191 Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

algebra

Utilisation des nombres complexes

On se place dans un plan affine euclidien $P$ muni d’un repère orthonormé $R = (O, i, j)$ .

Module, argument

[ROM21]
p. 97

Théorème 1

L’application $R (x, y) \to \mapsto C x + i y$ est une bijection.

En utilisant cette identification entre $P$ et $C$ , on peut identifier tout point du plan à un nombre complexe.

Théorème 2

Soient $A$ et $B$ deux points dont on note $a$ et $b$ les complexes associés.

$∣ a ∣ = O A$ .
$∣ b - a ∣ = A B$ .
Soit $r \in R_{*}^{+}$ . L’ensemble des nombres complexes $z$ tels que $∣ z - a ∣ = r$ (resp. $∣ z - a ∣ < r$ / $∣ z - a ∣ \leq r$ ) est le cercle (resp. le disque ouvert / fermé) de centre $A$ et de rayon $r$ .
Un point $M$ d’affixe $z$ est sur la médiatrice de $[A B]$ si et seulement si $∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ .

Proposition 3

Inégalité triangulaireSoient $z_{1}, \dots, z_{n} \in C^{*}$ avec $n \geq 2$ , on a $k = 1 \sum n z_{k} \leq k = 1 \sum n ∣ z_{k} ∣$ l’égalité étant réalisée si et seulement si $z_{1}, \dots, z_{n}$ sont linéairement liés.

Remarque 4

En reprenant les notations précédentes, et en désignant par $M_{1}, \dots, M_{n}$ les points associés aux complexes $z_{1}, \dots, z_{n}$ , l’égalité $k = 1 \sum n O M_{k} = k = 1 \sum n O M_{k}$ est équivalente à dire que les points $O, M_{1}, \dots, M_{n}$ sont alignés.

Théorème 5

Si $z$ est un nombre complexe de module $1$ , il existe un unique réel $θ \in [- π, π [$ tel que $z = cos (θ) + i sin (θ)$

Définition 6

On dit qu’un réel $θ$ est un argument du nombre complexe $z$ non nul si $\frac{z}{∣ z ∣} = cos (θ) + i sin (θ)$

Théorème 7

Soient $v_{1}$ et $v_{2}$ deux vecteurs non nuls du plan. On note $z_{1}$ et $z_{2}$ les complexes associés.

Si $θ_{1}$ est un argument de $z_{1}$ , alors c’est également une mesure de l’angle orienté $(i, v_{1})$ .
Un argument de $\frac{z _{2}}{z _{1}}$ est une mesure de l’angle orienté $θ = (v_{1}, v_{2})$ et on a : $cos (θ) = \frac{⟨ v _{1} , v _{2} ⟩}{∥ v _{1} ∥∥ v _{2} ∥} et sin (θ) = \frac{det ( v _{1} , v _{2} )}{∥ v _{1} ∥∥ v _{2} ∥}$ où $⟨ ., . ⟩$ désigne le produit scalaire canonique.

Le triangle dans le plan complexe

p. 105

Définition 8

Un vrai triangle dans le plan $P$ est la donnée de trois points non alignés $A$ , $B$ et $C$ . Un tel triangle est noté $T = A B C$ .

Soit $T = A B C$ un vrai triangle. On note $a$ , $b$ et $c$ les complexes associés respectivement à $A$ , $B$ et $C$ .

Théorème 9

L’aire de $A B C$ est $\frac{1}{2} det (A B, A C)$

Proposition 10

Le trois médianes de $T$ concourent au point dont le complexe associé est $\frac{a + b + c}{3}$

Définition 11

Le point précédent est appelé centre de gravité de $T$ . C’est aussi l’isobarycentre des points $A$ , $B$ et $C$ .

Proposition 12

Le trois hauteurs de $T$ concourent au point dont le complexe associé est $a_{Ω} + b_{Ω} + c_{Ω}$ où $a_{Ω}$ , $b_{Ω}$ , $c_{Ω}$ sont les complexes associés aux points $A$ , $B$ et $C$ considérés dans le repère $(Ω, i, j)$ avec $Ω$ centre du cercle circonscrit au triangle $T$ .

Définition 13

Le point précédent est appelé orthocentre de $T$ .

Proposition 14

Dans un vrai triangle, orthocentre, centre du cercle circonscrit et centre de gravité sont alignés.

Droites et cercles dans le plan complexe

Théorème 15

Toute équation de la forme $α z \overline{z} + \overline{β} z + β \overline{z} + γ = 0, α, γ \in R, β \in C$ représente dans $P$ :

$P$ tout entier si $α = β = γ = 0$ .
$\emptyset$ si :
- $α = β = 0$ et $γ \neq = 0$ ;
- ou $α \neq = 0$ et $∣ β ∣^{2} - α γ < 0$ .
Une droite dirigée par le vecteur $v$ représentant le complexe $i β$ si $α = 0$ et $β \neq = 0$ .
Le cercle dont le centre est associé au complexe $- \frac{β}{α}$ et de rayon $\frac{∣ β ∣ ^{2} - α γ}{∣ α ∣}$ si $α \neq = 0$ et $∣ β ∣^{2} - α γ \geq 0$ .

Corollaire 16

Théorème d’AppoloniusSoient $a$ et $b$ deux nombres complexes distincts et $λ \in R^{+}$ . L’ensemble $E_{λ} = {z \in C ∣ ∣ z - b ∣ = λ ∣ z - a ∣}$ est identifié dans $P$ ;

À la médiatrice du segment $[A B]$ pour $λ = 1$ .
Au cercle de centre le complexe associé à $\frac{b - λ ^{2} a}{1 - λ ^{2}}$ et de rayon $\frac{λ ∣ a - b ∣}{∣1 - λ ^{2} ∣}$ pour $λ \neq = 1$ .

Théorème 17

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ des points deux à deux distincts associés respectivement aux complexes $a$ , $b$ , $c$ et $d$ . Ces points sont alignés si et seulement si $\frac{c - b}{c - a} \frac{d - a}{d - b} \in R^{+}$

Corollaire 18

Théorème de PtoléméeSoient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ des points deux à deux distincts. Le quadrilatère convexe $A B C D$ est inscriptible dans un cercle si et seulement si $A C \times B D = A B \times C D + A D \times B C$

Utilisation de la théorie des groupes

Actions de groupe

Cadre général

[ULM21]
p. 71

Soit $X$ un ensemble fini. On considère une action $\cdot$ de $G$ sur $X$ .

Proposition 19

Soit $x \in X$ . Alors :

$∣ G \cdot x ∣ = (G : Stab_{G} (x))$ .
$∣ G ∣ = ∣ Stab_{G} (x) ∣∣ G \cdot x ∣$ .
$∣ G \cdot x ∣ = \frac{∣ G ∣}{∣ Stab _{G} ( x ) ∣}$

Théorème 20

Formule des classesSoit $Ω$ un système de représentants des orbites de l’action de $G$ sur $X$ . Alors, $∣ X ∣ = ω \in Ω \sum ∣ G \cdot ω ∣ = ω \in Ω \sum (G : Stab_{G} (ω)) = ω \in Ω \sum \frac{∣ G ∣}{∣ Stab _{G} ( ω ) ∣}$

Définition 21

On définit :

$X^{G} = {x \in X ∣ \forall g \in G, g \cdot x = x}$ l’ensemble des points de $X$ laissés fixes par tous les éléments de $G$ .
$X^{g} = {x \in X ∣ g \cdot x = x}$ l’ensemble des points de $X$ laissés fixes par $g \in G$ .

Théorème 22

Formule de BurnsideLe nombre $r$ d’orbites de $X$ sous l’action de $G$ est donné par $r = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ X^{g} ∣$

[I-P]
p. 121

Application 23

Deux colorations des faces d’un cube sont les mêmes si on peut passer de l’une à l’autre par une isométrie du dodécaèdre. Alors, le nombre de colorations distinctes d’un cube avec $c$ couleurs est $\frac{c ^{2}}{24} (c^{4} + 3 c^{2} + 12 c + 8)$

Espaces affines

[ROM21]
p. 73

On peut réécrire la définition d’un espace affine en termes d’actions de groupes.

Définition 24

Soit $E$ un espace vectoriel sur $R$ . Un espace affine $E$ est un ensemble non vide qui agit (à droite) sur $E$ de manière simplement transitive. On note $\cdot$ l’action correspondante. Les éléments de $E$ sont appelés points et les éléments de $E$ sont appelés vecteurs.

Remarque 25

Ainsi, pour tout couple $(x, y) \in E$ , il existe un unique $u \in E$ tel que $y = x \cdot u$ . On note alors $u = x y$ .

Le reste de la théorie découle de cette remarque.

Groupe diédral

[ULM21]
p. 8

Définition 26

Pour un entier $n \geq 1$ , le groupe diédral $D_{n}$ est le sous-groupe, de $GL_{2} (R)$ engendré par la symétrie axiale $s$ et la rotation d’angle $θ = \frac{2 π}{n}$ définies respectivement par les matrices $S = (10 0 - 1) et R = (cos (θ) sin (θ) - sin (θ) cos (θ))$

Exemple 27

$D_{1} = {id, s}$ .

Proposition 28

$D_{n}$ est un groupe d’ordre $2 n$ .
$r^{n} = s^{2} = id$ et $sr = r^{- 1} s$ .

p. 28

Proposition 29

Un groupe non cyclique d’ordre $4$ est isomorphe à $D_{2}$ .

p. 65

Exemple 30

$S_{2}$ est isomorphe à $D_{2}$ .

p. 28

Proposition 31

Un groupe fini d’ordre $2 p$ avec $p$ premier est soit cyclique, soit isomorphe à $D_{p}$ .

Exemple 32

$S_{3}$ est isomorphe à $D_{3}$ .

p. 47

Proposition 33

Les sous-groupes de $D_{n}$ sont soit cyclique, soit isomorphes à un $D_{m}$ où $m ∣ n$ .

[ROM21]
p. 84

Théorème 34

On désigne par $Γ_{n}$ l’ensemble des sommets d’un polygone à $n$ côtés et par $Is (Γ_{n})$ l’ensemble des isométries qui conservent $Γ_{n}$ . Alors, $Is (Γ_{n}) = D_{n}$

Exemple 35

Les isométries conservant un triangle équilatéral sont les éléments de $D_{3}$ .

Utilisation de la théorie des corps

[GOZ]
p. 47

On note $P$ un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé direct $R = (O, i, j)$ . On s’autorise à identifier chaque point $M \in P$ avec ses coordonnées $(x, y) \in R^{2}$ dans $R$ .

Définition 36

On dit qu’un point $M \in P$ est constructible (sous-entendu à la règle et au compas) si on peut le construire en utilisant uniquement la règle et le compas, en supposant $O$ et $I = (1, 0)$ déjà construits.

Proposition 37

Soient $A$ , $B$ deux points constructibles distincts.

Si $A$ est constructible, son symétrique par rapport à $O$ l’est aussi.
$J = (0, 1)$ est constructible.
Si $C$ est un point constructible, on peut construire à la règle et au compas la perpendiculaire à $(A B)$ passant par $C$ .
Si $C$ est un point constructible, on peut construire à la règle et au compas la parallèle à $(A B)$ passant par $C$ .

Proposition 38

Soit $x \in R$ . $(x, 0) est constructible ⟺ (0, x) est constructible$

Définition 39

Un nombre vérifiant la proposition précédente est dit nombre constructible.

Proposition 40

Tout élément de $Q$ est constructible.
$(x, y)$ est constructible si et seulement si $x$ et $y$ le sont.

Théorème 41

L’ensemble $E$ des nombres constructibles est un sous-corps de $R$ stable par racine carrée.

theoreme-de-wantzel

Théorème 42

Théorème de WantzelSoit $t \in R$ . $t$ est constructible si et seulement s’il existe une suite finie $(L_{0}, \dots, L_{p})$ de sous-corps de $R$ vérifiant :

$L_{0} = Q$ .
$\forall i \in [[1, p]]$ , $L_{i}$ est une extension quadratique de $L_{i - 1}$ .
$t \in L_{p}$ .

Corollaire 43

Si $x$ est constructible, le degré de l’extension $Q [x]$ sur $Q$ est de la forme $2^{s}$ pour $s \in N$ .
Tout nombre constructible est algébrique.

Contre-exemple 44

$32$ est algébrique, non constructible.
$π$ est transcendant et n’est donc pas constructible.

Application 45

Quadrature du cercleIl est impossible de construire, à la règle et au compas, un carré ayant même aire qu’un disque donné.

Application 46

Duplication du cubeIl est impossible de construire, à la règle et au compas, l’arête d’un cube ayant un volume double de celui d’un cube donné.

Utilisation de l’algèbre linéaire

Déterminant et volume

[GRI]
p. 130

Théorème 47

L’aire $A (v, w)$ du parallélogramme engendré par deux vecteurs $v, w \in R^{n}$ est égale à $A (v, w) = ∥ v ∥^{2} ∥ w ∥^{2} - ⟨ v, w ⟩^{2}$ En particulier, si $n = 2$ , $A (v, w) = ∣ det (v, w) ∣$ .

Corollaire 48

Soient $v_{1}, \dots, v_{n} \in R^{n}$ . On note $V (v_{1}, \dots, v_{n})$ le volume du parallélépipède engendré par $v_{1}, \dots, v_{n}$ (ie. l’ensemble ${z \in R^{n} ∣ z = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i}, λ_{i} \in [0, 1]}$ ). On a alors : $V (v_{1}, \dots, v_{n}) = ∣ det (v_{1}, \dots, v_{n}) ∣$

Étude d’une suite de polygones

[GOU21]
p. 153

Proposition 49

Déterminant circulantSoient $n \in N^{*}$ et $a_{0}, \dots, a_{n - 1} \in C$ . On pose $ω = e^{\frac{2 iπ}{n}}$ . Alors $a_{0} a_{n - 1} ⋮ a_{1} a_{1} a_{0} ⋮ a_{2} \dots \dots ⋱ \dots a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{0} = j = 0 \prod n - 1 P (ω^{j})$ où $P = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} X^{k}$ .

[I-P]
p. 389

suite-de-polygones

Application 50

Suite de polygonesSoit $P_{0}$ un polygone dont les sommets sont ${z_{0, 1}, \dots, z_{0, n}}$ . On définit la suite de polygones $(P_{k})$ par récurrence en disant que, pour tout $k \in N$ , les sommets de $P_{k + 1}$ sont les milieux des arêtes de $P_{k}$ .

Alors la suite $(P_{k})$ converge vers l’isobarycentre de $P_{0}$ .

Groupe spécial orthogonal en dimension $2$ et $3$

[GRI]
p. 241

Définition 51

On définit $SO (E) = {u \in O (E) ∣ det (u) = 1}$ et $SO_{n} (R) = {A \in O_{n} (R) ∣ det (A) = 1}$

[ROM21]
p. 724

Proposition 52

$SO (E)$ est un sous-groupe distingué de $O (E)$ d’indice $2$ (de même que $SO_{n} (R)$ dans $O_{n} (R)$ ).

[GRI]
p. 241

Exemple 53

$\frac{1}{3} 22 - 1 - 1 22 2 - 1 2 \in SO_{3} (R)$

Théorème 54

Soit $A \in O_{2} (R)$ . Alors :

Si $A \in SO_{2} (R)$ : $\exists θ \in R tel que A = (cos (θ) sin (θ) - sin (θ) cos (θ))$ (rotation d’angle $θ$ ).
Si $A \in / SO_{2} (R)$ : $\exists θ \in R tel que A = (cos (θ) sin (θ) sin (θ) - cos (θ))$ (symétrie orthogonale par rapport à la droite d’angle polaire $\frac{θ}{2}$ ).

Théorème 55

Soit $A \in O_{3} (R)$ et $u$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base canonique est $A$ . Alors, il existe $B$ une base orthonormée de $E$ telle que la matrice de $u$ dans $B$ est $cos (θ) sin (θ) 0 - sin (θ) cos (θ) 0 00 ϵ$ avec $ϵ = \pm 1$ . On note $E_{ϵ}$ le sous-espace vectoriel associé à la valeur propre $ϵ$ .

Si $ϵ = 1$ : $f \in SO (E)$ est la rotation d’angle $2 cos (θ) + 1$ autour de l’axe $E_{1}$ .
Si $ϵ = - 1$ : $f \in / SO (E)$ est la composée de la rotation d’angle $2 cos (θ) - 1$ autour de l’axe $E_{- 1}$ avec la symétrie orthogonale par rapport à $E_{- 1}^{⊥}$ .