171 Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

algebra

Soit un espace vectoriel sur de dimension finie .

Formes quadratiques réelles

Définitions

Définition 1. Soit une application.

  • On dit que est une forme bilinéaire sur si pour tout , et pour tout , sont linéaires.

  • Si de plus pour tout , on dit que est symétrique.

Définition 2. On appelle forme quadratique sur toute application de la forme est une forme bilinéaire sur .

Exemple 3. Sur , définit une forme quadratique.

Proposition 4. Soit une forme quadratique sur . Il existe une unique forme bilinéaire symétrique telle que pour tout . est la forme polaire de , et on a

Exemple 5. Sur , est une forme quadratique, dont la forme polaire est .

Représentation matricielle

Définition 6. Soient une forme quadratique sur et une base de . On appelle matrice de dans la matrice définie par est la forme polaire de . Le rang de désigne le rang de cette matrice.

Exemple 7. La matrice de la forme quadratique de l’Exemple 3 est

Proposition 8. Soient et deux bases de dont on note la matrice de passage entre ces bases. Soit une forme quadratique sur . Alors,

Remarque 9. En particulier, en reprenant les notations précédentes, et sont équivalentes : le rang de est bien défini et ne dépend pas de la base considérée.

Orthogonalité et isotropie

Soit une forme quadratique sur de forme polaire .

Définition 10.

  • On appelle cône isotrope de l’ensemble

  • est dite définie si .

  • Les vecteurs de sont dits isotropes pour .

Exemple 11. La forme quadratique définie sur par n’est pas définie car est un vecteur isotrope non nul.

Définition 12.

  • Deux vecteurs sont dits -orthogonaux si . On note cela .

  • Si , on appelle orthogonal de l’ensemble .

Proposition 13.

  1. Si , .

  2. Si , .

  3. Si , .

Définition 14.

  • On appelle noyau de le sous-espace vectoriel

  • On dit que est non-dégénérée si et dégénérée si .

Proposition 15. On a . En particulier, si est définie, alors est non dégénérée.

Exemple 16. Sur , est une forme quadratique non dégénérée mais non définie non plus.

Proposition 17. Soit un sous-espace vectoriel de .

  1. .

  2. .

  3. Si la restriction de à est définie, alors .

  4. Si est définie, .

Proposition 18. Soit la matrice de dans une base . Alors,

Corollaire 19. est non dégénérée si et seulement si pour une base quelconque de .

Exemple 20. Sur , est non dégénérée (car de déterminant ).

Classification

Bases orthogonales

Définition 21. Une base de est dite -orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux -orthogonaux.

Remarque 22. Si est une base -orthogonale, alors

Théorème 23. Il existe une base -orthogonale de .

Remarque 24. Si est une base -orthogonale, en posant pour tout , on a est la base duale de .

Algorithme de Gauss

Théorème 25 (Méthode de Gauss). On écrit et on cherche à écrire comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. On a deux cas :

  1. Il existe tel que . On peut suppose , on pose alors . On réécrit sous la forme : est une forme linéaire et une forme quadratique. On itère alors le procédé avec .

  2. Sinon. Si , c’est terminé. Sinon, il existe un non nul. On peut suppose , on pose alors . On réécrit sous la forme : et sont des formes linéaires et une forme quadratique. En utilisant une identité remarquable : On itère alors le procédé avec .

Exemple 26. Sur ,

Signature

Définition 27. est dite positive (resp. négative) si pour tout , (resp. ).

Théorème 28 (Loi d’inertie de Sylvester). où les formes linéaires sont linéairement indépendantes et où . De plus, ces entiers ne dépendent que de et pas de la décomposition choisie.

Le couple est la signature de et le rang est égal à .

Remarque 29. En reprenant les notations précédentes, il existe donc une base telle que est le rang de et la matrice identité de taille .

Corollaire 30. On note la signature de .

  1. est définie positive si et seulement si si et seulement s’il existe des bases -orthonormées.

  2. est définie négative si et seulement si .

  3. est non dégénérée si et seulement si .

Exemple 31. En reprenant l’Exemple 26, on a : est de rang .

Proposition 32. Si est définie, alors ou bien est positive, ou bien est négative.

Applications

Coniques

On suppose et muni d’un produit scalaire .

Aspect algébrique

Définition 33. On appelle conique un ensemble est une forme quadratique non nulle et une forme linéaire sur .

On gardera les notations de cette définition pour la suite.

Remarque 34.

  • En changeant éventuellement le signe des deux membres de l’équation, on peut supposer que a signature de est , ou .

  • Si est la base de , avec , on trouve que l’équation d’une conique est du type

Proposition 35. Il existe une base orthogonale pour et . Dans cette base, l’équation de la conique est du type

Définition 36. En reprenant les notations précédentes, les directions définies par et sont appelés directions principales de la conique.

Théorème 37 (Classification des coniques).

  1. Si est non dégénérée : On peut réécrire l’équation de manière équivalente sous la forme avec .

    • Si : si , se réduit à un point ; si , . Supposons que , alors est une ellipse, de centre .

    • Si : si , est une hyperbole. Si , se réduit aux deux droites d’équation .

  2. Si est dégénérée : On a et ; on peut réécrire l’équation de manière équivalente sous la forme avec .

    • Si : est une parabole.

    • Si : si , se réduit à la droite ; si , . Supposons que , alors est constituée des deux droites parallèles d’équation .

Aspect géométrique

Proposition 38. En se plaçant dans le plan affine , plongé dans , une conique est l’intersection d’un cône et d’un plan.

En analyse

Soit un ouvert.

Optimisation

Soit de classe sur .

Théorème 39. On suppose ( est un point critique de ). Alors :

  1. Si admet un minimum (resp. maximum) relatif en , est positive (resp. négative).

  2. Si définit une forme quadratique définie positive (resp. définie négative), admet un minimum (resp. maximum) relatif en .

Exemple 40. On suppose . On pose . Alors :

  1. Si (resp. ), admet une minimum (resp. maximum) relatif en .

  2. Si (resp. ), n’a pas d’extremum en .

  3. Si , on ne peut rien conclure.

Exemple 41. La fonction a trois points critiques qui sont des minimum locaux : , et .

Contre-exemple 42. a sa hessienne positive en , mais n’a pas d’extremum en .

Homéomorphismes

Lemme 43. Soit inversible. Alors il existe un voisinage de dans et une application de classe telle que

Lemme 44 (Morse). Soit une fonction de classe (où désigne un ouvert de contenant l’origine). On suppose :

  • .

  • La matrice symétrique est inversible.

  • La signature de est .

Alors il existe un difféomorphisme de classe entre deux voisinage de l’origine de et tel que et

Application 45. Soit la surface d’équation est de classe au voisinage de l’origine. On suppose la forme quadratique non dégénérée. Alors, en notant le plan tangent à en :

  1. Si est de signature , alors est au-dessus de au voisinage de .

  2. Si est de signature , alors est en-dessous de au voisinage de .

  3. Si est de signature , alors traverse selon une courbe admettant un point double en .

Racines de polynômes

Soit un polynôme de degré .

Notation 46. On note :

  • les racines complexes de de multiplicités respectives .

  • .

Proposition 47. définit une forme quadratique sur ainsi qu’une forme quadratique sur .

Théorème 48 (Formes de Hankel). On note la signature de , on a :

  • .

  • Le nombre de racines réelles distinctes de est .

Annexes

tikzpicture-1
Une ellipse ().
tikzpicture-2
Une hyperbole ().
tikzpicture-3
Une hyperbole dégénérée en deux droites sécantes ().
tikzpicture-4
Une parabole ().
tikzpicture-5
Une parabole dégénérée en deux droites parallèles ().