201 Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

analysis

Espaces de fonctions continues sur un compact

Continuité et compacité

Proposition 1. Soient et deux espaces métriques. On suppose compact. Si est continue, alors est compact.

Contre-exemple 2. .

Proposition 3. Sous les mêmes hypothèses et en supposant bijective, est continue (ie. est un homéomorphisme).

Théorème 4 (Des bornes). Une application continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

Théorème 5 (Heine). Une application continue sur un compact y est uniformément continue.

Corollaire 6. Toute fonction périodique continue sur y est uniformément continue.

Convergences simple et uniforme

Définition 7. Soient et respectivement une suite de fonctions et une fonction définies sur un ensemble à valeurs dans un espace métrique . On dit que :

  • converge simplement vers si

  • converge uniformément vers si

Proposition 8. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Contre-exemple 9. La réciproque est fausse. Il suffit en effet de considérer la suite définie pour tout et pour tout par converge simplement sur mais pas uniformément.

Théorème 10 (Critère de Cauchy uniforme). Soit une suite de fonctions définies sur un ensemble à valeurs dans un espace métrique . Alors converge uniformément si

Corollaire 11. Une limite uniforme sur de fonctions polynômiales est une fonction polynômiale.

Notation 12.

  • Pour toute fonction bornée sur un ensemble et à valeurs dans un espace vectoriel normé , on note

  • On note l’ensemble des applications bornées de dans .

Proposition 13. En reprenant les notations précédentes, une suite de fonctions de converge uniformément vers si .

Proposition 14. Si est de Banach, alors est de Banach.

Théorème 15 (Théorèmes de Dini).

  1. Soit une suite croissante de fonctions réelles continues définies sur un segment de . Si converge simplement vers une fonction continue sur , alors la convergence est uniforme.

  2. Soit une suite de fonctions croissantes réelles continues définies sur un segment de . Si converge simplement vers une fonction continue sur , alors la convergence est uniforme.

Densité

Théorème 16 (Weierstrass). Toute fonction continue (avec tels que ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur .

On a une version plus générale de ce théorème.

Théorème 17 (Stone-Weierstrass). Soit un espace compact et une sous-algèbre de l’algèbre de Banach réelle . On suppose de plus que :

  1. sépare les points de (ie. ).

  2. contient les constantes.

Alors est dense dans .

Remarque 18. Il existe aussi une version complexe de ce théorème, où il faut supposer de plus que est stable par conjugaison.

Exemple 19. La suite de polynômes réels définie par récurrence par converge vers .

Espaces

Soit un espace mesuré. Les résultats qui vont suivre sont, par extension, également valable pour les fonctions à valeurs dans .

Espaces

Définition 20.

  • Pour , on note (où en l’absence d’ambiguïté) l’ensemble des applications mesurables de dans telles que on note alors .

  • On note de même l’ensemble des applications mesurables de dans de sup-essentiel borné. On note alors pour .

Exemple 21. Si est la mesure de comptage sur , alors

Proposition 22. est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de dans .

Théorème 23 (Inégalité de Hölder). Soient tels que , et . Alors et

Remarque 24. C’est encore vrai pour en convenant que .

Application 25. On considère la fonction d’Euler. Alors, et en particulier, est log-convexe sur .

Théorème 26 (Inégalité de Minkowski).

L’application définit donc une semi-norme sur pour . L’idée dans la sous-section suivante sera de construire un espace dans lequel l’axiome de séparation n’est pas pris en défaut.

Construction des espaces

Définition 27. On définit pour tout , .

Proposition 28. Dans un espace de mesure finie,

Contre-exemple 29. La fonction est dans mais dans aucun pour tout .

Théorème 30. Pour tout , est un espace vectoriel normé.

Théorème 31 (Riesz-Fischer). Pour tout , est complet pour la norme .

Convolution et régularisation dans

Définition 32. Soient et deux fonctions de dans . On dit que la convolée (ou le produit de convolution) de et en existe si la fonction est intégrable sur pour la mesure de Lebesgue. On pose alors :

Exemple 33. Soient . Alors existe pour tout et

Proposition 34. Dans , dès qu’il a un sens, le produit de convolution de deux fonctions est commutatif, bilinéaire et associatif.

Théorème 35 (Convolution dans ). Soient . Alors :

  1. pp. en , est intégrable sur .

  2. est intégrable sur .

  3. .

  4. L’espace vectoriel normé muni de est une algèbre de Banach commutative.

Proposition 36. L’algèbre n’a pas d’élément unité.

Application 37.

Définition 38. On appelle approximation de l’identité toute suite de fonctions mesurables de telles que

  1. .

  2. .

  3. .

Exemple 39. , on note : Alors, est une approximation positive de l’identité.

Application 40.

  1. est dense dans pour .

  2. est dense dans pour avec .

Espace

Propriétés hilbertiennes

Définition 41. On considère la forme bilinéaire suivante sur : C’est un produit scalaire hermitien, ce qui confère à une structure d’espace de Hilbert.

On peut donc énoncer quelques propriétés dont hérite .

Théorème 42. Pour tout sous-espace vectoriel fermé de ,

Corollaire 43. Un sous-espace vectoriel de est dense dans si et seulement si .

Théorème 44. Soit une famille orthonormée dénombrable de . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. La famille orthonormée est une base hilbertienne de .

  2. .

  3. .

Polynômes orthogonaux

Soit un intervalle de . On pose , .

Définition 45. On appelle fonction poids une fonction mesurable, positive et telle que .

Soit une fonction poids.

Notation 46. On note l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densité par rapport à la mesure de Lebesgue.

Proposition 47. Muni de est un espace de Hilbert.

Théorème 48. Il existe une unique famille de polynômes unitaires orthogonaux deux-à-deux telle que pour tout entier . C’est la famille de polynômes orthogonaux associée à sur .

Exemple 49 (Polynômes de Hermite). Si , alors

Lemme 50. On suppose que , et on considère la famille des polynômes orthogonaux associée à sur . Alors , . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et est bien définie.

Application 51. On considère la famille des polynômes orthogonaux associée à sur et on suppose qu’il existe tel que alors est une base hilbertienne de pour la norme .

Contre-exemple 52. On considère, sur , la fonction poids . Alors, la famille des n’est pas totale. La famille des polynômes orthogonaux associée à ce poids particulier n’est donc pas totale non plus : ce n’est pas une base hilbertienne.

Dualité

Définition 53. On appelle forme linéaire d’un espace vectoriel sur un corps toute application linéaire de dans et on note appelé dual de l’ensemble des formes linéaires de .

On note le dual topologique de , qui est le sous-espace de constitué des formes linéaires continues.

Théorème 54 (Représentation de Riesz). L’application est une isométrie linéaire bijective de sur son dual topologique .

Exemple 55. Dans le cas ,

Théorème 56. On suppose . L’application est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.

Remarque 57. Plus généralement, si l’on identifie et :

  • est le dual topologique de pour .

  • est le dual topologique de si est -finie.