201 Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

analysis

Espaces de fonctions continues sur un compact

Continuité et compacité

Proposition 1. Soient $(E, d)$ et $(E^{'}, d^{'})$ deux espaces métriques. On suppose $E$ compact. Si $f : E \to E^{'}$ est continue, alors $f (E)$ est compact.

Contre-exemple 2. Cela ne marche pas si $f$ n’est pas continue. Par exemple, $arcsin ([- 1, 1]) = R$ .

Proposition 3. Sous les mêmes hypothèses et en supposant $f$ bijective, $f^{- 1}$ est continue (ie. $f$ est un homéomorphisme).

Théorème 4 (Des bornes). Une application continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

Théorème 5 (Heine). Une application continue sur un compact y est uniformément continue.

Corollaire 6. Toute fonction périodique continue sur $R$ y est uniformément continue.

Convergences simple et uniforme

[GOU20]
p. 231

Définition 7. Soient $(f_{n})$ et $f$ respectivement une suite de fonctions et une fonction définies sur un ensemble $X$ à valeurs dans un espace métrique $(E, d)$ . On dit que :

$(f_{n})$ converge simplement vers $f$ si $\forall x \in X, \forall ϵ > 0, \exists N \in N tel que \forall n \geq N, d (f_{n} (x), f (x)) < ϵ$
$(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ si $\forall ϵ > 0, \exists N \in N tel que \forall n \geq N, \forall x \in X, d (f_{n} (x), f (x)) < ϵ$

Proposition 8. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Contre-exemple 9. La réciproque est fausse. Il suffit en effet de considérer la suite $(f_{n})$ définie pour tout $n \in N$ et pour tout $x \in [0, 1]$ par $f_{n} (x) = x^{n}$ converge simplement sur $[0, 1]$ mais pas uniformément.

Théorème 10 (Critère de Cauchy uniforme). Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions définies sur un ensemble $X$ à valeurs dans un espace métrique $(E, d)$ . Alors $(f_{n})$ converge uniformément si $\forall ϵ > 0, \exists N \in N tel que \forall p > q \geq N, \forall x \in X, d (f_{p} (x), f_{q} (x)) < ϵ$

p. 237

Corollaire 11. Une limite uniforme sur $R$ de fonctions polynômiales est une fonction polynômiale.

p. 232

Notation 12.

Pour toute fonction $g$ bornée sur un ensemble $X$ et à valeurs dans un espace vectoriel normé $(E, ∥.∥)$ , on note $∥ g ∥_{\infty} = x \in X sup ∥ g (x) ∥$
On note $B (X, E)$ l’ensemble des applications bornées de $X$ dans $E$ .

Proposition 13. En reprenant les notations précédentes, une suite de fonctions $(f_{n})$ de $B (X, E)$ converge uniformément vers $f \in B (X, E)$ si $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} ⟶_{n \to + \infty} 0$ .

Proposition 14. Si $E$ est de Banach, alors $(B (X, E), ∥. ∥_{\infty})$ est de Banach.

p. 238

Théorème 15 (Théorèmes de Dini).

Soit $(f_{n})$ une suite croissante de fonctions réelles continues définies sur un segment $I$ de $R$ . Si $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction continue sur $I$ , alors la convergence est uniforme.
Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions croissantes réelles continues définies sur un segment $I$ de $R$ . Si $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction continue sur $I$ , alors la convergence est uniforme.

Densité

p. 304

theoreme-de-weierstrass-par-la-convolution

Théorème 16 (Weierstrass). Toute fonction continue $f : [a, b] \to R$ (avec $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur $[a, b]$ .

On a une version plus générale de ce théorème.

[LI]
p. 46

Théorème 17 (Stone-Weierstrass). Soit $K$ un espace compact et $A$ une sous-algèbre de l’algèbre de Banach réelle $C (K, R)$ . On suppose de plus que :

$A$ sépare les points de $K$ (ie. $\forall x \in K, \exists f \in A telle que f (x) \neq = f (y)$ ).
$A$ contient les constantes.

Alors $A$ est dense dans $C (K, R)$ .

Remarque 18. Il existe aussi une version complexe de ce théorème, où il faut supposer de plus que $A$ est stable par conjugaison.

Exemple 19. La suite de polynômes réels $(r_{n})$ définie par récurrence par $r_{0} = 0 et \forall n \in N, r_{n + 1} : t \mapsto r_{n} (t) + \frac{1}{2} (t - r_{n} (t)^{2})$ converge vers $.$ sur $[0, 1]$ .

Espaces $L_{p}$

[G-K]
p. 209

Soit $(X, A, μ)$ un espace mesuré. Les résultats qui vont suivre sont, par extension, également valable pour les fonctions à valeurs dans $C$ .

Espaces $L_{p}$

Définition 20.

Pour $p \in [1, + \infty [$ , on note $L_{p} (X, A, μ))$ (où $L_{p}$ en l’absence d’ambiguïté) l’ensemble des applications $f$ mesurables de $(X, A, μ)$ dans $(R, B (R))$ telles que $\int_{X} ∣ f (x) ∣^{p} d μ (x) < + \infty$ on note alors $∥ f ∥_{p} = (\int_{X} ∣ f (x) ∣^{p} d μ (x))^{\frac{1}{p}}$ .
On note de même $L_{\infty}$ l’ensemble des applications mesurables de $(X, A, μ)$ dans $(R, B (R))$ de sup-essentiel borné. On note alors $∥ f ∥_{\infty}$ pour $f \in L_{\infty}$ .

[B-P]
p. 163

Exemple 21. Si $μ$ est la mesure de comptage sur $(P (N), N)$ , alors $L_{p} = ℓ_{p} = {(u_{n}) \in R^{n} ∣ n \geq 0 \sum ∣ u_{n} ∣^{p} < + \infty}$

Proposition 22. $L_{p}$ est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de $X$ dans $R$ .

[G-K]
p. 209

Théorème 23 (Inégalité de Hölder). Soient $p, q \in] 1, + \infty [$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ , $f \in L_{p}$ et $g \in L_{q}$ . Alors $f g \in L_{1}$ et $∥ f g ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{q}$

Remarque 24. C’est encore vrai pour $q = + \infty$ en convenant que $\frac{1}{+ \infty} = 0$ .

Application 25. On considère la fonction $Γ$ d’Euler. Alors, $\forall θ \in] 0, 1 [, \forall x, y > 0, Γ (Θ x + (1 - Θ) y) \leq Γ (x)^{θ} Γ (y)^{1 - θ}$ et en particulier, $Γ$ est log-convexe sur $R_{*}^{+}$ .

Théorème 26 (Inégalité de Minkowski). $\forall f, g \in L_{p}, ∥ f + g ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{p} + ∥ g ∥_{p}$

L’application $∥. ∥_{p}$ définit donc une semi-norme sur $L_{p}$ pour $p \in [1, + \infty]$ . L’idée dans la sous-section suivante sera de construire un espace dans lequel l’axiome de séparation n’est pas pris en défaut.

Construction des espaces $L_{p}$

Définition 27. On définit pour tout $p \in [1, + \infty]$ , $L_{p} = L_{p} / V$ où $V = {v \in L_{p} ∣ v = 0 pp.}$ .

Proposition 28. Dans un espace de mesure finie, $1 \leq p < q \leq + \infty ⟹ L_{q} \subseteq L_{p}$

Contre-exemple 29. La fonction $1$ est dans $L_{\infty} (R, B (R), λ)$ mais dans aucun $L_{p} (R, B (R), λ)$ pour tout $p \in [1, + \infty [$ .

Théorème 30. Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , $(L_{p}), ∥. ∥_{p}$ est un espace vectoriel normé.

Théorème 31 (Riesz-Fischer). Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , $L_{p}$ est complet pour la norme $∥. ∥_{p}$ .

Convolution et régularisation dans $L_{1}$

[AMR08]
p. 75

Définition 32. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $R^{d}$ dans $R$ . On dit que la convolée (ou le produit de convolution) de $f$ et $g$ en $x \in R$ existe si la fonction $R t \to \mapsto C f (x - t) g (t)$ est intégrable sur $R^{d}$ pour la mesure de Lebesgue. On pose alors : $(f * g) (x) = \int_{R^{d}} f (x - t) g (t) d t$

Exemple 33. Soient $a < b \in R_{*}^{+}$ . Alors $1_{[- a, a]} * 1_{[- b, b]}$ existe pour tout $x \in R$ et $(1_{[- a, a]} * 1_{[- b, b]}) (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 a b + a - ∣ x ∣ 0 si 0 \leq ∣ x ∣ \leq b - a si b - a \leq ∣ x ∣ \leq b + a sinon$

Proposition 34. Dans $L_{1} (R^{d})$ , dès qu’il a un sens, le produit de convolution de deux fonctions est commutatif, bilinéaire et associatif.

Théorème 35 (Convolution dans $L_{1} (R^{d})$ ). Soient $f, g \in L_{1} (R^{d})$ . Alors :

pp. en $x \in R^{d}$ , $t \mapsto f (x - t) g (t)$ est intégrable sur $R^{d}$ .
$f * g$ est intégrable sur $R^{d}$ .
$∥ f * g ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{1} ∥ g ∥_{1}$ .
L’espace vectoriel normé $(L_{1} (R^{d}), ∥. ∥_{1})$ muni de $*$ est une algèbre de Banach commutative.

p. 114

Proposition 36. L’algèbre $(L_{1} (R^{d}), +, *, \cdot)$ n’a pas d’élément unité.

Application 37. $f * f = f ⟺ f = 0$

[B-P]
p. 306

Définition 38. On appelle approximation de l’identité toute suite $(ρ_{n})$ de fonctions mesurables de $L_{1} (R^{d})$ telles que

$\forall n \in N, \int_{R^{d}} ρ_{n} d λ_{d} = 1$ .
$sup_{n \geq 1} ∥ ρ_{n} ∥ < + \infty$ .
$\forall ϵ > 0, lim_{n \to + \infty} \int_{R ∖ B (0, ϵ)} ρ_{n} (x) d x = 0$ .

[GOU20]
p. 304

Exemple 39. $\forall n \in N$ , on note : $a_{n} = \int_{- 1}^{1} (1 - t^{2})^{n} d t et p_{n} : t \mapsto \frac{( 1 - t ^{2} ) ^{n}}{a _{n}} 1_{[- 1, 1]} (t)$ Alors, $(p_{n})$ est une approximation positive de l’identité.

[AMR08]
p. 96

Application 40.

$C_{K}^{\infty} (R^{d})$ est dense dans $C_{K} (R^{d})$ pour $∥. ∥_{\infty}$ .
$C_{K}^{\infty} (R^{d})$ est dense dans $L_{p} (R^{d})$ pour $∥. ∥_{p}$ avec $p \in [1, + \infty [$ .

Espace $L_{2}$

Propriétés hilbertiennes

[BMP]
p. 92

Définition 41. On considère la forme bilinéaire suivante sur $L_{2}$ : $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \int_{X} f \overline{g} d μ$ C’est un produit scalaire hermitien, ce qui confère à $(L_{2}, ⟨ ., . ⟩)$ une structure d’espace de Hilbert.

On peut donc énoncer quelques propriétés dont hérite $L_{2}$ .

p. 98

Théorème 42. Pour tout sous-espace vectoriel fermé $F$ de $L_{2}$ , $L_{2} = F \oplus F^{⊥}$

Corollaire 43. Un sous-espace vectoriel $F$ de $L_{2}$ est dense dans $L_{2}$ si et seulement si $F^{⊥} = {0}$ .

Théorème 44. Soit $(e_{n})_{n \in I}$ une famille orthonormée dénombrable de $L_{2}$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

La famille orthonormée $(e_{n})_{n \in I}$ est une base hilbertienne de $H$ .
$\forall f \in L_{2}, f = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n}$ .
$\forall f \in L_{2}, ∥ f ∥_{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ .

Polynômes orthogonaux

p. 110

Soit $I$ un intervalle de $R$ . On pose $\forall n \in N$ , $g_{n} : x \mapsto x^{n}$ .

Définition 45. On appelle fonction poids une fonction $ρ : I \to R$ mesurable, positive et telle que $\forall n \in N, ρ g_{n} \in L_{1} (I)$ .

Soit $ρ : I \to R$ une fonction poids.

Notation 46. On note $L_{2} (I, ρ)$ l’espace des fonctions de carré intégrable pour la mesure de densité $ρ$ par rapport à la mesure de Lebesgue.

Proposition 47. Muni de $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \int_{I} f (x) \overline{g (x)} ρ (x) d x$ $L_{2} (I, ρ)$ est un espace de Hilbert.

Théorème 48. Il existe une unique famille $(P_{n})$ de polynômes unitaires orthogonaux deux-à-deux telle que $de g (P_{n}) = n$ pour tout entier $n$ . C’est la famille de polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ .

Exemple 49 (Polynômes de Hermite). Si $\forall x \in I, ρ (x) = e^{- x^{2}}$ , alors $\forall n \in N, \forall x \in I, P_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}} e^{x^{2}} \frac{\partial}{\partial x ^{n}} (e^{- x^{2}})$

p. 140

Lemme 50. On suppose que $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{1} (I, ρ)$ et on considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ . Alors $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{2} (I, ρ)$ . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et $(P_{n})$ est bien définie.

Application 51. On considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ et on suppose qu’il existe $a > 0$ tel que $\int_{I} e^{a ∣ x ∣} ρ (x) d x < + \infty$ alors $(P_{n})$ est une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ pour la norme $∥. ∥_{2}$ .

Contre-exemple 52. On considère, sur $I = R_{*}^{+}$ , la fonction poids $ρ : x \mapsto x^{- l n (x)}$ . Alors, la famille des $g_{n}$ n’est pas totale. La famille des polynômes orthogonaux associée à ce poids particulier n’est donc pas totale non plus : ce n’est pas une base hilbertienne.

Dualité

[GOU21]
p. 132

Définition 53. On appelle forme linéaire d’un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$ toute application linéaire de $E$ dans $K$ et on note $E^{*}$ appelé dual de $E$ l’ensemble des formes linéaires de $E$ .

On note $E^{'}$ le dual topologique de $E$ , qui est le sous-espace de $E^{*}$ constitué des formes linéaires continues.

[BMP]
p. 103

Théorème 54 (de représentation de Riesz). L’application $Φ : H y \to \mapsto H^{'} (x \mapsto ⟨ x, y ⟩)$ est une isométrie linéaire bijective de $H$ sur son dual topologique $H^{'}$ .

Exemple 55. Dans le cas $L_{2} (X, μ)$ , $\forall φ \in L_{2}^{'}, \exists! g \in H, telle que \forall f \in L_{2}, φ (f) = \int_{X} f (g) \overline{g (x)} d μ (x)$

[Z-Q]
p. 222

dual-de-lp

Théorème 56 (Dual de $L_{p}$ ). On se place dans un espace mesuré de mesure finie. On note $\forall p \in] 1, 2 [$ . L’application $φ : L_{q} g \to (L_{p})^{'} \mapsto (φ_{g} : f \mapsto \int_{X} f g d μ) o \overset{u}{ˋ} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.