205 Espaces complets. Exemples et applications.

Espaces complets. Exemples et applications.

analysis

Complétude

Complétude dans un espace métrique

Soit $(E, d)$ un espace métrique.

Définition 1. On dit qu’une suite $(x_{n})$ d’éléments de $E$ est de Cauchy si $\forall ϵ > 0, \exists N \in N tel que \forall p > q \geq N, d (u_{p}, u_{q}) < ϵ$

Proposition 2.

Une suite convergente est de Cauchy.
Une suite de Cauchy est bornée.
Une suite de Cauchy qui possède une valeur d’adhérence $ℓ$ converge vers $ℓ$ .

[HAU]
p. 312

Contre-exemple 3. La série $\sum \frac{1}{n}$ est une suite de Cauchy de $Q$ non convergente dans $Q$ .

[GOU20]
p. 20

Remarque 4. La notion de suite de Cauchy n’est pas topologique : elle ne peut pas être définie à partir des ouverts de $E$ . Cependant, si une suite est de Cauchy pour une certaine distance, alors elle l’est pour toute autre distance équivalente.

Définition 5. $E$ est complet si toute suite de Cauchy de $E$ converge dans $E$ .

Exemple 6. $\forall n \in N^{*}$ , $R^{n}$ est complet mais $Q$ ne l’est pas.

Proposition 7.

Toute partie complète d’un espace métrique est fermée.
Toute partie fermée d’un espace complet est complète.

Proposition 8. Soient $E_{1}, \dots, E_{n}$ des espaces métriques. Alors $E_{1} \times \dots \times E_{n}$ est complet si et seulement si $\forall i \in [[1, n]]$ , $E_{i}$ est complet.

Proposition 9 (Fermés emboîtés). $E$ est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non-vides de $E$ dont le diamètre converge vers $0$ converge vers un singleton.

Proposition 10 (Critère de Cauchy pour les fonctions). Soit $(F, d^{'})$ un espace métrique complet. Soient $f : A \to F$ où $A \subseteq E$ et $a \in \overline{A}$ . Alors $f$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$ si et seulement si $\forall ϵ > 0, \exists η > 0 tel que \forall x, y \in A, d (a, x) < η et d (a, y) < η ⟹ d^{'} (f (x), f (y)) < ϵ$

p. 25

Théorème 11 (Complété d’un espace métrique). Il existe un espace métrique complet $E$ et $i : E \to E$ une isométrie telle que $i (E)$ est dense dans $E$ . De plus, $E$ est unique à isométrie bijective près.

Exemple 12. $R$ est le complété de $Q$ .

Complétude dans un espace vectoriel normé

p. 20

Définition 13. Un espace vectoriel normé complet est un espace de Banach.

p. 52

Proposition 14. Un espace vectoriel normé $E$ est complet si et seulement si toute série absolument convergence de $E$ est convergente dans $E$ .

Proposition 15. Un espace vectoriel de dimension finie est complet.

[C-G]
p. 407

Application 16. L’exponentielle d’une matrice est un polynôme en la matrice.

Exemples et contre-exemples classiques

[DAN]
p. 45

Contre-exemple 17. L’espace des fonctions polynômiales définies sur $[- 1, 1]$ et muni de la norme $∥. ∥_{\infty}$ n’est pas complet.

[GOU20]
p. 21

Exemple 18. Soient $X$ un ensemble et $E$ un espace de Banach. Alors, $(B (X, E), ∥. ∥_{\infty})$ est un espace de Banach.

p. 8

Exemple 19. Si $E$ est un espace vectoriel normé et $F$ est un espace de Banach, $(L (E, F), ∣∣∣.∣∣∣)$ est un espace de Banach.

[LI]
p. 7

Définition 20.

Pour $p \in [1, + \infty [$ , on note $L_{p} (X, A, μ))$ (où $L_{p}$ en l’absence d’ambiguïté) l’espace des applications $f$ mesurables de $(X, A, μ)$ dans $(R, B (R))$ telles que $\int_{X} ∣ f (x) ∣^{p} d μ (x) < + \infty$ on note alors $∥ f ∥_{p} = (\int_{X} ∣ f (x) ∣^{p} d μ (x))^{\frac{1}{p}}$ .
On note de même $L_{\infty}$ l’espace des applications mesurables de $(X, A, μ)$ dans $(R, B (R))$ de sup-essentiel borné. On note alors $∥ f ∥_{\infty}$ pour $f \in L_{\infty}$ .

Remarque 21. En reprenant les notations précédentes, on a $\forall f \in L_{p}$ , $∥ f ∥_{p} = 0 ⟺ f = 0 pp.$ .

Théorème 22 (Inégalité de Minkowski). $\forall f, g \in L_{p}, ∥ f + g ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{p} + ∥ g ∥_{p}$

Théorème 23. On définit pour tout $p \in [1, + \infty]$ , $L_{p} = L_{p} / V$ où $V = {v \in L_{p} ∣ v = 0 pp.}$ . Muni de $∥. ∥_{p}$ , $L_{p}$ est un espace vectoriel normé.

Théorème 24 (Riesz-Fischer). Pour tout $p \in [1, + \infty]$ , $L_{p}$ est complet pour la norme $∥. ∥_{p}$ .

Espaces de Hilbert

Généralités

p. 31

Définition 25. Un espace vectoriel $H$ sur le corps $K$ est un espace de Hilbert s’il est muni d’un produit scalaire $⟨ ., . ⟩$ et est complet pour la norme associée $∥.∥ = ⟨ ., . ⟩$ .

Exemple 26. Tout espace euclidien ou hermitien est un espace de Hilbert.

Exemple 27. $L_{2} (μ)$ muni de $⟨ ., . ⟩ : (f, g) \mapsto \int f \overline{g} d μ$ est un espace de Hilbert.

Pour toute la suite, on fixe $H$ un espace de Hilbert de norme $∥.∥$ et on note $⟨ ., . ⟩$ le produit scalaire associé.

Lemme 28 (Identité du parallélogramme). $\forall x, y \in H, ∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 (∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2})$ et cette identité caractérise les normes issues d’un produit scalaire.

projection-sur-un-convexe-ferme

Théorème 29 (Projection sur un convexe fermé). Soit $C \subseteq H$ un convexe fermé non-vide. Alors : $\forall x \in H, \exists! y \in C tel que d (x, C) = z \in C in f ∥ x - z ∥ = d (x, y)$ On peut donc noter $y = P_{C} (x)$ , le projeté orthogonal de $x$ sur $C$ . Il s’agit de l’unique point de $C$ vérifiant $\forall z \in C, ⟨ x - P_{C} (x), z - P_{C} (x)⟩ \leq 0$

Théorème 30. Si $F$ est un sous espace vectoriel fermé dans $H$ , alors $P_{F}$ est une application linéaire continue. De plus, pour tout $x \in H$ , $P_{F} (x)$ est l’unique point $y \in F$ tel que $x - y \in F^{⊥}$ .

Théorème 31. Si $F$ est un sous espace vectoriel fermé dans $H$ , alors $H = F \oplus F^{⊥}$ et $P_{F}$ est la projection sur $F$ parallèlement à $F^{⊥}$ : c’est la projection orthogonale sur $F$ .

Corollaire 32. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $H$ . Alors, $\overline{F} = H ⟺ F^{⊥} = 0$

Théorème 33 (de représentation de Riesz). $\forall φ \in H^{'}, \exists! y \in H, tel que \forall x \in H, φ (x) = ⟨ x, y ⟩$ et de plus, $∣∣∣ φ ∣∣∣ = ∥ y ∥$ .

Corollaire 34. $\forall T \in H^{'}, \exists! U \in H^{'} tel que \forall x, y \in H, ⟨ T (x), y ⟩ = ⟨ x, U (y)⟩$ On note alors $U = T^{*}$ : c’est l’adjoint de $T$ . On a alors $∣∣∣ T ∣∣∣ = ∣∣∣ T^{*} ∣∣∣$ .

p. 65

Exemple 35 (Opérateur de Voltera). On définit $T$ sur $H = L_{2} ([0, 1])$ par : $T : H f \to \mapsto H x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t$ $T$ est une application linéaire continue et son adjoint $T^{*}$ est défini par : $T^{*} : g \mapsto (x \mapsto \int_{x}^{1} g (t) d t)$

[Z-Q]
p. 222

dual-de-lp

Application 36 (Dual de $L_{p}$ ). Soit $(X, A, μ)$ un espace mesuré de mesure finie. On note $\forall p \in] 1, 2 [$ , $φ : L_{q} g \to (L_{p})^{'} \mapsto (φ_{g} : f \mapsto \int_{X} f g d μ) o \overset{u}{ˋ} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.

Bases hilbertiennes

[LI]
p. 43

Définition 37. On dit que $(e_{n}) \in H^{N}$ est une base hilbertienne de $H$ si

$(e_{n})$ est orthonormale.
$(e_{n})$ est totale.

Exemple 38. $(t \mapsto e^{2 πin t})_{n \in Z}$ est une base hilbertienne de $L_{2} ([0, 1])$ .

Théorème 39. Soit $(e_{n})_{n \in N}$ une base hilbertienne de $H$ . Alors : $\forall x \in H, x = n = 0 \sum + \infty ⟨ x, e_{n} ⟩ e_{n}$ On a de plus, pour tout $x, y \in H$ , les formules de Parseval :

$∥ x ∥^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ .
$⟨ x, y ⟩ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ⟨ x, e_{n} ⟩ \overline{⟨ y, e_{n} ⟩}$ .

[GOU20]
p. 272

Application 40. $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{4}} = \frac{π ^{4}}{90}$

Applications

Point fixe

p. 21

Théorème 41 (Point fixe de Banach). Soient $(E, d)$ un espace métrique complet et $f : E \to E$ une application contractant (ie. $\exists k \in] 0, 1 [tel que \forall x, y \in E, d (f (x), f (y)) \leq k d (x, y)$ ). Alors, $\exists! x \in E tel que f (x) = x$ De plus la suite des itérés définie par $x_{0} \in E$ et $\forall n \in N, x_{n + 1} = f (x_{n})$ converge vers $x$ .

p. 374

Application 42 (Théorème de Cauchy-Lipschitz local). Soit $E$ un espace de Banach sur $R$ ou $C$ . Soient $I$ un intervalle de $R$ et $Ω$ un ouvert de $E$ . Soit $F : I \times Ω \to E$ une fonction continue et localement lipschitzienne en la seconde variable. Alors, pour tout $(t_{0}, y_{0}) \in I \times Ω$ , le problème de Cauchy ${y^{'} = F (t, y) y (t_{0}) = y_{0} (C)$ admet une unique solution maximale.

Prolongement

[DAN]
p. 47

Théorème 43 (Prolongement des applications uniformément continues). Soient $(E, d_{E})$ et $(F, d_{F})$ des espaces métriques. On suppose $F$ complet. Soient $A \subseteq E$ dense et $f : A \to F$ une application uniformément continue. Alors, il existe une unique application $f : E \to F$ uniformément continue et telle que $f_{∣ A} = f$ .

Corollaire 44. Soient $(E, d_{E})$ et $(F, d_{F})$ des espaces métriques. On suppose $F$ complet. Soient $A \subseteq E$ dense et $f : A \to F$ une application $k$ -lipschitzienne. Alors, il existe une unique application $f : E \to F$ $k$ -lipschitzienne et telle que $f_{∣ A} = f$ .

Exemple 45. Une application dérivable sur un intervalle $] a, b [$ et de dérivée bornée est prolongeable par une application lipschitzienne sur $[a, b]$ .

[BMP]
p. 106

Application 46 (Théorème de Hahn-Banach analytique). Soient $H$ un espace de Hilbert et $F$ un sous-espace vectoriel de $H$ . Soit $f \in F^{'}$ . Alors, il existe $f \in H^{'}$ telle que $f_{∣ F} = f$ et $∣∣∣ f ∣∣ ∣_{H} = ∣∣∣ f ∣∣ ∣_{F}$ .

[LI]
p. 94

Application 47 (Transformation de Fourier-Plancherel). La transformation de Fourier $F$ définie sur $L_{1} (R) \cap L_{2} (R)$ se prolonge de manière unique en un isomorphisme d’espaces de Hilbert de $L_{2} (R)$ sur lui-même.

Théorème de Baire

[LI]
p. 111

Théorème 48 (Baire). On suppose $E$ complet. Alors toute intersection d’ouvert denses est encore dense dans $E$ .

[GOU20]
p. 419

Application 49. Un espace vectoriel normé à base dénombrable n’est pas complet.

[LI]
p. 112

Application 50 (Théorème de Banach-Steinhaus). Soient $(E, ∥. ∥_{E})$ et $(F, ∥. ∥_{F})$ deux espaces de Banach et $(T_{i})_{i \in I}$ des applications linéaires continues telles que $\forall x \in E, i \in I sup ∥ T_{i} (x) ∥_{F} < + \infty$ alors, $i \in I sup ∣∣∣ T_{i} ∣∣∣ < + \infty$

Application 51 (Théorème du graphe fermé). Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T \in L (E, F)$ . Si le graphe de $T$ : ${(x, T (x)) ∣ x \in E} \subseteq E \times F$ est fermé dans $E \times F$ , alors $T$ est continue.

Application 52 (Théorème de l’application ouverte). Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T \in L (E, F)$ surjective. Alors, $\exists c > 0, T (B_{E} (0, 1)) \supseteq B_{F} (0, c)$

Corollaire 53 (Théorème des isomorphismes de Banach). Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T \in L (E, F)$ bijective. Alors $T^{- 1}$ est continue.

Corollaire 54. On suppose que $E$ est de Banach. Soient $E_{1}$ et $E_{2}$ deux supplémentaires algébriques fermés dans $E$ . Alors les projections associées sur $E_{1}$ et $E_{2}$ sont continues.