204 Connexité. Exemples d’applications.

Connexité. Exemples d’applications.

analysis

Diverses approches de la connexité

Soit $(E, d)$ un espace métrique.

Une approche topologique

[GOU20]
p. 38

Proposition 1. Les assertions suivantes sont équivalentes.

Il n’existe pas de partition de $E$ en deux ouverts disjoints non vides.
Il n’existe pas de partition de $E$ en deux fermés disjoints non vides.
Les seules parties ouvertes de $E$ sont $\emptyset$ et $E$ .

Définition 2. Un espace métrique vérifiant l’une des assertions de Proposition 1 est dit connexe.

Remarque 3. Remarquons qu’il s’agit-là d’une définition topologique : tous les résultats de cette sous-section sont donc valables dans le cadre plus général d’un espace topologique.

Proposition 4. Soit $A \subseteq E$ . Les assertions suivantes sont équivalentes.

$A$ est connexe.
Si $A \subseteq O_{1} \cap O_{2}$ avec $O_{1}$ , $O_{2}$ ouverts de $E$ tels que $A \cap O_{1} \cap O_{2} = \emptyset$ , alors $(A \cap O_{1} = \emptyset et A \subseteq O_{2}) ou (A \cap O_{2} = \emptyset et A \subseteq O_{1})$
Si $A \subseteq F_{1} \cap F_{2}$ avec $F_{1}$ , $F_{2}$ fermés de $E$ tels que $A \cap F_{1} \cap F_{2} = \emptyset$ , alors $(A \cap F_{1} = \emptyset et A \subseteq F_{2}) ou (A \cap F_{2} = \emptyset et A \subseteq F_{1})$

Exemple 5. $Q$ n’est pas un connexe de $R$ .

p. 350

Proposition 6. Une partie ouverte et fermée d’un espace connexe est vide ou égale à l’espace entier.

p. 39

Proposition 7. L’image d’un connexe par une application continue est connexe.

p. 44

Application 8. Soit $f : U \to R$ continue. Alors il existe deux points diamétralement opposés de $U$ qui ont la même image par $f$ .

p. 39

Corollaire 9. $E$ est connexe si et seulement si toute application continue de $E$ dans ${0, 1}$ est constante.

Proposition 10. Soit $(C_{i})_{i \in I}$ une famille de parties connexes de $E$ . On suppose que $\exists i_{0} \in I tel que \forall i \in I, C_{i_{0}} \cap C_{i} \neq = \emptyset$ Alors, $⋃_{i \in I} C_{i}$ est connexe.

Contre-exemple 11. ${0}$ et ${1}$ sont des connexes de $R$ , mais pas ${0} \cup {1} = {0, 1}$ .

Proposition 12. Un produit fini d’espaces métriques est connexe si et seulement si ces espaces métriques sont tous connexes.

[I-P]
p. 116

connexite-des-valeurs-d-adherence-d-une-suite-dans-un-compact

Application 13. Soit $(E, d)$ un espace métrique compact. Soit $(u_{n})$ une suite de $E$ telle que $d (u_{n}, u_{n - 1}) ⟶ 0$ . Alors l’ensemble $Γ$ des valeurs d’adhérence de $(u_{n})$ est connexe.

Corollaire 14 (Lemme de la grenouille). Soient $f : [0, 1] \to [0, 1]$ continue et $(x_{n})$ une suite de $[0, 1]$ telle que ${x_{0} \in [0, 1] x_{n + 1} = f (x_{n})$ Alors $(x_{n})$ converge si et seulement si $lim_{n \to + \infty} x_{n + 1} - x_{n} = 0$ .

Une approche géométrique

[GOU20]
p. 42

Définition 15. On appelle chemin de $E$ tout application $γ : [0, 1] \to E$ continue. L’image $γ^{*} = γ ([0, 1])$ du chemin s’appelle un arc, $γ (0)$ l’origine de l’arc et $γ (1)$ son extrémité.

Définition 16. $E$ est dit connexe par arcs si pour tout $(a, b) \in E^{2}$ , il existe un arc inclus dans $E$ d’origine $a$ et d’extrémité $b$ .

Remarque 17. Il s’agit là encore d’une définition topologique.

Théorème 18. Un espace connexe par arcs est connexe.

Contre-exemple 19. L’ensemble $Γ = x \in Q ⋃ ({x} \times R^{+}) \cup x \in R ∖ Q ⋃ ({x} \times R_{*}^{-})$ est un connexe de $R^{2}$ non connexe par arcs.

Proposition 20. La réciproque est vraie dans un ouvert d’un espace vectoriel normé.

Application 21. $R$ et $R^{2}$ ne sont pas homéomorphes.

Une approche algébrique

Définition 22. On définit la relation $R$ suivante sur $E$ : $x R y ⟺ \exists C \subseteq E connexe tel que x, y \in E$

Proposition 23.

$R$ est une relation d’équivalence sur $E$ .
Si $x \in E$ , sa classe d’équivalence est la réunion des connexes contenant $x$ .

Définition 24. Une classe d’équivalence pour la relation $R$ est une composante connexe de $E$ .

Remarque 25. $E$ est la réunion disjointe de ses composantes connexes. $E$ est donc connexe s’il n’admet qu’une seule composante connexe.

[ROM21]
p. 724

Exemple 26. On se place dans le cadre où $E$ est un espace vectoriel euclidien. Alors, $O (E)$ est non-connexe. Ses composantes connexes sont $SO (E)$ et ${u \in O (E) ∣ det (u) = - 1}$ .

[GOU20]
p. 41

Proposition 27. Les composantes connexes de $E$ sont des fermés de $E$ . Si elles sont en nombre fini, ce sont également des ouverts de $E$ .

Exemples d’applications en analyse

En analyse réelle

p. 41

Théorème 28. Les connexes de $R$ sont les intervalles.

Théorème 29 (Des valeurs intermédiaires). Soient $I$ un intervalle de $R$ et $f : I \to R$ continue sur $I$ . Alors $f (I)$ est un intervalle.

Remarque 30. Une autre manière d’écrire ce résultat est que si $f (a) \leq f (b)$ (resp. $f (a) \geq f (b)$ ) avec $a < b$ , alors pour tout $γ \in [f (a), f (b)]$ (resp. pour tout $γ \in [f (b), f (a)]$ ), il existe $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = γ$ .

p. 47

Corollaire 31 (Théorème de Darboux). Soient $I$ un intervalle de $R$ et $f : I \to R$ dérivable sur $I$ . Alors $f^{'} (I)$ est un intervalle.

En calcul différentiel

p. 328

Proposition 32. Soit $U$ un ouvert connexe d’un espace vectoriel normé $E$ . Soit $f : U \to F$ où $F$ est un espace vectoriel normé. Si $f$ est différentiable telle que $\forall x \in U, d f_{x} = 0$ , alors $f$ est constante sur $U$ .

[BMP]
p. 80

Exemple 33. Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert connexe $Ω$ de $C$ telle que la suite $(f^{(n)})$ converge uniformément sur tout compact de $Ω$ . On note $g$ la limite de la suite $(f^{(n)})$ . Alors, il existe $C \in C$ tel que $g = C exp$ .

[GOU20]
p. 349

Proposition 34. Soit $U$ un ouvert connexe d’un espace vectoriel normé $E$ . Soit $f : U \to E$ . Si $f$ est de classe $C^{1}$ telle que $\forall x \in U, d f_{x}$ est une isométrie, alors $f$ est une isométrie affine.

En analyse complexe

[BMP]
p. 53

Soit $Ω \subseteq C$ un ouvert. On suppose $Ω$ connexe. Soit $f : Ω \to C$ .

Théorème 35 (Zéros isolés). Si $f$ est une fonction analytique sur $Ω$ et si $f$ n’est pas identiquement nulle, alors l’ensemble des zéros de $f$ n’admet pas de point d’accumulation dans $Ω$ .

Corollaire 36. L’ensemble des zéros d’une fonction analytique non nulle sur $Ω$ est au plus dénombrable.

Remarque 37 (Prolongement analytique). Reformulé de manière équivalente au Théorème 35, si deux fonctions analytiques coïncident sur un sous-ensemble de $Ω$ qui possède un point d’accumulation dans $Ω$ , alors elles sont égales sur $Ω$ .

p. 77

Exemple 38. Il existe une unique fonction $g$ holomorphe sur $C$ telle que $\forall n \in N^{*}, g (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n}$ et c’est la fonction identité.

Contre-exemple 39. Il existe au moins deux fonctions $g$ holomorphes sur $Ω = {z \in C ∣ Re (z) > 0}$ telles que $\forall n \in N^{*}, g (\frac{1}{n}) = 0$

p. 83

Application 40 (Transformée de Fourier d’une Gaussienne). On a $\forall x \in R, \int_{R} e^{- t^{2}} e^{- i t x} d t = π e^{- \frac{x ^{2}}{4}}$

p. 72

Théorème 41 (Principe du maximum). On suppose $Ω$ borné et $f$ holomorphe sur $Ω$ et continue sur $\overline{Ω}$ . On note $M$ le maximum de $f$ sur la frontière de $Ω$ . Alors,

Pour tout $z \in Ω$ , $∣ f (z) ∣ \leq M$ .
S’il existe $z_{0} \in Ω$ tel que $∣ f (z) ∣ = M$ , alors $f$ est constant sur $Ω$ .

p. 80

Application 42. Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions holomorphes sur $Ω$ et continues sur $\overline{Ω}$ . Si $(f_{n})$ converge uniformément sur la frontière de $Ω$ , alors $(f_{n})$ converge uniformément sur $Ω$ et la limite est holomorphe.

Application 43. On suppose que $D (0, 1) \subseteq Ω$ et $f$ holomorphe sur $Ω$ . On suppose de plus que $f (0) = 1$ et $∣ f (z) ∣ \geq 2$ sur le cercle unité. Alors $f$ s’annule sur le cercle unité.