204 Connexité. Exemples d’applications.

Connexité. Exemples d’applications.

analysis

Diverses approches de la connexité

Soit un espace métrique.

Une approche topologique

Proposition 1. Les assertions suivantes sont équivalentes.

  1. Il n’existe pas de partition de en deux ouverts disjoints non vides.

  2. Il n’existe pas de partition de en deux fermés disjoints non vides.

  3. Les seules parties ouvertes de sont et .

Définition 2. Un espace métrique vérifiant l’une des assertions de Proposition 1 est dit connexe.

Remarque 3. Remarquons qu’il s’agit-là d’une définition topologique : tous les résultats de cette sous-section sont donc valables dans le cadre plus général d’un espace topologique.

Proposition 4. Soit . Les assertions suivantes sont équivalentes.

  1. est connexe.

  2. Si avec , ouverts de tels que , alors

  3. Si avec , fermés de tels que , alors

Exemple 5. n’est pas un connexe de .

Proposition 6. Une partie ouverte et fermée d’un espace connexe est vide ou égale à l’espace entier.

Proposition 7. L’image d’un connexe par une application continue est connexe.

Application 8. Soit continue. Alors il existe deux points diamétralement opposés de qui ont la même image par .

Corollaire 9. est connexe si et seulement si toute application continue de dans est constante.

Proposition 10. Soit une famille de parties connexes de . On suppose que Alors, est connexe.

Contre-exemple 11. et sont des connexes de , mais pas .

Proposition 12. Un produit fini d’espaces métriques est connexe si et seulement si ces espaces métriques sont tous connexes.

Application 13. Soit un espace métrique compact. Soit une suite de telle que . Alors l’ensemble des valeurs d’adhérence de est connexe.

Corollaire 14 (Lemme de la grenouille). Soient continue et une suite de telle que Alors converge si et seulement si .

Une approche géométrique

Définition 15. On appelle chemin de tout application continue. L’image du chemin s’appelle un arc, l’origine de l’arc et son extrémité.

Définition 16. est dit connexe par arcs si pour tout , il existe un arc inclus dans d’origine et d’extrémité .

Remarque 17. Il s’agit là encore d’une définition topologique.

Théorème 18. Un espace connexe par arcs est connexe.

Contre-exemple 19. L’ensemble est un connexe de non connexe par arcs.

Proposition 20. La réciproque est vraie dans un ouvert d’un espace vectoriel normé.

Application 21. et ne sont pas homéomorphes.

Une approche algébrique

Définition 22. On définit la relation suivante sur :

Proposition 23.

  1. est une relation d’équivalence sur .

  2. Si , sa classe d’équivalence est la réunion des connexes contenant .

Définition 24. Une classe d’équivalence pour la relation est une composante connexe de .

Remarque 25. est la réunion disjointe de ses composantes connexes. est donc connexe s’il n’admet qu’une seule composante connexe.

Exemple 26. On se place dans le cadre où est un espace vectoriel euclidien. Alors, est non-connexe. Ses composantes connexes sont et .

Proposition 27. Les composantes connexes de sont des fermés de . Si elles sont en nombre fini, ce sont également des ouverts de .

Exemples d’applications en analyse

En analyse réelle

Théorème 28. Les connexes de sont les intervalles.

Théorème 29 (Des valeurs intermédiaires). Soient un intervalle de et continue sur . Alors est un intervalle.

Remarque 30. Une autre manière d’écrire ce résultat est que si (resp. ) avec , alors pour tout (resp. pour tout ), il existe tel que .

Corollaire 31 (Darboux). Soient un intervalle de et dérivable sur . Alors est un intervalle.

En calcul différentiel

Proposition 32. Soit un ouvert connexe d’un espace vectoriel normé . Soit est un espace vectoriel normé. Si est différentiable telle que , alors est constante sur .

Exemple 33. Soit une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de telle que la suite converge uniformément sur tout compact de . On note la limite de la suite . Alors, il existe tel que .

Proposition 34. Soit un ouvert connexe d’un espace vectoriel normé . Soit . Si est de classe telle que est une isométrie, alors est une isométrie affine.

En analyse complexe

Soit un ouvert. On suppose connexe. Soit .

Théorème 35 (Zéros isolés). Si est une fonction analytique sur et si n’est pas identiquement nulle, alors l’ensemble des zéros de n’admet pas de point d’accumulation dans .

Corollaire 36. L’ensemble des zéros d’une fonction analytique non nulle sur est au plus dénombrable.

Remarque 37 (Prolongement analytique). Reformulé de manière équivalente au Théorème 35, si deux fonctions analytiques coïncident sur un sous-ensemble de qui possède un point d’accumulation dans , alors elles sont égales sur .

Exemple 38. Il existe une unique fonction holomorphe sur telle que et c’est la fonction identité.

Contre-exemple 39. Il existe au moins deux fonctions holomorphes sur telles que

Application 40 (Transformée de Fourier d’une Gaussienne). On a

Théorème 41. On suppose borné et holomorphe sur et continue sur . On note le maximum de sur la frontière de . Alors,

  1. Pour tout , .

  2. S’il existe tel que , alors est constant sur .

Application 42. Soit une suite de fonctions holomorphes sur et continues sur . Si converge uniformément sur la frontière de , alors converge uniformément sur et la limite est holomorphe.

Application 43. On suppose que et holomorphe sur . On suppose de plus que et sur le cercle unité. Alors s’annule sur le cercle unité.

Exemple d’application en algèbre

Proposition 44. n’est pas connexe. Ses composantes connexes sont et .

Application 45. n’est pas surjective.

Proposition 46. est connexe par arcs.

Application 47. est surjective.

Lemme 48.

  1. Soit . Alors .

  2. est différentiable en et .

  3. Soit . Alors .

Théorème 49. est surjective.

Application 50. , où désigne les carrés de .