205 Espaces complets. Exemples et applications.

Espaces complets. Exemples et applications.

analysis

Complétude

Complétude dans un espace métrique

Soit un espace métrique.

Définition 1. On dit qu’une suite d’éléments de est de Cauchy si

Proposition 2.

  1. Une suite convergente est de Cauchy.

  2. Une suite de Cauchy est bornée.

  3. Une suite de Cauchy qui possède une valeur d’adhérence converge vers .

Contre-exemple 3. La série est une suite de Cauchy de non convergente dans .

Remarque 4. La notion de suite de Cauchy n’est pas topologique : elle ne peut pas être définie à partir des ouverts de . Cependant, si une suite est de Cauchy pour une certaine distance, alors elle l’est pour toute autre distance équivalente.

Définition 5. est complet si toute suite de Cauchy de converge dans .

Exemple 6. , est complet mais ne l’est pas.

Proposition 7.

  1. Toute partie complète d’un espace métrique est fermée.

  2. Toute partie fermée d’un espace complet est complète.

Proposition 8. Soient des espaces métriques. Alors est complet si et seulement si , est complet.

Proposition 9 (Fermés emboîtés). est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non-vides de dont le diamètre converge vers converge vers un singleton.

Proposition 10 (Critère de Cauchy pour les fonctions). Soit un espace métrique complet. Soient et . Alors admet une limite quand tend vers si et seulement si

Théorème 11 (Complété d’un espace métrique). Il existe un espace métrique complet et une isométrie telle que est dense dans . De plus, est unique à isométrie bijective près.

Exemple 12. est le complété de .

Complétude dans un espace vectoriel normé

Définition 13. Un espace vectoriel normé complet est un espace de Banach.

Proposition 14. Un espace vectoriel normé est complet si et seulement si toute série absolument convergence de est convergente dans .

Proposition 15. Un espace vectoriel de dimension finie est complet.

Application 16. L’exponentielle d’une matrice est un polynôme en la matrice.

Exemples et contre-exemples classiques

Contre-exemple 17. L’espace des fonctions polynômiales définies sur et muni de la norme n’est pas complet.

Exemple 18. Soient un ensemble et un espace de Banach. Alors, est un espace de Banach.

Exemple 19. Si est un espace vectoriel normé et est un espace de Banach, est un espace de Banach.

Définition 20.

  • Pour , on note (où en l’absence d’ambiguïté) l’espace des applications mesurables de dans telles que on note alors .

  • On note de même l’espace des applications mesurables de dans de sup-essentiel borné. On note alors pour .

Remarque 21. En reprenant les notations précédentes, on a , .

Théorème 22 (Inégalité de Minkowski).

Théorème 23. On définit pour tout , . Muni de , est un espace vectoriel normé.

Théorème 24 (Riesz-Fischer). Pour tout , est complet pour la norme .

Espaces de Hilbert

Généralités

Définition 25. Un espace vectoriel sur le corps est un espace de Hilbert s’il est muni d’un produit scalaire et est complet pour la norme associée .

Exemple 26. Tout espace euclidien ou hermitien est un espace de Hilbert.

Exemple 27. muni de est un espace de Hilbert.

Pour toute la suite, on fixe un espace de Hilbert de norme et on note le produit scalaire associé.

Lemme 28 (Identité du parallélogramme). et cette identité caractérise les normes issues d’un produit scalaire.

Théorème 29 (Projection sur un convexe fermé). Soit un convexe fermé non-vide. Alors : On peut donc noter , le projeté orthogonal de sur . Il s’agit de l’unique point de vérifiant

Théorème 30. Si est un sous espace vectoriel fermé dans , alors est une application linéaire continue. De plus, pour tout , est l’unique point tel que .

Théorème 31. Si est un sous espace vectoriel fermé dans , alors et est la projection sur parallèlement à : c’est la projection orthogonale sur .

Corollaire 32. Soit un sous-espace vectoriel de . Alors,

Théorème 33 (Représentation de Riesz). et de plus, .

Corollaire 34. On note alors : c’est l’adjoint de . On a alors .

Exemple 35 (Opérateur de Voltera). On définit sur par : est une application linéaire continue et son adjoint est défini par :

Théorème 36. L’application est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.

Bases hilbertiennes

Définition 37. On dit que est une base hilbertienne de si

  • est orthonormale.

  • est totale.

Exemple 38. est une base hilbertienne de .

Théorème 39. Soit une base hilbertienne de . Alors : On a de plus, pour tout , les formules de Parseval :

  • .

  • .

Application 40.

Applications

Point fixe

Théorème 41 (Point fixe de Banach). Soient un espace métrique complet et une application contractant (ie. ). Alors, De plus la suite des itérés définie par et converge vers .

Application 42 (Théorème de Cauchy-Lipschitz local). Soit un espace de Banach sur ou . Soient un intervalle de et un ouvert de . Soit une fonction continue et localement lipschitzienne en la seconde variable. Alors, pour tout , le problème de Cauchy admet une unique solution maximale.

Prolongement

Théorème 43 (Prolongement des applications uniformément continues). Soient et des espaces métriques. On suppose complet. Soient dense et une application uniformément continue. Alors, il existe une unique application uniformément continue et telle que .

Corollaire 44. Soient et des espaces métriques. On suppose complet. Soient dense et une application -lipschitzienne. Alors, il existe une unique application -lipschitzienne et telle que .

Exemple 45. Une application dérivable sur un intervalle et de dérivée bornée est prolongeable par une application lipschitzienne sur .

Application 46 (Théorème de Hahn-Banach analytique). Soient un espace de Hilbert et un sous-espace vectoriel de . Soit . Alors, il existe telle que et .

Application 47 (Transformation de Fourier-Plancherel). La transformation de Fourier définie sur se prolonge de manière unique en un isomorphisme d’espaces de Hilbert de sur lui-même.

Théorème de Baire

Théorème 48 (Baire). On suppose complet. Alors toute intersection d’ouvert denses est encore dense dans .

Application 49. Un espace vectoriel normé à base dénombrable n’est pas complet.

Application 50 (Théorème de Banach-Steinhaus). Soient et deux espaces de Banach et des applications linéaires continues telles que alors,

Application 51 (Théorème du graphe fermé). Soient et deux espaces de Banach et . Si le graphe de : est fermé dans , alors est continue.

Application 52 (Théorème de l’application ouverte). Soient et deux espaces de Banach et surjective. Alors,

Corollaire 53 (Théorème des isomorphismes de Banach). Soient et deux espaces de Banach et bijective. Alors est continue.

Corollaire 54. On suppose que est de Banach. Soient et deux supplémentaires algébriques fermés dans . Alors les projections associées sur et sont continues.