191 Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

algebra

Utilisation des nombres complexes

On se place dans un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé .

Module, argument

Théorème 1. L’application est une bijection.

En utilisant cette identification entre et , on peut identifier tout point du plan à un nombre complexe.

Théorème 2. Soient et deux points dont on note et les complexes associés.

  1. .

  2. .

  3. Soit . L’ensemble des nombres complexes tels que (resp. / ) est le cercle (resp. le disque ouvert / fermé) de centre et de rayon .

  4. Un point d’affixe est sur la médiatrice de si et seulement si .

Proposition 3 (Inégalité triangulaire). Soient avec , on a l’égalité étant réalisée si et seulement si sont linéairement liés.

Remarque 4. En reprenant les notations précédentes, et en désignant par les points associés aux complexes , l’égalité est équivalente à dire que les points sont alignés.

Théorème 5. Si est un nombre complexe de module , il existe un unique réel tel que

Définition 6. On dit qu’un réel est un argument du nombre complexe non nul si

Théorème 7. Soient et deux vecteurs non nuls du plan. On note et les complexes associés.

  1. Si est un argument de , alors c’est également une mesure de l’angle orienté .

  2. Un argument de est une mesure de l’angle orienté et on a : désigne le produit scalaire canonique.

Le triangle dans le plan complexe

Définition 8. Un vrai triangle dans le plan est la donnée de trois points non alignés , et . Un tel triangle est noté .

Soit un vrai triangle. On note , et les complexes associés respectivement à , et .

Théorème 9. L’aire de est

Proposition 10. Le trois médianes de concourent au point dont le complexe associé est

Définition 11. Le point précédent est appelé centre de gravité de . C’est aussi l’isobarycentre des points , et .

Proposition 12. Le trois hauteurs de concourent au point dont le complexe associé est , , sont les complexes associés aux points , et considérés dans le repère avec centre du cercle circonscrit au triangle .

Définition 13. Le point précédent est appelé orthocentre de .

Proposition 14. Dans un vrai triangle, orthocentre, centre du cercle circonscrit et centre de gravité sont alignés.

Droites et cercles dans le plan complexe

Théorème 15. Toute équation de la forme représente dans :

  1. tout entier si .

  2. si :

    • et ;

    • ou et .

  3. Une droite dirigée par le vecteur représentant le complexe si et .

  4. Le cercle dont le centre est associé au complexe et de rayon si et .

Corollaire 16 (Théorème d’Appolonius). Soient et deux nombres complexes distincts et . L’ensemble est identifié dans ;

  • À la médiatrice du segment pour .

  • Au cercle de centre le complexe associé à et de rayon pour .

Théorème 17. Soient , , et des points deux à deux distincts associés respectivement aux complexes , , et . Ces points sont alignés si et seulement si

Corollaire 18 (Théorème de Ptolémée). Soient , , et des points deux à deux distincts. Le quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle si et seulement si

Utilisation de la théorie des groupes

Actions de groupe

Cadre général

Soit un ensemble fini. On considère une action de sur .

Proposition 19. Soit . Alors :

  • .

  • .

Théorème 20 (Formule des classes). Soit un système de représentants des orbites de l’action de sur . Alors,

Définition 21. On définit :

  • l’ensemble des points de laissés fixes par tous les éléments de .

  • l’ensemble des points de laissés fixes par .

Théorème 22 (Formule de Burnside). Le nombre d’orbites de sous l’action de est donné par

Application 23. Deux colorations des faces d’un cube sont les mêmes si on peut passer de l’une à l’autre par une isométrie du dodécaèdre. Alors, le nombre de colorations distinctes d’un cube avec couleurs est

Espaces affines

On peut réécrire le définition d’un espace affine en termes d’actions de groupes.

Définition 24. Soit un espace vectoriel sur . Un espace affine est un ensemble non vide qui agit (à droite) sur de manière simplement transitive. On note l’action correspondante. Les éléments de sont appelés points et les éléments de sont appelés vecteurs.

Remarque 25. Ainsi, pour tout couple , il existe un unique tel que . On note alors .

Le reste de la théorie découle de cette remarque.

Groupe diédral

Définition 26. Pour un entier , le groupe diédral est le sous-groupe, de engendré par la symétrie axiale et la rotation d’angle définies respectivement par les matrices

Exemple 27. .

Proposition 28.

  1. est un groupe d’ordre .

  2. et .

Proposition 29. Un groupe non cyclique d’ordre est isomorphe à .

Exemple 30. est isomorphe à .

Proposition 31. Un groupe fini d’ordre avec premier est soit cyclique, soit isomorphe à .

Exemple 32. est isomorphe à .

Proposition 33. Les sous-groupes de sont soit cyclique, soit isomorphes à un .

Théorème 34. On désigne par l’ensemble des sommets d’un polygone à côtés et par l’ensemble des isométries qui conservent . Alors,

Exemple 35. Les isométries conservant un triangle équilatéral sont les éléments de .

Utilisation de la théorie des corps

On note un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé direct . On s’autorise à identifier chaque point avec ses coordonnées dans .

Définition 36. On dit qu’un point est constructible (sous-entendu à la règle et au compas) si on peut le construire en utilisant uniquement la règle et le compas, en supposant et déjà construits.

Proposition 37. Soient , deux points constructibles distincts.

  1. Si est constructible, son symétrique par rapport à l’est aussi.

  2. est constructible.

  3. Si est un point constructible, on peut construire à la règle et au compas la perpendiculaire à passant par .

  4. Si est un point constructible, on peut construire à la règle et au compas la parallèle à passant par .

Proposition 38. Soit .

Définition 39. Un nombre vérifiant la proposition précédente est dit nombre constructible.

Proposition 40.

  1. Tout élément de est constructible.

  2. est constructible si et seulement si et le sont.

Théorème 41. L’ensemble des nombres constructibles est un sous-corps de stable par racine carrée.

Théorème 42 (Wantzel). Soit . est constructible si et seulement s’il existe une suite fini de sous-corps de vérifiant :

  1. .

  2. , est une extension quadratique de .

  3. .

Corollaire 43.

  1. Si est constructible, le degré de l’extension sur est de la forme pour .

  2. Tout nombre constructible est algébrique.

Contre-exemple 44.

  • est algébrique, non constructible.

  • est transcendant et n’est donc pas constructible.

Application 45 (Quadrature du cercle). Il est impossible de construire, à la règle et au compas, un carré ayant même aire qu’un disque donné.

Application 46 (Duplication du cube). Il est impossible de construire, à la règle et au compas, l’arête d’un cube ayant un volume double de celui d’un cube donné.

Utilisation de l’algèbre linéaire

Déterminant et volume

Théorème 47. L’aire du parallélogramme engendré par deux vecteurs est égale à

Corollaire 48. Soient . On note le volume du parallélépipède rectangle engendré par (ie. l’ensemble ). On a alors :

Étude d’une suite de polygones

Proposition 49 (Déterminant circulant). Soient et . On pose . Alors .

Application 50 (Suite de polygones). Soit un polygone dont les sommets sont . On définit la suite de polygones par récurrence en disant que, pour tout , les sommets de sont les milieux des arêtes de .

Alors la suite converge vers l’isobarycentre de .

Groupe spécial orthogonal en dimension et

Définition 51. On définit et

Proposition 52. est un sous-groupe distingué de d’indice (de même que dans ).

Exemple 53.

Théorème 54. Soit . Alors :

  • Si : (rotation d’angle ).

  • Si : (symétrie orthogonale par rapport à la droite d’angle polaire ).

Théorème 55. Soit et l’endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est . Alors, il existe une base orthonormée de telle que la matrice de dans est avec . On note le sous-espace vectoriel associé à la valeur propre .

  • Si : est la rotation d’angle autour de l’axe .

  • Si : est la composée de la rotation d’angle autour de l’axe avec la symétrie orthogonale par rapport à .

Théorème 56. Soit un sous-groupe fini de . Alors, est isomorphe à , , , ou (où ).

Application 57 (Solides de Platon). Il y a cinq polyèdres réguliers : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre.

Annexes

tikzpicture-1
La suite de polygones.

tikzpicture-2 tikzpicture-3

Le groupe .

tikzpicture-4 tikzpicture-5

Le groupe .