p. 427

On suppose $E = R^{2}$ et muni d’un produit scalaire $⟨ ., . ⟩$ .

Aspect algébrique

Définition 33. On appelle conique un ensemble $C = {v \in E ∣ q (v) + φ (v) = k, k \in R}$ où $q$ est une forme quadratique non nulle et $φ$ une forme linéaire sur $E$ .

On gardera les notations de cette définition pour la suite.

Remarque 34.

En changeant éventuellement le signe des deux membres de l’équation, on peut supposer que a signature de $q$ est $(2, 0)$ , $(1, 1)$ ou $(1, 0)$ .
Si $(e_{1}, e_{2})$ est la base de $E$ , avec $v = x e_{1} + y e_{2}$ , on trouve que l’équation d’une conique est du type $α x^{2} + 2 β x y + γ y^{2} + λ x + μ y = k, k \in R$

Proposition 35. Il existe une base orthogonale $(v_{1}, v_{2})$ pour $q$ et $⟨ ., . ⟩$ . Dans cette base, l’équation de la conique est du type $a x^{2} + b y^{2} - 2 r x - 2 sy = k, k \in R (E)$

Définition 36. En reprenant les notations précédentes, les directions définies par $v_{1}$ et $v_{2}$ sont appelés directions principales de la conique.

Théorème 37 (Classification des coniques).

Si $q$ est non dégénérée : On peut réécrire l’équation $(E)$ de manière équivalente sous la forme $a x^{2} + b y^{2} = h$ avec $a, b, h \in R$ .
- Si $sign (q) = (2, 0)$ : si $h = 0$ , $C$ se réduit à un point ; si $h < 0$ , $C = \emptyset$ . Supposons que $h > 0$ , alors $C$ est une ellipse, de centre $(\frac{r}{a}, \frac{s}{b})$ .
- Si $sign (q) = (1, 1)$ : si $h \neq = 0$ , $C$ est une hyperbole. Si $h = 0$ , $C$ se réduit aux deux droites d’équation $y = \pm \frac{a}{b} x$ .
Si $q$ est dégénérée : On a $ab = 0$ et $sign(q) = (1, 0)$ ; on peut réécrire l’équation $(E)$ de manière équivalente sous la forme $a (x - \frac{r}{a})^{2} - 2 sy = h$ avec $h \in R$ .
- Si $s \neq = 0$ : $C$ est une parabole.
- Si $s = 0$ : si $h = 0$ , $C$ se réduit à la droite $x = 0$ ; si $h < 0$ , $C = \emptyset$ . Supposons que $h > 0$ , alors $C$ est constituée des deux droites parallèles d’équation $x = \pm h$ .

Aspect géométrique

[ROM21]
p. 494

Proposition 38. En se plaçant dans le plan affine $R^{2}$ , plongé dans $R^{3}$ , une conique est l’intersection d’un cône et d’un plan.

En analyse

Soit $U \subseteq R^{n}$ un ouvert.

Optimisation

Soit $f : U \to R$ de classe $C^{2}$ sur $U$ .

[GOU20]
p. 336

Théorème 39. On suppose $d f_{a} = 0$ ( $a$ est un point critique de $f$ ). Alors :

Si $f$ admet un minimum (resp. maximum) relatif en $a$ , $Hess (f)_{a}$ est positive (resp. négative).
Si $Hess (f)_{a}$ définit une forme quadratique définie positive (resp. définie négative), $f$ admet un minimum (resp. maximum) relatif en $a$ .

Exemple 40. On suppose $d f_{a} = 0$ . On pose $(r, s, t) = (\frac{\partial ^{2}}{\partial x _{i} \partial x _{j}} f)_{i + j = 2}$ . Alors :

Si $r t - s^{2} > 0$ et $r > 0$ (resp. $r < 0$ ), $f$ admet une minimum (resp. maximum) relatif en $a$ .
Si $r t - s^{2} < 0$ , $f$ n’a pas d’extremum en $a$ .
Si $r t - s^{2} = 0$ , on ne peut rien conclure.

Exemple 41. La fonction $(x, y) \mapsto x^{4} + y^{2} - 2 (x - y)^{2}$ a trois points critiques qui sont des minimum locaux : $(0, 0)$ , $(2, - 2)$ et $(- 2, 2)$ .

Contre-exemple 42. $x \mapsto x^{3}$ a sa hessienne positive en $0$ , mais n’a pas d’extremum en $0$ .

Homéomorphismes

[ROU]
p. 209

Lemme 43. Soit $A_{0} \in S_{n} (R)$ inversible. Alors il existe un voisinage $V$ de $A_{0}$ dans $S_{n} (R)$ et une application $ψ : V \to GL_{n} (R)$ de classe $C^{1}$ telle que $\forall A \in V, A = (^{t} ψ (A) A_{0} ψ (A)$

p. 354

Lemme 44 (Morse). Soit $f : U \to R$ une fonction de classe $C^{3}$ (où $U$ désigne un ouvert de $R^{n}$ contenant l’origine). On suppose :

$d f_{0} = 0$ .
La matrice symétrique $Hess (f)_{0}$ est inversible.
La signature de $Hess (f)_{0}$ est $(p, n - p)$ .

Alors il existe un difféomorphisme $ϕ = (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n})$ de classe $C^{1}$ entre deux voisinage de l’origine de $R^{n}$ $V \subseteq U$ et $W$ tel que $φ (0) = 0$ et $\forall x \in U, f (x) - f (0) = k = 1 \sum p ϕ_{k}^{2} (x) - k = p + 1 \sum n ϕ_{k}^{2} (x)$

p. 341

Application 45. Soit $S$ la surface d’équation $z = f (x, y)$ où $f$ est de classe $C^{3}$ au voisinage de l’origine. On suppose la forme quadratique $d^{2} f_{0}$ non dégénérée. Alors, en notant $P$ le plan tangent à $S$ en $0$ :

Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(2, 0)$ , alors $S$ est au-dessus de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(0, 2)$ , alors $S$ est en-dessous de $P$ au voisinage de $0$ .
Si $d^{2} f_{0}$ est de signature $(1, 1)$ , alors $S$ traverse $P$ selon une courbe admettant un point double en $(0, f (0))$ .

Racines de polynômes

[C-G]
p. 356

Soit $P \in R [X]$ un polynôme de degré $n$ .

Notation 46. On note :

$x_{1}, \dots, x_{t}$ les racines complexes de $P$ de multiplicités respectives $m_{1}, \dots, m_{t}$ .
$s_{0} = n et \forall k \geq 1, s_{k} = \sum_{i = 1}^{t} m_{i} x_{i}^{k}$ .

Proposition 47. $σ = \sum_{i, j \in [[0, n - 1]]} s_{i + j} X_{i} X_{j}$ définit une forme quadratique sur $C^{n}$ ainsi qu’une forme quadratique $σ_{R}$ sur $R^{n}$ .

formes-de-hankel

Théorème 48 (Formes de Hankel). On note $(p, q)$ la signature de $σ_{R}$ , on a :

$t = p + q$ .
Le nombre de racines réelles distinctes de $P$ est $p - q$ .

Annexes

tikzpicture-1 — Une ellipse ( $sign (q) = (2, 0)$ ).

tikzpicture-2 — Une hyperbole ( $sign (q) = (1, 1)$ ).

tikzpicture-3 — Une hyperbole dégénérée en deux droites sécantes ( $sign (q) = (1, 1)$ ).

tikzpicture-4 — Une parabole ( $sign (q) = (1, 0)$ ).

tikzpicture-5 — Une parabole dégénérée en deux droites parallèles ( $sign (q) = (1, 0)$ ).