203 Utilisation de la notion de compacité.

Utilisation de la notion de compacité.

analysis

Diverses caractérisations de la compacité

Caractérisation topologique

Définition 1. Un espace métrique est compact s’il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue :

De toute recouvrement de par des ouverts de , on peut en extraire un sous-recouvrement fini.

Exemple 2. Tout espace métrique fini est compact.

Proposition 3. Un espace métrique est compact si de toute famille de fermés de d’intersection vide, on peut extraire une sous-famille d’intersection vide.

Proposition 4.

  1. Une réunion finie de parties compactes est compacte.

  2. Une intersection quelconque de parties compactes est compacte.

Caractérisation séquentielle

Soit un espace métrique.

Théorème 5 (Bolzano-Weierstrass). est compact si toute suite de admet une sous-suite convergente dans .

Exemple 6. Tout segment de est compact, mais n’est pas compact.

Proposition 7.

  1. Un espace métrique compact est complet.

  2. Un espace métrique compact est borné.

Proposition 8. Soit .

  1. Si est compacte, alors est une partie fermée bornée de .

  2. Si est compact et est fermée, alors est compacte.

Proposition 9. Un produit d’espaces métriques compacts est compact pour la distance produit.

Application 10. Soit un espace métrique compact. Soit une suite de telle que . Alors l’ensemble des valeurs d’adhérence de est connexe.

Corollaire 11 (Lemme de la grenouille). Soient continue et une suite de telle que Alors converge si et seulement si .

Caractérisation dans un espace vectoriel normé de dimension finie

Théorème 12. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Corollaire 13. Les parties compactes d’un espace vectoriel normé de dimension finie sont les parties fermées bornées.

Corollaire 14.

  1. Tout espace vectoriel de dimension finie est complet.

  2. Tout espace vectoriel de dimension finie dans un espace vectoriel normé est fermé dans cet espace.

  3. Si est un espace vectoriel normé, alors toute application linéaire (où désigne un espace vectoriel normé arbitraire) est continue.

Application 15. L’exponentielle d’une matrice est un polynôme en la matrice.

Théorème 16 (Riesz). La boule unité fermée d’un espace vectoriel normé est compacte si et seulement s’il est dimension finie.

Utilisation en analyse

Continuité et compacité

Proposition 17. Soient , deux espaces métriques et une application continue. Si est compact, alors est compact.

Corollaire 18. Toute application définie et continue sur un espace métrique compact à valeurs dans un espace métrique est bornée.

Proposition 19. Sous les hypothèses et notations de la Proposition 17, en supposant de plus injective, alors réalise un homéomorphisme entre et .

Théorème 20 (des bornes). Toute fonction réelle continue sur un espace métrique compact est bornée et atteint ses bornes.

Corollaire 21 (Théorème des valeurs intermédiaires). L’image d’un segment de par une fonction réelle continue est un segment de .

Application 22 (Théorème de Rolle). Soit une fonction réelle continue sur un intervalle , dérivable sur et telle que . Alors,

Application 23 (Point fixe dans un compact). Soit un espace métrique compact et telle que alors admet un unique point fixe et pour tout , la suite des itérés converge vers ce point fixe.

Exemple 24. admet un unique point fixe sur .

Application 25 (Théorème de d’Alembert-Gauss). Tout polynôme non constant de admet une racine dans .

Théorème 26 (Heine). Une application continue à valeurs dans un espace métrique définie sur un espace métrique compact est uniformément continue.

Théorème 27 (Théorèmes de Dini).

  1. Soit une suite croissante de fonctions réelles continues définies sur un segment de . Si converge simplement vers une fonction continue sur , alors la convergence est uniforme.

  2. Soit une suite de fonctions croissantes réelles continues définies sur un segment de . Si converge simplement vers une fonction continue sur , alors la convergence est uniforme.

Approximation de fonctions

Théorème 28 (Weierstrass). Toute fonction continue (avec tels que ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur .

On a une version plus générale de ce théorème.

Théorème 29 (Stone-Weierstrass). Soit un espace compact et une sous-algèbre de l’algèbre de Banach réelle . On suppose de plus que :

  1. sépare les points de (ie. ).

  2. contient les constantes.

Alors est dense dans .

Remarque 30. Il existe aussi une version complexe de ce théorème, où il faut supposer de plus que est stable par conjugaison.

Exemple 31. La suite de polynômes réels définie par récurrence par converge vers .

Étude d’équations différentielles

Théorème 32 (Arzelà-Peano). Soit une fonction continue sur un ouvert de à valeurs dans . On considère l’équation différentielle Pour tout couple de , le problème de Cauchy admet une solution définie sur un intervalle ouvert contenant .

Exemple 33. L’équation différentielle admet des solutions.

Théorème 34 (Lemme de sortie de tout compact). Soient un intervalle ouvert de , un ouvert de et une fonction continue et localement lipschitzienne en la seconde variable. Soit une solution maximale de .

Alors, si (resp. si ), pour tout compact , il existe un voisinage de (resp. de ) dans tel que pour tout .

Recherche d’extrema

Proposition 35. Le maximum de est atteint sur le cercle unité de .

Corollaire 36 (Inégalité de Hadamard). désigne la norme associée au produit scalaire usuel sur . On a égalité si et seulement si un des est nul.

Remarque 37. Géométriquement, cette inégalité exprime que les parallélépipèdes de volume maximum sont rectangles.

Convexité et compacité

Théorème 38 (Hahn-Banach géométrique). Soit un espace vectoriel normé. Soient et deux parties non vides de disjointes et telles que soit convexe et fermée, et soit convexe et compacte. Alors, il existe une forme linéaire continue telle que :

Corollaire 39 (Théorème de Minkowski). Toute partie convexe et fermée d’un espace vectoriel normé réel est égale à l’intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent.

Corollaire 40. Soit un espace de Hilbert sur et soit une partie de . Alors l’enveloppe convexe fermée de est égale à l’intersection des demi-espaces de la forme qui contiennent , où et .

Utilisation en algèbre

Proposition 41.

  1. est compact (et connexe).

  2. est compact (non-connexe).

Application 42 (Décomposition polaire). L’application est un homéomorphisme.

Corollaire 43. Tout sous-groupe compact de qui contient est .

Corollaire 44. est connexe.